2022-2023学年浙江省杭州市高二年级下学期教学质量检测数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市高二年级下学期教学质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2. 若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是( )
A. B.
C. D.
3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于而早在世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为( )
A. B. C. D.
4. “点在圆外”是“直线与圆相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 第届亚运会将于年月日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者甲、乙等人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需名志愿者，每人至多参加一个项目若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. ，两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程决定系数小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是( )
A. B.
C. D.
7. 设，，，是半径为的球的球面上的四个点设，则不可能等于( )
A. B. C. D.
8. 设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记是的内心直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若函数的导函数的部分图像如图所示，则( )
A. 是的一个极大值点 B. 是的一个极小值点
C. 是的一个极大值点 D. 是的一个极小值点
10. 抛掷一枚质地均匀的骰子六个面上的数字是，，，，，，抛掷两次设事件“两次向上的点数之和大于”，事件“两次向上的点数之积大于”，事件“两次向上的点数之和小于”，则( )
A. 事件与事件互斥 B.
C. D. 事件与事件相互独立
11. 设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线离心率的最小值为
B. 离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C. 若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D. 若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
12. 已知曲线，，及直线，下列说法中正确的是( )
A. 曲线在处的切线与曲线在处的切线平行
B. 若直线与曲线仅有一个公共点，则
C. 曲线与有且仅有一个公共点
D. 若直线与曲线交于点，，与曲线交于点，，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中的系数为 ．
14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知，则曲线在点处的曲率为 ．
15. 已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 ．
16. 设函数，则使得成立的的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在四面体中，，，，，．
求证：，，，四点共面．
若，设是和的交点，是空间任意一点，用，，，表示．
18. 本小题分
已知等差数列的前项和为，且，
求数列的通项公式．
若中的部分项组成的数列是以为首项，为公比的等比数列，求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
证明：平面平面．
求平面与平面的夹角的正弦值．
20. 本小题分
第届亚运会将于年月日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至年地铁运行的里程数达到公里，排位全国第六同时，一张总长公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关精确到
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
偏好地铁
偏好其他
合计
国际友人来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上坐地铁的概率为，易知，．
试证明为等比数列
设第次选择共享单车的概率为，比较与的大小．
附：，．
21. 本小题分
设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，当直线垂直于轴时，．
求抛物线的标准方程．
已知点，直线，分别与抛物线交于点，．
求证：直线过定点
求与面积之和的最小值．
22. 本小题分
设函数，若曲线在处的切线方程为．
求实数，的值．
证明：函数有两个零点．
记是函数的导数，，为的两个零点，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的方向向量，属于基础题．
首先求出直线的斜率为：，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线定理即可得出答案．
【解答】
解：由题意可得：直线的斜率为，
所以直线的一个方向向量，又
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量基底的判定，属于基础题．
【解答】
解：：如图所示，
不妨取，，，
则，可知共面，不能作为基底，故A错误
，可知共面，不能作为基底，故B错误
，三向量不共面，可以作为基底，故C正确
，三向量共面，不可以作为基底，故D错误．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列通项公式的应用，属于基础题．
设第个单音的频率为，由条件可得，从而可得数列是首项为，公比为的等比数列，即可得第五个单音的频率．
【解答】
解：设第个单音的频率为，
因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，考查充分必要条件的判定，属于基础题．
由点在圆外，得到，求出圆的圆心到直线的距离，比较与半径的大小即可．
【解答】
解：若点在圆外，则，
圆的圆心到直线的距离，
与半径的大小无法确定，
不能得到直线与圆相交，充分性不成立，
若直线与圆相交，
则圆的圆心到直线的距离，
即，点在圆外．
点在圆外是直线与圆相交的必要不充分条件．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，甲不能参加“莲花”场馆的项目，在剩下人中选人参加“莲花”场馆的项目，有种选择方案，则还剩下“泳镜”、“玉琮”两个场馆，在剩下人中选人，有种选择方案，则共计种

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查回归方程的求法与决定系数的应用，属于基础题．
由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论．
【解答】
解：由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，
又小组的决定系数，小组的决定系数，
组的拟合效果好，则回归方程为，
又，，
，
即．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的概念与向量的模，考查数学运算能力及空间想象能力，属中档题．
由题意知、、、四点共面，根据点与、、中某一点重合和平面这两个特殊位置，可求出的范围，再判断选项即可．
【解答】
解：，，，是以为球心，半径为的球面上的四点，，
、、、四点共面，为等边三角形，．
当点和、、中其一重合时得到
极限状态，不能重合，
当平面时，，
，不可能．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆离心率的求解，考查数量积的运用，题目较难．
【解答】
解：如图所示，设，，，设圆与，，轴相切于点，，，
，，，
，
即，
，
，
，
又，，即，可得，
代入椭圆方程可得
，
由可知，
可得，
故选B

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数极值点的概念，函数的单调性，属于基础题．
根据导函数值的正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断即可．
【解答】
解：由图可知，函数的导函数小于时，或，
函数的导函数大于或等于时，或，
所以函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以是的一个极大值点，A正确；
是的一个极小值点，B正确；
不是的极值点，C错误；
是的一个极大值点，D错误．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查互斥事件与对立事件，古典概型及其计算，相互独立事件，条件概率的概念及其乘法公式，属于中档题．
利用互斥事件、对立事件以及相互独立事件的定义，以及条件概率、积事件的概率，逐个判断可得结果．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总共有个，
事件 为“两次向上的点数之和大于”则共有、、、、、、、、、、、、、、，共种，
则．
事件表示“两次向上的点数之积大于”，则共有、、、、、，共种，
则．
事件表示“两次向上的点数之和小于”的对立事件为“两次向上的点数之和大于等于”，则共有、，、、、共种，
．
由于，故事件与事件互斥，故A正确；
，故B错误；
概率 ，故C正确；
，，
，故事件与事件不相互独立，故D错误．
故选AC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题是对双曲线的综合考查，题目难度高．
【解答】
解：由双曲线的方程可得
所以双曲线的离心率
当且仅当，即时取等号，所以不正确
离心率最小时，，这时双曲线的标准方程为：，此时渐近线方程为，所以B正确
双曲线的两条渐近线可以看作一条退化的二次曲线，方程为
设直线过点，倾斜角为，则直线的方程为
，其中参数为直线上的动点到定点的距离，
将上述，代入双曲线方程，若整理后得到的关于的二次方程为，
那么将，代入渐近线方程，整理后得到的关于的二次方程则为，
由解得、对应的、，及的中点所对应的参数
由解得、对应的、，及的中点所对应的参数
可见的中点与的中点重合，故 AC，故C正确；
若，设，则，
对两边便于求导可得：，，
切线方程为，整理得，
切线方程也可表示为，
综合可得过的切线方程为，与渐近线联立解得：
，故F，将其代入渐近线中，
得，
，故选项D正确，
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究零点问题，利用图象研究交点个数，属于较难题．
【解答】
解：由题知 ，，
对于： ，，故在点处的切线方程为，
，，故在点处的切线方程为，
所以曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，故A正确；
对于：令 ，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
又，的图象如图所示：
由图可得，当或时，直线与曲线仅有一个公共点，故B错误；
对于令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，，故曲线与在内无交点；
当时，设，
所以在上单调递减，又，
故在上有且仅有一个零点，即曲线与在区间上有且仅有一个公共点；
当时，设，
故在上单调递减，又，
故当时，，即，
即曲线与在区间上无交点，
综上，曲线与有且仅有一个公共点；故C正确；
对于：由与的单调性可得，，
则，
又，在上单调递增，故，
又，在上单调递减，故，
故，故D正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质
【解答】
解：的展开式中的系数，
即的展开式中含的系数与含的系数之差，
由，分别取、，
可得的展开式中的系数为．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的应用，属于基础题．
【解答】
解：由题知：的定义域为，，
，，
故答案为

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列与不等式的综合应用，利用数列的递推公式求通项公式，属于中档题．
【解答】
解：由题知，
则，
故，
当时，则，
故正整数的最小值为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
【解答】
解：函数，定义域为，关于对称，
则为偶函数，，
时，，
则在上递减，在上递增，
即在上递减，在上递增．
若要求成立的的取值范围，即求，
即等价于，可解得，
即为．

17.【答案】解：因为，
，
所以，因此，，，四点共面．
由知，，，
因此，则，所以，

【解析】本题考查空间向量基本定理，属于基础题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，则由，
可得
解得因此
由，得，
又由是以为首项，为公比的等比数列，
得，因此，，
所以．

【解析】本题考查求等差、等比数列的通项公式，求等比数列的前项和，属于中档题．
19.【答案】证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，，，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
方法一：如图，以，，，
所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，
平面的的法向量，
平面的的法向量，
，，故平面与平面的夹角的正弦值为．
方法二：由题可知平面与平面的夹角二面角的正弦值与平面
与平面的夹角相等．
平面，过作于点，连接，
即为平面与平面的夹角的平面角，
，，
，
．
故平面与平面的夹角的正弦值为．

【解析】本题考查面面垂直的判定以及平面与平面所成角几何法或向量法等的求解，为中档题．
20.【答案】解：
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
首选地铁
首选其他
合计
零假设为城市规模与出行偏好地铁无关．
经计算，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于．
证明：第段行程上坐地铁的概率为，
则当时，第段行程上坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为
则，
从而，
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
解：由可知，
则，又，故．

【解析】本题是对独立性检验的综合考查，涉及等比数列的判定，难度较高．
21.【答案】解：由题意，当直线垂直于轴时，代入抛物线方程得，
则，所以，抛物线．
设，，直线，与抛物线联立，
得：，因此，．
设直线，与抛物线联立，得：，
因此，，则同理可得：．
当轴时，，，则直线
当斜率存在时，即，
所以．
因此直线，
令得
综上：直线过定点．
因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值．

【解析】本题考查求抛物线的标准方程，考查抛物线中的定点问题，面积问题，属于较难题．
22.【答案】解：，由题意知，解得
即，
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减当时，，单调递增．
又，，，故使得，
使得，命题得证．
由，且．
要证明，即证明，即证明．
令，则
，
因此单调递减，则因此，即，
即，又，，且在上单调递增，
因此，即命题得证．

【解析】本题考查了利用导数证明不等式和利用导数研究曲线上某点切线方程，属于较难题．
由函数解析式表示切点坐标，利用导数求得切线的斜率，再结合待定系数法可求得，；
结合函数单调性和零点存在性定理证明零点的个数；
构造函数证明不等式成立．
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