2022-2023学年安徽省滁州市定远民族中学高二（下）6月数学试卷（含解析）

2022-2023学年滁州市定远民族中学高二（下）6月数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知是定义在上的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
2. 袋中有除颜色外完全相同的个球，其中个红球和个白球．现从袋中不放回地连取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为( )
A. B. C. D.
3. 已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校一篮球运动员进行投篮练习，若他第球投进，则第球投进的概率为，若他第球投不进，则第球投进的概率为，若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为( )
A. B. C. D.
5. 由，，，，这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于的个数为( )
A. B. C. D.
6. 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将，，，，填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于一般地，将连续的正整数，，填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为( )
A. B. C. D.
7. 为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了名男教师和名女教师去支援新疆教育，要求这名教师被分派到个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排名教师，其中名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 若，则随机变量的方差
B. 若，，则
C. 若随机事件，满足，，，则
D. 数据，，，，，，的第百分位数为
10. 下列四个关系式中，一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 二项展开式，则( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数 B. 当时，函数恰有两个零点
C. 若是增函数，则 D. 当时，函数恰有两个极值点
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 随机变量的分布列如表所示，若，则 ．
14. 已知随机变量，且，若的展开式中各项系数之和______ ．
15. 根据某机构对失事的飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪的飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为
16. 已知函数，若有两个不同的极值点，，且，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？
某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，不同的选择方法有多少种？
18. 本小题分
甲箱的产品中有个正品和个次品，乙箱的产品中有个正品和个次品．
如果是依次不放回地从乙箱中抽取个产品，求第次取到次品的概率；
若从甲箱中任取个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是个正品的概率．
19. 本小题分
已知函数在时有极大值．
求常数，的值；
求在区间上的最值．
20. 本小题分
某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式领取购物卡该商场在一个纸箱里放个小球除颜色外其余均相同：个红球、个黄球和个白球，每个顾客不放回地从中拿次，每次拿个球，每拿到一个红球获得一张类购物卡，每拿到一个黄球获得一张类购物卡，每拿到一个白球获得一张类购物卡．
已知某顾客在次中只有次抽到白球的条件下，求至多有次抽到红球的概率；
设拿到红球的次数为，求的分布列和数学期望．
21. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知函数，．
若为上的增函数，求的取值范围；
若在内恒成立，，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，
则．故选：．
2.【答案】
【解析】袋中有除颜色外完全相同的个球，其中个红球和个白球．
现从袋中不放回地连取两个．
设事件表示“第一次取到红球”，事件表示“第二次取到白球”，
，，
第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率为：
．故选：．
3.【答案】
【解析】令得各项系数和，
得，得，
则二项式为，
，
展开式中项为，
则展开式中的系数为．故选：．
4.【答案】
【解析】某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，
若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，
则他第球投进的概率为：
．故选：．
5.【答案】
【解析】由题意知本题是一个计数原理的应用
到十个数字中之差的绝对值等于的情况有种：与，与；
分种情况讨论：当个位与百位数字为，时，有；
当个位与百位为，时，有．
共，故选：．
6.【答案】
【解析】阶幻方共有个数，其和为，
因为阶幻方共有行，
所以每行的和为，对角线上的数字之和为与其相等，
即，
所以，故选C．
7.【答案】
【解析】名女教师分派到同一个学校，
若只有位女老师分在一个学校，则名男教师分成两组，有，然后组再进行排列即可，此时种，
若还有名男老师和位女老师分子一个学校，则有，然后组再进行排列即可，此时种，
则共有种，
故选：．
将位老师分成组，讨论位女老师所在学校有人和人两种情况进行计算即可．
本题主要考查排列组合的计数问题，将人分成组，讨论女老师一组的人数是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】因为为偶函数，且，
所以，即，
所以是周期为的函数，
又，所以，即，
因为为偶函数，所以，求导得，
又，所以，即，
设，则，
所以在上单调递增，
不等式等价于，
因为，所以，
所以，即，
所以，解得，
因此不等式的解集为．故选：．
9.【答案】
【解析】对于：若，则随机变量的方差，故A错误；
对于：若，则，故B正确；
对于：由全概率公式，得，故C正确；
对于：由于，所以数据，，，，，，的第百分位数为，故D正确．故选：．
10.【答案】
【解析】选项，，A正确；
选项，，B错误；
选项，，C正确；
选项，，D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】
当时，可得，A正确；
当时，，又，所以，故B错误；
，故C正确；
对原式两边同时求导，得，
当时，，故D正确．

12.【答案】
【解析】对于、的定义域为，且，
则是奇函数，故A正确；
对于、当时，，得，
可得在上单调递增，则至多有一个零点，故B错误；
对于、，
若是增函数，则恒成立，即恒成立，
令，则，，
单调递增，而，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，可得，故C正确；
对于、当时，，令，
则，，则单调递增，
又，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
则，，，
存在，，使得成立，
则在上，，在上，，在上，．
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
函数恰有两个极值点，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】依题意可得，解得，
所以，
所以．故答案为：．
14.【答案】
【解析】因，，则，令
则的展开式中各项系数之和为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】设事件“失踪的飞机后来被找到”，事件“失踪的飞机后来未被找到”，
事件“安装有紧急定位传送器”，
则，，，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：
，
故答案为．

16.【答案】
【解析】，则，
令，由，可得为偶函数，
则，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，
由题意得方程有两个互为相反数的零点，，且，
则的取值范围为．
故答案为：．
17.【答案】由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数，
若个位是，共有：个，
若个位不是，共有：个，
由分类加法计数原理可得，共有：个．
现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，
若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法，
若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法，
若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法，
由分类加法计数原理可得，共有：种选法．
18.【答案】设“第次从乙箱中取到次品”，．
，，，
由全概率公式得：第次取到次品的概率为：
．
设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出个产品都是正品”，
事件“从甲箱中取出个正品个次品”，事件“从甲箱中取出个产品都是次品”，
则、、彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所以
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：
．
19.【答案】由，得，
在时有极大值，
，即，解得，
经检验，当，时，函数在时有极大值，
，符合题意，，．
由知，，
令，则或，，
当变化时，，的变化情况如下表：
极大值 极小值
故的最小值为，最大值为．
20.【答案】设事件：在次中只有次拿到白球，事件：在次中至多次拿到红球，
则事件：在次中只有次拿到白球，其它两次至多次拿到红球，
所以，，
所以；
依题意拿到红球的次数为的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以．
21.【答案】因为，所以，
若，则在上恒成立，故在上单调递增，
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由等价于．
令，函数，则，由，可得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故．
所以的取值范围为．
22.【答案】，．
，
为上的增函数，
在上恒成立，
．
令，，
，
令，解得，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，，
，
的取值范围是．
在内恒成立，在内恒成立，
化为，
，
令，，，
，，
当时，，函数在上单调递增，时，时，不符合题意，舍去；
当时，令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
，
令，则，
，
令，解得．
可得时，函数取得极大值即最大值，，
的最大值为．