2.1等式性质与不等式性质 第2课时 课件（32张PPT）

(共32张PPT)
第二章
2.1等式性质与不等式性质第2课时
人教版（2019A)
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握不等式的性质； 1.类别思想.
2.会简单不等式的证明方法－比较法、分析法和综合法； 2.逻辑推理能力.
新知导入
旧知回顾
1.作差法的依据（基本事实）：
a-b>0 a>b; a-b=0 a=b; a-b<0 a2.作差法的基本步骤：
⑴作差;
⑵变形（因式分解、通分、配方、平方、有理化等）
⑶判断符号
⑷作出结论
3.重要不等式
a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立）
问题导入
回忆初中我们学过的等式的性质有哪些？
性质1 若a=b,则b=a;
性质2 若a=b,b=c,则a=c;
性质3 若a=b,则a+c=b+c;
性质4 若a=b,则ac=bc;
性质5 若a=b,c≠0,则
温故知新
能不能由等式的性质，类比得出不等式的性质？
新知探究
不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a; 如果b ＜a，那么a >b．
即： a ＞ b b ＜a;
对称性
文字语言：不等式两边互换后,再将不等号改变方向,
所得不等式与原不等式等价
证明：∵a>b,∴a-b>0
由正数的相反数是负数，得-（a-b)<0
即b-a<0,∴b同理可证，若bb.
新知讲解
试一试：
1.与m≥(n-2)2等价的是(　　).
A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥m C.(n-2)2≤m D.(n-2)2答案:C
新知讲解
等式的性质：
性质1 若a=b,则b=a;
性质2 若a=b,b=c,则a=c;
性质3 若a=b,则a+c=b+c;
性质4 若a=b,则ac=bc;
性质5 若a=b,c≠0,则
新知探究
不等式性质
性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c.
传递性
证明：∵a>b,b>c∴a-b>0,b-c>0
∴(a-b)+(b-c)>0,即a-c>0
∴a>c.
即： a ＞ b，b ＞ c a ＞ c．
分析：若要证明a>c，只需要证明a c >0
由a>b,b>c,得a b >0,b c>0
∴a c=(a b)+(b c)>0
∴a>c
这种由结果逐步分析证明的方法叫分析法
这种由条件逐步证明结论的方法叫综合法
新知探究
不等式性质
性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c.
传递性
文字语言：如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量，
则第一个量大于第三个量.
即： a ＞ b，b>c a>c
变形：
1）a≥b, b≥c a≥c;
2）a3）a≤b, b≤c a≤c
新知讲解
等式的性质：
性质1 若a=b,则b=a;
性质2 若a=b,b=c,则a=c;
性质3 若a=b,则a+c=b+c;
性质4 若a=b,则ac=bc;
性质5 若a=b,c≠0,则
新知探究
不等式性质
性质3：如果a ＞b， 那么a+c ＞ b+c.
可加性
即a>b a+c>b+c
文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式
与原不等式同向．
推论 若a+b>c，则a>c-b.
即a+b>c a>c-b （移项法则）
新知探究
不等式性质
性质3：如果a ＞b， 那么a+c ＞ b+c.
可加性
即a>b a+c>b+c
文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式
与原不等式同向．
变形：
1）a2）a≤b a+c ≤b+c
3）a≥b a+c ≥b+c
也叫同加保序性
新知讲解
等式的性质：
性质1 若a=b,则b=a;
性质2 若a=b,b=c,则a=c;
性质3 若a=b,则a+c=b+c;
性质4 若a=b,则ac=bc;
性质5 若a=b,c≠0,则
新知探究
不等式性质
可乘性
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．
证明：∵ac-bc=c(a-b)
∵a>b,∴a-b>0
当c>0时，c(a-b)>0,即ac>bc
当c<0时，c(a-b)<0,即ac即a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac新知探究
不等式性质
可乘性
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．
即a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac变形：
1）a≥b,c>0 ac≥bc 2）a≥b,c<0 ac≤bc
3）a0 acbc
5）a≤b,c>0 ac≤bc 6）a≤b,c<0 ac≥bc
新知讲解
等式的性质：
性质1 若a=b,则b=a;
性质2 若a=b,b=c,则a=c;
性质3 若a=b,则a+c=b+c;
性质4 若a=b,则ac=bc;
性质5 若a=b,c≠0,则
新知探究
不等式性质
同向可加性
证法4：∵a>b,c>d
∴a+c>b+c,b+c>c+d
∴a+c>b+d.
性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.
a>b,c>d a+c>b+d
文字语言：两个同向不等式相加，所得不等式 与原不等式同向．
证法1：要证a+c>b+d，只需证(a+c)-(b+d)>0
即需证（a-b)+(c-d)>0
由a>b,c>d得a-b>0,c-d>0,即（a-b)+(c-d)>0
∴不等式a+c>b+d成立.
证法2：（综合法） （略）
证法3：（作差法） （略）
新知探究
不等式性质
同向可加性
性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.
a>b,c>d a+c>b+d
文字语言：两个同向不等式相加，所得不等式 与原不等式同向．
变形：
1）a2）a≥b,c≥d a+c≥b+d
3）a≤b,c≤d a+c≤b+d
新知探究
不等式性质
同向可加性
性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.
a>b,c>d a+c>b+d
反复推敲
1.此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.
2.两个同向不等式只能两边同时分别相加，而不能两边同时分别相减.
3.该性质不能逆推,如a+c>b+d a>b,c>d.
新知探究
不等式性质
正数同向可乘性
证明：∵a>b>0,c>0,
∴ac>bc,
又∵c>d>0，b>0
∴bc>cd
∴ac>bd.
a>b>0,c>d>0 ac>bd
文字语言：两边都是正数两个同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向．
性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;
分析：本题证明可仿照性质5证法4进行.
证明：
思考：如果 a>b，c>d ，那么 ac>bd是否正确？ 若正确，给出证明；若不正确，举出反例.
新知探究
不等式性质
正数同向可乘性
a>b>0,c>d>0 ac>bd
性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;
1.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.
2.a>b>0，cabd.
3.该性质不能逆推,如ac>bd a>b,c>d.
反复推敲
新知探究
不等式性质
正数可乘方性
进一步思考：如果性质6中a=c，b=d ，你有何新的结论？
如果 a＞b>0，那么
性质7：如果 a＞b>0，那么
a>b>0 an>bn (n∈N+,n≥2)
新知探究
不等式性质
性质3 a>b a+c>b+c（可加性）
性质2 a ＞ b，b>c a>c （传递性）
性质1 a ＞ b b ＜a （对称性）
性质4 a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac推论 a+b>c a>c-b （移项法则）
性质5 a>b,c>d a+c>b+d （同向可加性）
性质6 a>b>0,c>d>0 ac>bd （正数同向可乘性）
性质7 a>b>0 an>bn (n∈N+,n≥2) （正数可乘方性）
新知探究
例1 已知a＞b>0， c<0 ， 求证：
分析：要证明 ，因为c<0，所以可以先证明 ，
利用已知a＞b>0和性质3，即可证明
证明：因为a＞b>0，所以
于是 . 即
由c<0,得
初试身手
③　
初试身手
2．若bc－ad≥0，bd>0，求证： .
证明：∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,∴ad+bd≤bc+bd
又∵bd>0,∴ >0
∴
∴
初试身手
课堂总结
1.类比的思想方法
2.不等式性质
性质1 a ＞ b b ＜a （对称性）
性质2 a ＞ b，b>c a>c （传递性）
性质3 a>b a+c>b+c（可加性）
推论 a+b>c a>c-b （移项法则）
性质4 a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac性质5 a>b,c>d a+c>b+d （同向可加性）
性质6 a>b>0,c>d>0 ac>bd （正数同向可乘性）
性质7 a>b>0 an>bn (n∈N+,n≥2) （正数可乘方性）
3.不等式证明方法：作差法，分析法，综合法.
作业布置
作业：p43 习题2.1 7,8,9,11.
思考选做题：
⑴已知2⑵已知a>b>0，c尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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