2022-2023学年上海市普陀区重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市普陀区重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若直线与直线垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2. “”是“的二项展开式中存在常数项”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3. 某同学上学路上有个红绿灯的路口，假设他走到每个路口遇到绿灯的概率为，且在各个路口遇到红灯或绿灯互不影响，则该同学上学路上至少遇到次绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，其导函数的图像如图所示如图四个选项中，可能表示函数图像的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 设集合，，则 ______ ．
6. 不等式的解集为：______ 结果用集合或区间表示
7. 已知直线经过点直线的倾斜角是______ ．
8. 已知，且，则 ______ ．
9. 设随机变量服从正态分布，若，则 ______ ．
10. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第百分位数是______ ．
11. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为______ ．
12. “民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量单位与气温单位：之间的关系，随机统计了天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温
用电量
若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为______ ．
13. 已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于______ ．
14. 己知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为______ ．
函数在区间上严格减；
函数在区间上严格增；
函数在处取得极小值；
函数在处取得极小值．
15. 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________．
16. 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18. 本小题分
已知向量，，函数．
设，且，求的值；
在中，，，且的面积为，求的值．
19. 本小题分
在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间单位：的频率分布直方图如下，若被抽取的这名学生中，每天学习时间不低于小时有人．
求频率分布直方图中实数，的值；
每天学习时间在的名学生中，有名男生，名女生，现从中抽人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的人恰好为一男一女的概率；
依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取人，再从这人中选人进行电话访谈，求抽取的人中每天学习时间在的人数的分布列和数学期望．
20. 本小题分
已知抛物线：．
求抛物线的焦点的坐标和准线的方程；
过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点、，求线段的长；
已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、均不与点重合，且以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21. 本小题分
已知函数其中为常数．
若，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的最小值；
当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线与直线垂直，
则，解得．
故选：．
直接利用直线垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，，，，，
令，且，，，
当时，，满足题意，
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件，
故选：．
求出二项式的展开式的通项公式，然后令的指数为，得出，的关系式，再根据充分，必要条件的定义即可判断求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到充分，必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：某同学上学的路上有个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，
则该同学在上学的路上至少遇到次绿灯的概率为：
．
故选：．
由次独立事件中事件恰好发生次的概率计算公式能求出该同学在上学的路上至少遇到次绿灯的概率．
本题考查概率的求法，考查次独立事件中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由图象得当时，，且随着的增加，导数值先增加后减少
在上单调递增，
且根据导数的几何意义得函数图象切线的斜率自左向右先增大后减小，故B正确．
故选：．
由图象得当时，，根据导数的几何意义，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和导数的几何意义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接利用交集运算的定义得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：不等式即为，
即为，
则解集为，
故答案为：．
运用，不等式即为，解出即可．
本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：直线经过点，设直线的倾斜角是，，
，
．
故答案为：．
由题意，利用直线的斜率的定义和公式，求出直线的倾斜角．
本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，可得，
则．
故答案为：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以该小组成员年龄的第百分位数是．
故答案为：．
根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可．
本题考查了茎叶图与百分位数的应用问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，
所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，
所以，所以圆锥的高．
故圆锥的体积为：．
故答案为：．
由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案．
本题考查圆锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
则将代入回归方程可得，，得，
则回归直线方程为，
当时，用电量约为，
故答案为：．
根据回归直线方程的性质，计算出，将其代入到回归方程可解，再令，即可解．
本题考查回归直线方程的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：向量，
则，
，
则，即，解得，
故在方向上的投影向量等于．
故答案为：．
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由导函数的图像可知：
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以和是函数的极大值点，
是函数的极小值点，
所以命题是假命题，是真命题．
故答案为：．
由导函数判断原函数的单调性，从而逐项判断即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．
设的边长为，则由双曲线的定义，可求的值，在中，由余弦定理，可得结论．
【解答】
解：设的边长为，
则由双曲线的定义，可得，
，
，，
，
在中，，，
，，
由余弦定理可得
，
，，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，
由时，；得其关于原点对称后的解析式为，
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点．
对于，求导，令，解得，
即：当时，单调递增；
令，解得：．
即：当时，单调递减，
为其极大值点，，时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，则，即．
故答案为：．
由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围．
本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：证明：连接，如图所示：
、分别为、的中点，
在中，且，
，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
又平面平面，平面，
平面；
三角形与梯形所在的平面互相垂直，即平面平面，，
又平面平面，平面，
平面，
又平面，则，
则建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
，，则，，，，
，，
由得平面的法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
，，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】连接，由题意得且，结合题意可得且，即四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
由题意得平面平面，，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查空间中直线与平面的位置关系和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，
，，
，，
或；
，由知，
在中，设内角、的对边分别是，，
则，
由余弦定理得，，
解得或，，
由正弦定理得 ，
故．
【解析】化简得到，代入数据得到，得到，根据范围得到答案．
确定，根据面积公式得到，根据余弦定理得到，得到，再根据正弦定理得到答案．
本题考查解三角形问题，三角方程的求解，余弦定理与正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，化归转化思想，属中档题．
19.【答案】解：由，解得，
，
解得．
从名学生中任选人进行电话访谈种数：，
记任选人有男生为事件，则，
记任选人有女生为事件，则，
则；
用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在和的学生中抽取人，
抽中的人每天学习时间在的人数为人，
抽中的人每天学习时问在的人数为人，
设从人中抽取的人每天学习时间在的人数为，则，，，
，
的分布列为：
的数学期望为．
【解析】根据图表得，解出值，根据小矩形面积和为可求得值；
首先求得总数为种，求出其中有男生的概率为，求出有女生的概率为，再利用条件概率公式即可；
求出在各自区间的人数，设从人中抽取的人每天学习时间在的人数为，分，，计算，最后求出期望值．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
20.【答案】解：抛物线：，
则，且焦点在轴正半轴，
故抛物线的焦点，准线：；
由可得，，
则直线方程为，
设，，
联立方程，化简整理可得，，
，，
故；
存在，理由如下：
设直线：，，，
联立方程，消去可得，，
则，，，
，，
若以线段为直径的圆恒过点，
则，
，
，解得或，
若，即，
直线：，过定点，与点重合，不符合题意，
若，即，
则，
则直线：，过定点，
综上所述，直线过定点；
【解析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解；
根据已知条件，先求出直线的方程，再与抛物线联立，推得，再根据韦达定理，以及抛物线的定义，即可求解；
根据已知条件，设出直线，并与抛物线联立，推得，再结合向量垂直的性质，以及韦达定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
21.【答案】解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程为．
解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：


极小值
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为；
解：当时，，令，解得，舍去所以函数在上有一个零点；
当时，与在区间的情况如下表：


极大值 极小值
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点．
【解析】当时，求得，得到且，进而求得切线方程；
求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；
当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数．
本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题．
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