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第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.2 不等式的性质(一)
【笔记】
1.不等式的性质1:
不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c.
2.不等式的性质2:
不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.用式子表示:如果a>b,c>0,那么 或 .
3.不等式的性质3:
不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用式子表示:如果a>b,c<0,那么 或 .
【训练】
1.(杭州中考)若a>b,则 ( )
A.a-1≥b B.b+1≥a
C.a+1>b-1 D.a-1>b+1
2.下列变形错误的是 ( )
A.由x-5>0可得x>5
B.由x>0可得x>0
C.由-3x>-9可得x>3
D.由-x>1可得x<-
3. a,b都是实数,且a
A.a+x>b+x B.-a+1<-b+1
C.3a<3b D.>
4.若m>n,下列不等式不一定成立的是( )
A.m+2>n+2 B.2m>2n
C.> D.m2>n2
5.如果a>b,c<0,那么下列不等式成立的是 ( )
A.a+c>b B.a+c>b-c
C.ac-1>bc-1 D.a(c-1)6.实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,则下列不等式成立的是 ( )
第6题图
A.ac>bc B.ab>cb
C.a+c>b+c D.a+b>c+b
7.下列数轴中表示不等式x<-2的解集正确的是 ( )
A. B.
C. D.
8.若关于x的不等式(a+2020)x>a+2020的解为x<1,则a的取值范围是 ( )
A.a>-2020 B.a<-2020
C.a>2020 D.a<2020
9.用“<”或“>”填空:
(1)若a-b(2)若3a>3b,则a b;
(3)若-a<-b,则a b;
(4)若2a+1<2b+1,则a b.
10.已知a>b,若a<0则a2 ab,若a>0,则a2 ab.
11.按下列要求写出能成立的不等式及其依据:
(1)m>n,两边都乘15,得 ,依据是 ;
(2)-x<-3,两边都乘,得 ,依据是 ;
(3)x-5>-7,两边都加上5,得 ,依据是 .
12.阅读下面解题过程,再解题.
已知a>b,试比较-2021a+1与-2021b+1的大小.
解:∵a>b①,
∴-2021a>-2021b②,
故-2021a+1>-2021b+1③,
问:(1)上述解题过程中,从第 步开始出现错误;
(2)错误的原因是什么
(3)请写出正确的解题过程.
13.根据不等式的性质,把下列不等式化成x>a或x(1)x-2<3; (2)6x<5x-1;
(3)x>5; (4)-4x>3.
14.当0A.x2C.15.四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S,如图,则他们体重的大小关系是( )
第15题图
A.P>R>S>Q B.Q>S>P>R
C.S>P>Q>R D.S>P>R>Q
16.关于x的不等式(1-a)x>2两边都除以(1-a),得x<,试化简:|a-1|+|a+2|.
17.同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论,甲说:“7a>6a正确”,乙说:“这不可能正确”,你认为谁的观点对 为什么
18.现有不等式的性质:
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
②在不等式的两边都乘同一个数,乘的数为正时不等号的方向不变,乘的数为负时不等号的方向改变.
请解决以下两个问题:
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0);
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0).
参考答案
9.1.2 不等式的性质(一)
【笔记】
2.ac>bc > 3.ac【训练】
1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.D 8.B
9.(1)< (2)> (3)> (4)< 10.< >
11.(1)35m>12n 不等式性质2 (2)x> 不等式性质3
(3)x>-2 不等式性质1
12.(1)② (2)不等式两边同乘以一个负数,不等号的方向没有改变; (3)∵a>b,∴-2021a<-2021b,∴-2021a+1<-2021b+1.
13.(1)x<5 (2)x<-1 (3)x>10 (4)x<-
14.A 15.D
16.因为关于x的不等式(1-a)x>2两边都除以(1-a)后,不等号方向发生了改变,所以1-a<0,解得a>1,
所以|a-1|+|a+2|=(a-1)+(a+2)=2a+1.
17.两人的观点都不对,因为当a>0时,7a>6a;当a=0时,7a=6a;当a<0时,7a<6a.
18.(1)若a>0,则a+a>a+0,即2a>a;
若a<0,则a+a(2)若a>0,因为2>1,所以2·a>1·a,即2a>a;
若a<0,因为2>1,所以2·a<1·a,即2a教 案
教学基本信息
课题 不等式的性质(第二课时)
学科 数学 学段： 三 年级 七年级
教学目标及教学重点、难点
教学目标：进一步理解不等式的性质，利用不等式的性质将不等式逐步化为x>a或x教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
复习回顾 不等式：定义——性质——应用 回顾不等式具有哪些性质： 不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 不等式性质2 ：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式性质3 ：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 以数学现实的形式引入新课，引导学生用数学的眼光看待问题. 以“定义、性质、应用”的“基本套路”的形式呈现意在引导学生和前面已经学习的“等式（方程）”进行类比. 回顾不等式的基本性质，为应用做准备．
基础运用 环节1 简单应用 1、设a>b，用“<”或“>”填空： （1）a-3.5 b-3.5；（ ） （2）-5a -5b ；（ ） （3） ；（ ） （4）3a -2c 3b -2c. （ ） 2、根据不等式的性质填空： （1）x -2> -6，两边都加2，得 ；（ ） （2）3x<9，两边都除以3，得 ；（ ） （3），两边都乘，得 . （ ） 环节2 像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系. 符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可说是“不大于”. 像a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质. 环节3 例1 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）x -7 > 26； （2）3x < 2x+1； （3）x ≥ 50； （4）-4x ≥ 3. 练习1 用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集： （1）x与7的和不小于-1； （2）x的4倍小于x的3倍与5的差； （3）y的不大于； （4）x的-8倍比10大. 例2 已知a<3，根据不等式的性质，判断下列各式的取值范围. （1）2a-1； （2）-4a+10； （3） . 直接应用不等式的性质，根据a>b求出比较复杂的两个式子之间的大小关系. 由稍微复杂的已知条件，得到简单的x>a或xa或x实际应用 例3 某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm.容器内原有水的高度3cm，现准备向它继续注水. 用V(单位： )表示新注入水的体积，写出V的取值范围. 练习2 一罐饮料净重约300g,罐上注有“蛋白质含量≥0.6%”，其中蛋白质的含量至少为多少克？ 引导学生体会“数学源自生活，数学又服务于生活”. 同时初步体验利用不等式解决应用问题的过程与方法. 体会设未知数和找数量关系的区别.
拓展提升 练习3 关于x的不等式的解集是 . 例4 如果关于x的不等式 的解集 是x<1，那么m的取值范围是 . 练习4 比较3a与2a的大小. 方法一：不等式性质应用 方法二：求差法 a>ba-b>0， a=ba-b=0， a归纳总结 1、回顾不等式性质： 不等式性质1 ：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c. 不等式性质2 ：如果a>b，c>0，那么ac>bc，（或）. 不等式性质3 ：如果a>b，c<0，那么ac布置作业 人教版七年级下册教科书习题9.1 120页第5题，第9题；121页课后阅读与思考：用求差法比较大小． 巩固本课所学内容.中小学教育资源及组卷应用平台
5.2不等式的基本性质
学习目标
掌握不等式的基本性质,会利用不等式的基本性质变形.
经历观察、类比、猜测、验证的探索不等式性质过程，提高分析问题和解决问题的能力.
学习重点: 掌握不等式的基本性质.
学习难点：不等式的基本性质3的应用.
学习过程：
一、自主学习
1.用“>” “<” 或 “≥ ” “≤ ”填空
(1)4 -6 (2)-1 0 (3)-8 -3 (4)-4 -4.5
(5)3×(-1) 2×(-1) (6)x 0 (7) |x| 0
(8)x +1 0 (9)x +1 1
2.用“＜”或“＞”号填空：
（1）6+5 9+5 （2）6+（-3） 9+（-3）
（3）6×5 9×5 （4）6×（-5） 9×（-5）
二、合作交流
不等式的基本性质
名称 等式 不等式
定义 用“＝”表示相等关系的式子.
基本性质 （文字 叙述） 性质1 等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 性质2 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），所得 的结果仍是等式.
基本性质 （符号 语言） 1.若,则 2.若,则 若, 则
性质的作用 解方程的主要依据
三、展示自我
例1 设 a＞b ，用“<”或“>”号填空：
（1）a-3 b-3
（2）2a 2b
（3）－a － b
例2：根据不等式基本的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
(1)x-1＜1; (2)6x＞5x-1;
(3)x＞5; (4)-2x ＜-3.
四、拓展练习
议一议：如果a，b，c为有理数，其中c≠0，而且a＞b＞c，下列不等式中那些正确？
（1）ab ＞ bc （2） a+b ＞ b+c
(3) a﹣b ＞ b﹣c (4) ＞
分层测试卡：
1、练习： 已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空：
(1)a+2 ____2； (2)a-1 _____-1； (3)3a______ 0；
(4)-a/4______0; (5)a2_____0; (6)a3______0
(7)a-1______0； (8)|a|______0．
2、某品牌袋装奶粉，袋上标注着“净含重400g”“每百克含有蛋白质≥18.9g”，那么这样的一袋奶粉中蛋白质的含量至少是 g．
3、x＜y得到ax＞ay的条件应是____________.
4、若x＋y＞x－y，y－x＞y，那么（1）x＋y＞0，（2）y－x＜0，（3）xy≤0,
（4）＜0中，正确结论的序号为________
5、利用不等式的性质解下列不等式．
(1) x-７＞26 (2) 3x<2x+1 (3)x>50 (4) -4x﹥3
五、教学反思(共48张PPT)
不等式的性质（第二课时）
人教版 七年级下
初一年级 数学
不等式的性质（第二课时）
定义
不等式：
性质
应用
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
（1）a-3.5 b-3.5；
（2）-5a -5b ；
>
<
（不等式的性质1）
（不等式的性质3）
设a>b，用“<”或“>”填空：
>
>
（3） ；
（4）3a -2c 3b -2c.
（不等式的性质2）
3a 3b
>
（不等式的性质2）
3a -2c 3b -2c
>
（不等式的性质1）
（不等式的性质1、2）
设a>b，用“<”或“>”填空：
不等式性质1
根据不等式的性质填空：
（1）x -2> -6，两边都加2，得 ；( )
（2）3x<9，两边都除以3，得 ；( )
（3） ，两边都乘 ，得 .( )
不等式的性质1
-4
x
>
不等式的性质2
3
x
<
不等式的性质3
x
<
像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系. 符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可说是“不大于”.
a≥b或a≤b形式的式子，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质.
若a≥b，则
ac≥bc （c>0）；
ac≤bc（c<0）.
a+c≥b+c，a -c≥b –c；
例 利用不等式的性质解下列不等式，并在
数轴上表示解集:
（1）x -7 > 26； （2）3x < 2x+1；
（3） x ≥ 50； （4）-4x ≥ 3.
解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x>a或x解：不等式两边加7，
（1）x -7 > 26
>
x > 33
（不等式的性质1）
x-7+7
26+7
0
33
画空心圆圈，表示取值范围不包含这个数
解：不等式两边加7，
（1）x -7 > 26
>
x > 33
（不等式的性质1）
x-7+7
26+7
0
33
x > 33需要选取33右侧的所有点
解：不等式两边加7，
（1）x -7 > 26
>
x > 33
（不等式的性质1）
x-7+7
26+7
0
33
数
形
解：不等式两边减2x，
（2）3x < 2x+1
<
x < 1
(不等式的性质1)
3x -2x
2x+1-2x
0
1
x < 1需要选取1左侧的所有点
（3） x≥50
解：不等式两边乘 ，
x ≥ 75
（不等式的性质2）
≥
0
75
画实心圆点，表示取值范围包含这个数．
解：不等式两边除以-4，
（4）-4x ≥ 3
（不等式的性质3）
≤
x
≤
0
练习 用不等式表示下列语句并写出解集，并在
数轴上表示解集：
（1）x与7的和不小于-1；
（2）x的4倍小于x的3倍与5的差；
（3）y的 不大于 ；
（4）x的-8倍比10大.
（1）x与7的和不小于-1；
解：x+7
x ≥ -8
（不等式的性质1）
≥ -1
x+7-7
-1-7
≥
0
-8
解：4x
（2）x的4倍小于x的3倍与5的差；
x <-5
3x -5
<
4x -3x
3x -5-3x
(不等式的性质1)
<
0
-5
解：
（3）y的 不大于 ；
y ≤ 6
（不等式的性质2）
≤
≤
0
6
解：-8x >10
（4）x的-8倍比10大.
（不等式的性质3）
<
0
（1）2a-1；
（2）-4a+10；
（3） .
例 已知a<3，根据不等式的性质，判断下列各式
的取值范围.
2a -1<5 .
解：因为a<3
所以
（1）2a-1
a<3
2a
2a-1
（不等式的性质2）
（不等式的性质1）
2a -1 6 -1
<
<
2a
2×3
例 已知a<3，根据不等式的性质，判断下列各式
的取值范围.
解：因为a<3
所以
a<3
-4a
-4a+10
（不等式的性质3）
（不等式的性质1）
>
>
（2）-4a+10
-4×3
-4a+10
-4×3+10
-4a+10 > -2.
-4a
例 已知a<3，根据不等式的性质，判断下列各式
的取值范围.
（3）
a<3
-5a
-5a+13
13-5a
例 已知a<3，根据不等式的性质，判断下列各式
的取值范围.
（3）
.
解：已知a<3，
>
所以
-5a
-5×3
>
（不等式的性质3）
13-5a
13 -5×3
（不等式的性质1）
>
（不等式的性质2）
例 某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm. 容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水. 用V(单位： )表示新注入水的体积，写出V的取值范围.
新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积
原有水的体积
3×5×3
容器的容积
3×5×10
新注入水的体积
V
V+3×5×3
新注入水的体积V与原有水的体积的和
原有水的体积
3×5×3
容器的容积
3×5×10
新注入水的体积
V
不能超过容器的容积
≤
3×5×10
V ≤105
V ≥0并且V ≤105
解：根据题意
V+3×5×3 ≤3×5×10
V+45≤150
V+45 -45
150 -45
≤
（不等式的性质1）
新注入水的体积V能是负数吗？
105
0
练习 一罐饮料净重约300g，罐上注有“蛋白质含量
≥0.6%”，其中蛋白质的含量至少为多少克？
分析：饮料罐上所注“蛋白质含量≥0.6%”
即
饮料中蛋白质的质量
≥0.6%.
饮料的质量
设蛋白质含量为x克
≥0.6%.
解：设蛋白质的含量为x克，
根据题意
答：蛋白质的含量至少为1.8克.
≥0.6%
300×0.6%
（不等式的性质2）
≥
x≥1.8
0
1.8
x ≤ 1
练习 关于x的不等式 ≤ 的解集是 .
（不等式的性质2）
≥0
≥1
>0
≤
例 如果关于x的不等式 的解集
是x<1，那么m的取值范围是 .
m-3<0
分析：
m<3
（不等式的性质3）
<
x<1
<
练习 比较3a与2a的大小.
当a>0，
3
2
>
（不等式的性质2）
（不等式的性质3）
3a>2a；
3a<2a；
当a=0， 3a=2a .
当a<0，
a>b
求差法：
a-b>0；
a=b
a-b=0；
aa-b<0.
当a>0时，3a-2a>0，所以3a>2a；
因为3a-2a=a
当a=0时，3a-2a=0 ，所以3a=2a；
当a<0时，3a-2a<0 ，所以3a<2a.
不等式的性质
性质1：如果a>b，那么a+c>b+c，a -c>b -c.
性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）.
性质3：如果a>b，c<0，那么ac小结：
小结：
本节课我们利用不等式的性质解决了哪些问题呢？
小结：
本节课我们利用不等式的性质解决了哪些问题呢？
小结：
本节课我们利用不等式的性质解决了哪些问题呢？
如何用求差法比较大小？
a>b
a=b
aa-b>0；
a-b=0；
a-b<0.
小结：
5.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x+3>-1； (2)6x≤5x-7；
(3) ； (4)4x≥ -12.
作业:
人教版七年级下册教科书120页 习题9.1
9.有一个两位数，如果把它的个位上的数a和十位上的数b对调，那么什么情况下得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两位数小？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？
人教版七年级下册教科书120页 习题9.1
作业:
作业:
人教版七年级下册教科书121页
课后阅读与思考：用求差法比较大小．
同学们，再见！
谢谢
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