(共54张PPT)
不等式及其解集
人教版 七年级下
初一年级 数学
不等式及其解集
不等式
等式
用等号表示相等关系的式子叫做等式.
不等式
用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
等号：=
不等号： ， ，≠，≥，≤ .
不等号
不低于，不少于，不小于，至少……
不高于，不超过，不大于，至多……
符号
文字
>
大于
<
小于
不等于
大于或等于
小于或等于
≠
≥
≤
；
；
；
；
；
.
（1） 比 大； （2） 是负数；
（3） 是非负数； （4） 的3倍与 的差是正数；
（5） 的 与 的一半的和不大于1.
例：用不等式表示下列语句.
（1） 比 大；
（2） 是负数；
（3）是非负数；
例：用不等式表示下列语句.
（4） 的3倍与 的差是正数；
即
例：用不等式表示下列语句.
例：用不等式表示下列语句.
（5） 的 与 的一半的和不大于1.
即
例：用文字表述下列不等式.
（1） ；
（2） ；
（3） .
答案不唯一，写出一个符合要求的即可.
大于零；
是正数；
（1） ；
与3的差大于零；
与3的差是正数.
例：用文字表述下列不等式.
（2）
b的3倍与2的和小于5；
3b与2的和小于5.
；
例：用文字表述下列不等式.
（3） .
的 与 的2倍的差大于或等于 ；
的 与 的2倍的差不小于 .
例：用文字表述下列不等式.
表达不等关系
符号语言与文字语言相互转化要准确
不低于，不少于，不小于，至少……
不高于，不超过，不大于，至多……
大于或等于
小于或等于
≥
≤
巩固提升
用不等式表示：
（1） 比 小；
（2） 与5的和是正数；
（3） 的一半与 的差不小于 ；
（4） 的3倍与 的 的和是非正数.
巩固提升
（2） 与5的和是正数；
用不等式表示：
（1） 比 小；
（3） 的一半与 的差不小于 ；
（4） 的3倍与 的 的和是非正数.
用不等式表示：
用文字表述下列不等式.
如： 的2倍与3的和不大于b.
问题：一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50 km，要在12:00之前驶过A地，车速应该满足什么条件？
分析：设车速是x km/h，
问题：一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50 km，要在12:00之前驶过A地，车速应该满足什么条件？
分析：设车速是x km/h，
即
从时间上看，车速为x km/h行驶50 km所用时间不到 h.
问题：一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50 km，要在12:00之前驶过A地，车速应该满足什么条件？
分析：设车速是x km/h，
从路程上看，汽车以x km/h行驶 h的路程要超过50 km.
即
当x=80时，以上不等式成立吗？
以不等式（2）为例：
（2）
，
当x=80时，不等式（2）成立.
（1）
x 的值 80 78 75 72 60
不等式（2） 成立
成立
不成立
不成立
不成立
（2）
不等式的解
使方程成立的未知数的值叫做方程的解.
方程的解
不等式的解
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
我们称80和78是不等式 的解，
而75，72和60不是不等式 的解.
（2）
x 的值 80 78 75 72 60
不等式（2） 成立
成立
不成立
不成立
不成立
除了80和78，不等式（2） 还有其他解吗？
可以发现，
任何大于75的x的值都是不等式 的解，这样的解有无数个；
任何小于或等于75的x的值都不是不等式 的解.
当 时，不等式（2）总成立；
当 时，不等式（2）不成立.
不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有的解，
组成这个不等式的解集.
因此， 是使不等式 成立的x的取值范围.
我们称 是不等式 的解集.
解不等式
求不等式的解集的过程叫做解不等式.
（2）
（1）
巩固提升
下列数中哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？
直接说出不等式x+3>6的解集：______.
– 4， –2.5， 0， 2.5， 3， 3.2， 8， 12.
√
√
√
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
x>3
巩固提升
下列说法中正确的是（ ）
A.x= –1是不等式2x< –2的唯一解
B.x= –2是不等式2x< –2的解集
C.x= –2, –3是不等式2x< –2的解且它的解有无数个
D.x< –2是不等式2x< –2的解集
C
在数轴上表示不等式的解集
100
75
50
25
0
在数轴上表示为
在数轴上表示不等式的解集
x大于75
在数轴上表示为
100
75
50
25
0
例：在数轴上表示不等式的解集.
（1）
（2）
（3）
（1）
2
-1
0
1
-2
例：在数轴上表示不等式的解集.
空心
（1）
（2）
-1
0
1
2
-2
2
-1
0
1
-2
例：在数轴上表示不等式的解集.
实心
（1）
（2）
-1
0
1
2
-2
空心
2
-1
0
1
-2
例：在数轴上表示不等式的解集.
（3）
-1
0
1
2
-2
-
例：在数轴上表示不等式的解集.
实心
-1
0
1
2
-2
-
例：在数轴上表示不等式的解集.
（3）
在数轴上表示不等式的解集的步骤.
步骤：
1.画数轴
2.找端点
3.确定实心，还是空心
4.看大小，定左右
（1）
-1
0
1
2
-2
（2）
0
-1
1
2
-2
（3）
-2
-1
0
1
2
-
例：若关于x的不等式的解集如图所示，请写出对应的解集.
1
-1
0
2
-2
（3）
（1）
-1
0
1
2
-2
（2）
0
-1
1
2
-2
巩固提升
在数轴上表示下列不等式的解集.
（1）
（2）
0
3
0
巩固提升
若一个不等式的解集如图所示，
则这个不等式的负整数解是 .
-4
-3
-2
-1
0
-
-4
-3
-2
-1
0
-
巩固提升
若一个不等式的解集如图所示，
则这个不等式的负整数解是 .
-1，-2，-3
小结
用不等式表示不等关系
不低于，不少于，不小于，至少……
不高于，不超过，不大于，至多……
大于或等于
小于或等于
≥
≤
小结
实际问题中的不等关系
建立模型
不等式的解
小结
不等式的解集
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
小结
注意：
确定实心，还是空心
看大小，定左右
文、图、式相互转化
小结
数学思想方法
类比
由特殊到一般
建立模型
作业1
1.下列数值中哪些是不等式2x＋3＞9的解？哪些不是？
-4，-2，0，3，3.01，4，6，100.
2.用不等式表示：
（1）a与2的和是负数； （2）b与12的差大于-5；
（3）c的4倍大于或等于8；（4）d与e的差不大于-2.
作业1
3.若关于x的不等式的解集如图所示，请写出对应的解集.
（1） （2）
4
3
2
1
0
3
4
1
0
2
4.在数轴上表示下列不等式的解集.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
作业2
请你写出本节课的思考与收获，可以从“数学知识” 和“数学思想方法” 两个方面考虑.
同学们再见！
谢谢
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教 案
教学基本信息
课题 不等式及其解集
学科 数学 学段： 初中 年级 七年级
教学目标及教学重点、难点
教学目标： 1.了解不等式、不等式的解、不等式的解集和解不等式的含义，会在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集“图、文、式”三种语言的互相转化，体会数形结合的思想. 2. 会用不等式表示简单的不等关系，经历“从不同的角度把实际问题抽象为不等式”的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型，并能够比较选择合适的模型解决问题. 3.通过探究不等式相关的概念，体会类比、由特殊到一般和建立不等式数学模型的方法，培养学生知识迁移的能力. 教学重点： 正确理解不等式及其相关概念的含义. 教学难点： 能够准确运用不等式表示不等关系，会在数轴上表示不等式的解集，渗透数形结合的思想.
教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
温故 知新， 引入 概念 1.回顾复习等式的概念类比给出不等式的概念，并认识不等号. 等式：用等号表示相等关系的式子叫等式. 等号：＝ 不等式：用不等号表示不等关系的式子叫不等式. 不等号：＞，＜，≠，≥，≤. 师：听到不等式，你能联想到学过的哪个概念？再说出它的具体内容. 生：思考，并自己说出. 师：ppt呈现概念. 2.从符号和文字语言两个方面再认识不等号. 符号文字＞大于＜小于≠不等于≥大于或等于（不低于，不少于，不小于，至少等）≤小于或等于（不高于，不超过，不大于，至多等）
教师引导讲解，学生思考并整理不等号的符号和文字语言. 3.不等式举例. 1＜3，，a＜3，b≥2c-1，，. 教师给出不等式的六个例子，学生自己再举出三个不等式的例子. 为了建立等式与不等式的联系，渗透类比的数学思想. 为用不等式表示不等关系和解决实际问题做铺垫. 辨析不等式的概念.
举例 说明， 语言 互化 4.用不等式表示不等关系，用语言表述不等式. 例1．用不等式表示下列语句. （1）比大； （2）是负数； （3）是非负数； （4）的3倍与的差是正数； （5）的与的一半的和不大于1. 例2．用文字表述下列不等式. （1） （2） （3）： 教师ppt呈现例题，让学生思考尝试. 教师带着学生分析每个问题. 练习1.用不等式表示. （1）比小； （2）与的和是正数； （3）的一半与的差不小于； （4）的3倍与的的和是非正数. 练习2：用文字表述下列不等式. 学生先独立完成练习，教师出示答案，并对个别问题进行分析讲解. 会用不等式的符号语言表示不等关系和会用文字语言表述不等式. 巩固刚学的知识和方法.
学以 致用，建立 模型 5.行程问题 问题：一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速应该满足什么条件？ 分析：设车速是x km/h， 40分钟换算为h. 从时间上看：车速为x km/h行驶50 km所用时间不到h. 即：. 从路程上看，汽车以 x km/h行驶h的路程要超过50 km. 即：. 6.不等式的相关概念. 行程问题中列出的三个不等式： （1） （2） 问：汽车要在12:00之前驶过A地，车速x的取值范围是什么呢？ 问：当x=80时，以上不等式成立吗？ 以不等式（2）为例： 当时，不等式成立. x的值8078757260不等式（2）成立成立不成立不成立不成立
问：满足不等式（2）的这些x的值，我们能给他起个名字吗？ 你又想到了哪个概念？请说出它的具体内容. 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 问：除了80和78之外，不等式还有其它的解吗？ 如果有，这些解满足什么条件？ 发现它的解有无数多个，这无数多个解组成未知数的一个取值范围. 不等式解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 再从新认识由实际问题得到的两个不等式. （1） （2） 发现：由不等式（2）向x大于75变形的过程叫做解不等式.不等式（1）的解集也是. 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式. 练习3：下列数中哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？ –4， –2.5， 0， 2.5， 3， 3.2， 8， 12. 直接说出不等式x+3>6的解集：______. 练习4：下列说法中正确的是（ ） A. x=-1是不等式2x<-2的唯一解 B. x=-2是不等式2x<-2的解集 C. x=-2,-3是不等式2x<-2的解且它的解有无数个 D. x<-2是不等式2x<-2的解集 7．不等式解集三种语言之间的关系. 以为例， x大于75 在数轴上表示： (
100
) (
25
25
) (
0
) (
75
) (
50
) 注意：边界值不能取，因此端点处用空心圈，方向向右. 例3.在数轴上表示不等式的解集. （1） （2） （3） 在数轴上表示不等式的解集的步骤： 1.画数轴 2.找端点 3.确定实心，还是空心 4.看大小，定左右 例4. 若关于x的不等式的解集如图所示，请写出对应的解集. . 练习5：在数轴上表示下列不等式的解集. （1） （2） 练习6：若一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的负整数解是 . (
0
) (
-4
) (
-
3
) (
-
2
) (
-
1
) 引导学生从多角度思考问题，并选择自己擅长的方法解决问题,从实际问题抽象出不等式模型. 尝试解决实际问题，并探究两个不等式之间有什么联系，在探究的过程中给出不等式的解，不等式的解集和解不等式的概念. 渗透解决一个新问题的方法，枚举尝试,寻找规律，体现由特殊到一般的思想. 类比方程的解给出不等式的解的概念. 给出不等式的解集的概念. 培养学生观察分析问题的能力，并寻找两个不等式模型的联系.给出解不等式的概念. 帮助学生理解和梳理刚学的不等式相关概念. 理解在数轴上表示不等式的解集，并了解不等式的解集的三种语言能够互相转化. 会在数轴上表示不等式的解集. 体会不等式的解集的符号和图形语言之间的转化. 巩固落实把不等式的解集画在数轴上，理解不等式的解与解集的关系.
归纳小结,梳理知识 我们将从知识和思想方法两个方面进行总结： 知识方面： （1）在数学与生活中不仅存在等量关系，而且存在着大量的不等关系，不等式是用来表示不等关系的，不等号是刻画不等关系的符号语言，在表达不等关系时，要表达准确. （2）在用不等关系解决实际问题时，要注意圈画关键词，准确理解题意，根据题意，设未知数，建立不等式模型，从不同的角度建立的不等式之间是有联系的，都能解决问题，只是后续求解的难易不同，想到多种方法的同学，可以比较选择最优的方法解答，这样可以节约解题时间. （3）不等式的解与不等式的解集既有联系又有区别.不等式的解是它的解集中的一个值，不等式的解集是由这个不等式所有的解组成的. （4）不等式的解集有三种表示方式分别是“文、图、式”，它们三者之间可以互相转化，特别地，在数轴上表示不等式解集时注意确定实心，还是空心，看大小，定左右，这些细节尤为重要. 思想方法方面： 本节课我们主要运用了类比、建立模型和由特殊到一般的思想方法. 归纳梳理所学知识和方法，突出本节课的重难点.
布置作业 作业1 1.下列数值中哪些是不等式的解？哪些不是？ -4，-2，0，3，3.01，4，6，100. 2.用不等式表示： （1）a与2的和是负数； （2）b与12的差大于-5； （3）c的4倍大于或等于8； （4）d与e的差不大于-2. 3.如果关于x的解集如图所示，请写出对应的不等式. （1） （2） 4. 在数轴上表示下列不等式的解集. （1）x＞； （2）x＜-3.5； （3）x≥5； （4）x≤-2. 作业2 请你写出本节课的思考与收获，可以从“数学知识”和“数学思想方法”两个方面考虑. 巩固落实本节课所学的知识和方法.中小学教育资源及组卷应用平台
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
【笔记】
1.不等式的定义:用 表示 的式子叫不等式,不等号主要包括: 、 、 、 、 .
2.不等式的解与解集的定义:在含有未知数的不等式中,使不等式成立的 叫不等式的解,一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的 .不等式的解集可以 表示出来.求不等式的解集的过程叫 .
3.不等式解集及其数轴表示法.
(1)不等式解集表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x≤8.
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式有无限个解.如:
【训练】
1.下列式子中,不等式的个数为 ( )
①-2<0; ②x+3y>4; ③x+2=1; ④x+y;⑤a≠6.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.m与5的和的一半是正数,用不等式表示 ( )
A.m+>0 B.(m+5)≥0
C.(m+5)>0 D.(m+5)<0
3.用不等式表示图中的不等式的解集,其中正确的是 ( )
A.x>-2
B.x<-2
C.-2
D.x>2
4.当x=-3时,下列不等式成立的是 ( )
A.x-5>-8 B.x+3>0
C.3(x-3)>-3 D.3x>2x
5.学校组织同学们春游,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ( )
A.两种客车总的载客量不少于500人
B.两种客车总的载客量不超过500人
C.两种客车总的载客量不足500人
D.两种客车总的载客量恰好等于500人
6.在数:4,5,6,-1中,是不等式x-2<3的解的是 .
7.已知x≥5的最小值为a,x≤-7的最大值为b,则ab= .
8.设“●”、“▲”表示两种不同的物体,现用天平称(如图),若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是 . 第8题图
9.根据下列数量关系列出不等式;
(1)x的与x的3倍之和是负数;
(2)m除以4的商减去3小于2;
(3)m与n两数的平方差大于6.
10.请写出下列各数轴上所表示的关于x的不等式的解集.
(1) (2)
(3) (4)
11.将下列不等式的解集在数轴上表示出来:
(1)x<-2; (2)x>-1;
(3)x≥3; (4)-212.有下列4个结论,其中正确的是 ( )
①4是不等式x+3>6的解;②x>4是不等式x+3>6的解集;③3是不等式x+3≥6的解;④x≥3是不等式x+3≥6的解集.
A.①② B.①②③
C.③④ D.①③④
13.在数轴上,到原点的距离小于3的点对应的x值应满足 ( )
A.x<3 B.3>x>-3
C.x≤3 D.x≥-3
(
用法用量
:
口服
,
每天
30
~
60mg
,
分
2
~
3
次服用
.
规格
:
□□□□□□
贮藏
:
□□□□□□
)14.如图是某种药品的说明书上贴有的标签,则一次服用这种药品的剂量范围是 mg.
15.按要求填空:
(1)写出不等式x<4的所有正整数解: ;
(2)写出不等式x≥-3的所有负整数解: ; 第14题图
(3)写出不等式x≤3的所有非负整数解: ;
(4)写出不等式x>-2的最小整数解: .
16.已知关于x的不等式x>的解集在数轴上的表示如图,求a的值.
第16题图
17.用A,B两种原料配制某种饮料,已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表:
A种原料 B种原料
维生素C(单位/kg) 500 200
原料价格(元/kg) 7 3
现配制成饮料12kg,至少含有4000单位的维生素C,试写出所需A种原料的质量x(kg)应满足的不等式: ;若购买A,B两种原料的费用不超过70元,则x(kg)应满足的另一个不等式为: .
参考答案
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
【笔记】
1.不等号 大小关系 > < ≥ ≤ ≠
2.未知数的值 解集 在数轴上 解不等式
【训练】
1.B 2.C 3.A 4.B 5.A
6.4,-1 7.-35 8.2y+x>2x+y
9.(1)x+3x<0 (2)-3<2 (3)m2-n2>6
10.(1)x<-1 (2)x≥1 (3)x≤-1 (4)x>3
11.图略 12.D 13.B 14.10~30
15.(1)1,2,3 (2)-3,-2,-1 (3)0,1,2,3 (4)-1
16.a=1
17.500x+200(12-x)≥4000 7x+3(12-x)≤70中小学教育资源及组卷应用平台
9.1不等式的解集
学习目标
理解不等式的解及解集的定义,会用数轴表示不等式的解集.
通过用数轴表示不等式的解集，培养数形结合思想.
学习重点: 理解不等式的解及解集.
学习难点：正确用数轴表示不等式的解集.
学习过程：
一、自主学习
当x= -3 ,x=0, x=2 x=7, x=8时，不等式x﹣2＜5分别成立吗？
不等式的解: .
二、合作交流
不等式的解集：
a a﹣2 比较a﹣2与5的大小 a是x﹣2＜5的解吗？
-3 -5 -5＜5 是
1.2
7 5 5=5 不是
7.1
7.3
…
不等式的解集: .
不等式的解集，可以在 上直观地表示出来.
例 不等式x﹣2＜5的解集x＜7,可以用数轴上表示7的点的左边部分来表示.
不等式x+5≥4的解集x≥-1,可以用数轴上表示-1的点和它的右边部分来表示.
三、展示自我
想一想：
如何在数轴上表示出满足关系式-2≤x≤3的x取值范围？
四、拓展练习
1、不等式x-2＜4的正整数解是 .
2、已知x3、有理数，在数轴上的位置如图所示，下列四个结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4、给出下列不等式：，，，，其中成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、已知，，则在，，，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
6、不等式＜1的非负整数解是（ ）
A 无数个 B 1 C 0，1 D 1，2
7、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）＞－2.5 （2）＜ （3）≥4 （4）≤0
8、不等式＜20有多少个解？请找出几个。你能找出其中的正整数解吗？你能找出其中的非整数解吗？
9、小于2的每一个数都是不等式+3＜6的解，所以这个不等式的解集是＜2.这种解答正确吗？
五、教学反思