2022-2023学年上海市黄浦区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市黄浦区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 外离 C. 内含 D. 内切
2. 若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的斜率是( )
A. B. C. D.
4. 若函数在单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 直线与直线的夹角为______ ．
6. 两直线与平行，则的值是______ ．
7. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为______ ．
8. 双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为______ ．
9. 设直线与圆相交所得弦长为，则 ______ ．
10. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为______．
11. 已知无穷数列满足为正整数，且，则 ______ ．
12. 在正项等比数列中，，则 ______ ．
13. 周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是尺，芒种的日影子长为尺，则立夏的日影子为______ 尺
14. 已知数列满足，，则 ______ ．
15. 已知在区间上在下面所示的图象中，可能表示函数的图象的有______ 填写所有可能的选项．
16. 设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线：在点处的切线方程为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的前项和为．
Ⅰ求证：数列是等差数列；
Ⅱ求的最大值及取得最大值时的值．
18. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在区间上的最大值和最小值．
19. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为，且点到的距离为．
求抛物线的方程；
若斜率为的直线交抛物线于、两点位于对称轴异侧，且，求直线的方程．
20. 本小题分
椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点．
求椭圆的离心率；
若为直角三角形，求的面积；
若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21. 本小题分
设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间．
判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，；
若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，圆心，半径，
圆的标准方程为，圆心，半径，
两圆心之间的距离，
两圆内切．
故选：．
将圆的一般方程转化为标准方程，根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断．
本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用圆心距离和半径之间的关系是解决圆与圆位置关系的主要依据．
2.【答案】
【解析】解：是等差数列，
，
当时，，数列不是等差数列，
，数列不是等差数列，
，故数列也一定是等差数列，
，数列不是等差数列．
故选：．
取，可判定选项A、、的真假，然后利用等差数列的定义判定选项C即可．
本题主要考查了等差数列的判定，以及利用列举法判定真假，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
则，即，，
故，
，
，
故过点和的直线的斜率是．
故选：．
先求出公差，再结合直线斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题求出的导数，由题意可得恒成立，设，则，对讨论，分，，，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可求得所求范围
【解答】
解：函数的导数为：，
由题意可得恒成立，即，
即，
设，则，
当时，不等式显然成立
当时，，令
由在单调递增，可得时，取得最大值，
可得，即
当时，，
由在单调递增，可得时，取得最小值，
可得，即．
综上可得的范围是
另解：设，即，
由题意可得，且，
解得的范围是．
故答案选：．

5.【答案】
【解析】解：由于直线的斜率不存在，它的倾斜角为，
而直线的斜率为，倾斜角为，
故这两条直线的夹角为．
故答案为：．
由题意，根据直线的斜率求出倾斜角，再根据两直线的夹角的定义，得出结论．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，不符合题意，
当时，两直线与平行，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为双曲线离心率为，所以，
所以，即，
点代入双曲线方程得：，
解得，，
所以双曲线的标准方程为．
故答案为：．
根据离心率得出，的关系，代入点求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：双曲线方程为，
双曲线的右焦点坐标为，
渐近线为，即，
可得焦点到其渐近线的距离为．
故答案为：．
由双曲线方程，算出右焦点为，渐近线为由点到直线的距离公式加以计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点到其渐近线的距离．
本题给出双曲线方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：圆，
则圆心为，半径，
直线与圆相交所得弦长为，
圆心到直线的距离，
又圆心到直线的距离为，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，是椭圆：的两个焦点，点在上，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由数列满足，且，
则数列为以为公比的等比数列，
由，
则，
故答案为：．
由已知可得数列为以为公比的等比数列，再结合无穷等比数列求和公式求解即可．
本题考查了无穷等比数列求和，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：在正项等比数列中，，
，
，，
解得，
故答案为：．
根据等比数列的性质可得，进而得出结论．
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、方程的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设该等差数列为，公差为，
由题意可知，，，
故，解得，
，
所以立夏的日影子为尺．
故答案为：．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
则，
因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
从而，故．
故答案为：．
先求出是首项为，公比为的等比数列，即可求解．
本题主要考查数列数列的递推式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，在上，切线的斜率始终大于，
仅满足．
故答案为：．
根据题意切线的斜率始终大于，对比选项得到答案．
本题考查导函数与原函数之间的关系，考查函数的图象，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
，
是偶函数，
，
解得，
，，则，，
即切点为，切线的斜率为，
切线方程为，即．
故答案为：．
先由求导公式求出，根据偶函数的性质，可得，从而求出的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．
本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，
又当时，满足，
故的通项公式为，
所以，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
Ⅱ，即，解得，
故数列的前项或前项和最大，
此时．
【解析】Ⅰ当时，，验证当时也满足，于是可求得的通项公式为，利用等差数列的定义证明即可；
Ⅱ令可求得，从而可得答案．
本题考查等差数列的关系的确定及通项公式的应用，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为 ，
所以 ，
．
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为．
设 ，
则 ．
当时，，所以在区间上单调递减．
所以对任意有，
即．
所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，切线方程的求法，是中档题．
求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
设 ，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
19.【答案】解：由题可知，点到抛物线准线的距离为，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为，
，解得，
抛物线的方程为；
根据题意可设直线的方程为，
联立，得，
设，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即．
【解析】根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程；
设直线的方程为，联立抛物线方程，将数量积用表示，再由建立方程，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由椭圆的方程为，得标准方程为，
，离心率．
设，，
当时，，，，
此时；，
由对称性，不妨设时，且在第一象限，则，
此时；，
综上，的面积为或．
设，则直线的方程为，
由已知，
同理：，
因而，，是方程 的两根，所以，
得，由在第一象限得，
存在位于第一象限的点，使得，点的坐标为．
【解析】由已知易求椭圆的离心率；
分，两种情况可求的面积；
设，则直线的方程为，可得，进而可得，可求的坐标．
本题考查椭圆的几何性质，考查三角形的面积，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．
21.【答案】解：对于，有，在区间上是增函数，
则不是上的单峰函数，
对于，有，
在区间上，，是增函数，在区间上，，是减函数，
故是上的单峰函数，其峰点为；
根据题意，若函数是区间上的单峰函数，
则在在区间上先增后减，
其导数，则的值在区间上先正后负，
若，，在区间上为减函数，不符合题意；
若，在区间上为增函数，且，
故在区间上不存在，满足的值在区间上先正后负，
综合可得：不存在实数，使函数是区间上的单峰函数，即实数的集合为．
【解析】根据题意，由“单峰函数”的定义，分析两个函数是否是“单峰函数”，即可得答案；
根据题意，求出函数的导数，由“单峰函数”的定义，分析可得的值在区间上先正后负，分与两种情况讨论，综合可得答案．
本题考查函数与方程的关系，注意理解“单峰函数”的定义，属于中档题．
第1页，共1页