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北师大版八年级数学下册总复习
三角形的证明
一、知识归纳
1．等腰三角形的性质
性质(1)：等腰三角形的两个底角________。
性质(2)：等腰三角形顶角的_________、底边上的________、底边上的高互相重合，简称为 。
2．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
3．等腰三角形的判定
(1)定义：有两条边_________的三角形是等腰三角形。
(2)等角对等边：有两个角________的三角形是等腰三角形。
4．用反证法证明的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
5．等边三角形的判定
(1)有一个角等于60°的_________三角形是等边三角形；
(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；
(3)三个角相等的三角形是等边三角形；
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形。
6．直角三角形的性质及判定
性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的_________；
性质(2)：直角三角形的两个锐角互余；
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
7．勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的_______。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_________三角形。
8．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_______。
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的_____________上。
[点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
9．三线共点
三角形三条边的垂直平分线相交于_______，并且这一点到三角形三个顶点的距离________。
10．角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离_________。
判定定理：在一个角的内部，且到角的两边________相等的点在这个角的平分线上。
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件。
11．三角形三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离_________。
12.三角形的中位线定理
（1）连接三角形两边_________的线段叫做三角形的中位线。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的_______。
（2）三角形的中位线平行于_________并且等于它的________。
二、考点练习
考点一 线段垂直平分线性质的应用
如图1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________。
考点二 全等三角形性质的应用
如图2，在△ABC和△SEF中，B,E,C,F在同一直线上，下面有4个条件，选择三个条件作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明。
AB=DE (2)AC=DF (3)BE=CF
∠ABC=∠DEF
考点三 勾股定理的应用
如图3，圆柱体的底面半径是厘米，高是8厘米，
AB,CD是底面直径，一只蚂蚁从A点爬到C点。求蚂蚁爬
行的最短线路长是多少厘米？
考点四 等腰三角形的判别
已知在△ABC中，∠=90°，AB=AC,D为BC的中点。
如图4，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF,求证△DEF为等腰直角三角形。
若E,F分别是AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？请证明你的结论。
考点五 角平分线与“截长补短”
如图5，AD平行BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证CD=AD+BC.
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
一、知识归纳
1．定义。
凡用符号“＜”(或“≤”)“＞”(或“≥”)连接的式子叫做________。
2．性质。
性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向_______。
性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向_______。
性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向________。
3.不等式的解集:一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的_______。
4．解不等式:求不等式的________的过程叫做解不等式。
不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如x≥3，－1≤x＜4.注意空心和实心的正确使用。
5.一元一次不等式；不等式的左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做__________________。
6．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法步骤是(1)去分母；
(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1。
7.一元一次不等式组，一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个________________。
8．一元一次不等式组中各个不等式的解集的___________，叫做这个一元一次不等式组的解集。
9．解不等式组，求不等式组的解集的过程，叫做_____________。
10．解一元一次不等式组的两个步骤
(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的__________，即求出了这个不等式组的解集。
二、考点练习。
考点一 不等式的性质。
在下面的横线上填上等号或不等号。设m>n.那么
m-5 m-5 -5m -5n
mp np(p< 0)
考点二 一元一次不等式(组)的解法
解不等式:-0.5（3X-5）-+1.25>0
考点三 不等式的应用.
我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出(精确到0.01元)
考点四 一元一次不等式与一次函数的综合
甲有存款600元，乙有存款2000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元．
(1)列出甲、乙的存款额y(元)，y(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式；
(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？
第三章 图形的平移和旋转
一、知识归纳。
1．平移
定义：在平面内，将一个图形沿____________移动一定的______，这样的图形移动称为平移。
性质：平移不改变图形的大小和形状．图形平移后，对应线段________，对应角_________；对应点连线__________________________。
作图：先确定图形的关键点平移后的位置，再按原来的方式连接，即可得到平移后的图形。
旋转
定义：在平面内，将一个图形绕一个_________沿某个方向转动一个_______，这样的图形运动称为旋转。
性质：旋转不改变图形的大小和形状．图形旋转后对应线段_________，对应角________，对应点到旋转中心的距离_____________．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是_________。
作图：(1)先找出图形中的关键点；(2)分别作出这几个点旋转后的对应点；(3)按原来位置依次连接各点即可得到旋转后的图形。
3．中心对称
(1)中心对称
定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。
(2)中心对称图形。
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。
二、考点练习。
考点一 平移和平移作图。
如图6，已知Rt△ABC中，∠C=90°BC=4,AC=4.先将
△ABC沿CB方向平移到△ABC的位置。
若平移的距离为3，求△ABC和△ABC重叠部分的面积。
若平移的距离为x(0≤x≤4，直接写出△ABC和△ABC重叠部分的面积y。
考点二 旋转和旋转作图。
如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，按下列要求画图(保留画图痕迹)：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B(点A，O的对应点分别为点A′，O′，且A′，O′，O，C恰好在一条直线上)，求：∠ABC, ∠A′BC的度数及OA＋OB＋OC的和．
考点三 平移和旋转的应用。
如图8，在△ABC中,D是AB的中点，
若AC=12,BC=5,CD=6.5,试说明△ABC是直角三角形。
因式分解
一、知识归纳。
1．因式
几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的________．例如(a－3)(a＋1)＝a2－2a－3，a－3和a＋1都是a2－2a－3的因式。
2．公因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的________。
3．因式分解
把一个多项式化成几个整式的_______的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
4.多项式分解的几种常用方法
（1）提公因式法
如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做___________。
（2）公式法
如果把乘法公式反过来，那么就可用来把某些多项式分解因式．要求熟练运用于因式分解的公式：
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－___)；
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±___)2。
二、考点练习。
考点一 分解因式
分解因式：a2bx2－a2bxy＋a2by2.
3x3－12x2y＋12xy2
2(m2＋n2)(m＋n)2－(m2－n2)2.
考点二 分解因式的应用
计算：2－22－23－…－218－219＋220.
在边长为a cm的正方形木板上开出边长为
b cm的四个正方形小孔，如图9;
①试用a，b表示出剩余部分的面积；
②若a＝14.5，b＝2.75，则剩余部分的面积是多少？
分式与分式方程
一、知识归纳。
分式的概念
整式A除以整式B,可以表示成的形式，如果B含有 。那么称为分式，其中A称为分式的 ，B称为分式的 。对于任何一个分式，分母不能为零。
分式的基本性质
分式的分子分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变，用式子表示(M为整式且M≠0。
3.分式的符号法则
根据分式的基本性质可得 ，据此有分式的符号法则如下：
=即改变分式、分式的分子和分式的分母的符号中的任何两个，分式的值不变。
4.分式的运算
(1)最简分式：一个分式的分子与分母没有___________时，叫做最简分式．
(2)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分是把分式化为最简分式或整式。
（3）分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的________，把分母相乘的积作为积的________；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与__________相乘．上述法则用式子表示为：
5.分式的乘方运算
分式的乘方：把分子、分母各自乘方．用式子表示为（）= ，n为正整数。
6．同分母的分式的加减法运算
同分母的分式的加减法法则是________不变，把分子相加减．上述法则用式子表示为。
7.分式的加、减、乘、除混合运算顺序法则；
先进行乘、除运算，再进行________运算．如有括号，先算括号内的。
8.分式方程及其解法
（1）分式方程
分母中含有未知数的方程叫做________方程。
（2）解分式方程的一般步骤
①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
②解所得的整式方程；
③把所得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的________，应舍去。
二、考点练习。
考点一 分式有(无)意义、值为0的条件。
1.当x=2下列分式值为零（ ）
A. B. C. D
2.当X取何值时，分式有意义。
考点二 分式的约分与通分
（1）将下列分式约分
(2)计算
考点三 分式的四则运算
计算：
考点四 分式的化简、求值
先化简，再取一个你认为合适的x值，代入求原式的值。
考点五 分式方程
解方程：
某市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的，水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水浪费现象，该市制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量为8立方米，超标部分加价收费．假设不超标部分每立方米水费1.3元，某月住楼房的三口之家张家用水量是住楼房的三口之家李家的，张家当月水费是16.2元，李家当月水费是22元，请求出该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米。
第六章 平行四边形
一、知识归纳。
1、平行四边形的概念与性质
（1）两组对边分别_________的四边形叫做平行四边形。
（2）平行四边形是_________对称图形，_________________是它的对称中心。
（3）平行四边形的性质：
①平行四边形的对边______________；
②平行四边形的对角_________，邻角___________；
③平行四边形的对角线_______________。
点拨：(1)平行四边形的对边的性质要从位置与数量两个方面考虑；(2)若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线等分平行四边形的面积。
平行四边形的判定
从对边看：
①两组对边分别_________的四边形叫做平行四边形；
②两组对边分别____________的四边形是平行四边形；
③一组对边______________的四边形是平行四边形。
（2）从对角看：两组对角分别________的四边形是平行四边形。
（3）从对角线看：对角线___________的四边形是平行四边形。
点拨：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．反例：如图10，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，这是等腰梯形ABCD，而不是平行四边形；(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．反例：如图11，△ABE是等腰三角形，作△DCA≌△EAC，所以∠B＝∠E＝∠D，AB＝AE＝DC，显然，四边形ABCD不是平行四边形。
3、多边形的内角和与外角和
（1）n边形的内角和等于_______________。
（2）多边形内角的_______与另一边的___________组成的角叫做这个多边形的外角；在每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
（3）任意多边形的外角和等于________。
二、考点练习。
考点一 平行四边形的性质
1.如图12，平行四边形ABCD的对角线AC，BD
相交于点O，下列结论正确的是( )
A．S ABCD＝4S△AOB B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．平行四边形ABCD是轴对称图形
2.如图13，平行四边形ABCD和平行四边形DCEF的周长相等，且∠BAD=60°∠F=110°，则∠DAE的度数为 °
考点二 平行四边形的判定
在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是________．
考点三 平行四边形性质与判定的综合
1、如图14，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2、如图15，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.
求证：(1)AE＝CF；
(2)四边形EBFD是平行四边形．
期末综合练习
一、选择题
1.平面上有两点A(－ ，0)，B(0，1)分别为x轴，y轴上的点，△ABC为等边三角形，则C点的坐标为( )
A．(－，2) B．(－，－2)
C．(－ 1，0 ) D．(－，2)或(0，－1 )
2.四边形ABCD中，如图16，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A．OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝1.5
B．OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2.5
C．OA＝2，OB＝1.5，OC＝2，OD＝1.5
D．OA＝1.5，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2
3.如图17，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )
A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE
4.下列各角能成为某多边形的内角和的只有( )
A．280° B．580° C．1800° D．2000°
5.如图18，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是( )
A．①②都对 B．①②都错
C．①对②错 D．①错②对
6.如图19，所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是( )
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
7.如图20，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现已逆时针方向移动这枚棋子，且各步依次移动1，2，3，…，N个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从1号角移动到3号角，第三步从3号角移动到6号角，……若这枚棋子不停的这么移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8.△ABC与 DEFG如图21放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上，已知BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数( )
A．等于80° B．等于90°
C．等于100° D．条件不足，无法判断
9.一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图22所示，则不等式kx+b＜0的解集是（ ）
x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
图22 图23
10．如图23，l1反映了某产品的销售收入（单位：元）与销售量（单位：t）之间的关系，l2反映了该产品的销售成本（单位：元）与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．下列说法不正确的是（ ）
A．当销售量为0t时，销售收入为0元 B．当销售量小于4t时，没有盈利
C．当销售量为6t时，盈利1000元 D．当盈利为4000元，销售量为10t
11.已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：
(1)如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(2)如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(3)如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(4)如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
其中正确的说法是________。
二、填空题
1．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 ．
2.已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 ．
3.分式方程的解是 ．
4.平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝ ．
5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则底角的度数为 ．
6.在平行四边形ABCD中，如图24，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，且AB＝6，BC＝10，则OE＝_______
7.若一个多边形的内角和等于外角和的3倍，这个多边形是 边形．
8.如图25，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是________．
9.如图26，一次函数y＝2x的图像过点A，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），则不等式2x＜kx+b的解集为 。
图26 图27
10.如图27，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM、ME、CM、DE，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：
（1）图中共有两对全等三角形 （2）△DEM是等腰三角形；
（3）∠CDM＝∠CFE （4）AD2+BE2＝DE2 （5）四边形CDME的面积发生改变．
其中正确的结论有 .
三、解答题
1.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
2.如图28在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若点E是AB中点，CD＝1，求BD的长．
某单位谋划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的费用较少？
4.“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
5.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2；
（3）x2+2xy+y2﹣6x﹣6y+9．
6.如图29，△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD.
7.如图30，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG＝CF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
8.综合与探究：如图31，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD之外），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE，CE，CF，AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若DE＝OD，BF＝OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？
（3）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AECF的周长．
图3
图1
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三角形的证明
一、知识归纳
1．等腰三角形的性质
性质(1)：等腰三角形的两个底角相等。
性质(2)：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．简称为三线合一。
2．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
3．等腰三角形的判定
(1)定义：有两条边相等的的三角形是等腰三角形。
(2)等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
4．用反证法证明的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
5．等边三角形的判定
(1)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；
(3)三个角相等的三角形是等边三角形；
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形。
6．直角三角形的性质及判定
性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
性质(2)：直角三角形的两个锐角互余。
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
7．勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
8．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
[点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
9．三线共点
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
10．角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件。
11．三角形三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
12.三角形的中位线定理
（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的中点。
（2）三角形的中位线平行于第三边并且等于它的（一半）。
二、考点练习
考点一 线段垂直平分线性质的应用
如图1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝50°。
[解析] 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得EA＝EC，所以∠A＝∠ACE＝30°.又因为∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.
考点二 全等三角形性质的应用
如图2，在△ABC和△SEF中，B,E,C,F在同一直线上，下面有4个条件，选择三个条件作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明。
AB=DE (2)AC=DF (3)BE=CF
∠ABC=∠DEF
[解析]:答案不唯一，例如命题一：
在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠ABC=∠DEF
证明：在△ABC和△DEF中，
∵BE=CF,∴BC=EF,
又∵AB=DE,AC=DF
∴△ABC≌△DEF
∴∠ABC=∠DEF
命题二；
在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE,AC=DF,∠ABC=∠DEF，求证BE=CF。（自己证明）
考点三 勾股定理的应用
如图3，圆柱体的底面半径是厘米，高是8厘米，
AB,CD是底面直径，一只蚂蚁从A点爬到C点。求蚂蚁爬
行的最短线路长是多少厘米？
解：将圆柱侧面展开是一个长方形，
长是2πr÷2=16cm,宽是8 cm
蚂蚁爬行的最短路径：AC=16+8 AC=8
[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．
考点四 等腰三角形的判别
已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC的中点。
如图4，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF,求证△DEF为等腰直角三角形。
若E,F分别是AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？请证明你的结论。
解：（1）连接AD
∵∠A=90°，AB=AC,D为BC的中点。
∴AD⊥BC,BD=AD ∠B=∠DAC=45°。
又∵BE=AF
∴△BDE≌△ADF(SAS) ∴ED=FD ∠BDE=∠ADF
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠BDE+∠EDA=∠BDA=90°
∴△BDE为等腰直角三角形
(2)连接AD
∵∠A=90°，AB=AC,D为BC的中点。
∴AD⊥BC,BD=AD ∠B=∠DAC=45°。
∠DAF=90°+45°=135°
∠DBE=180°-45°=135°
∴∠DAF=∠DBE
又∵BE=AF，BD=AD
∴△BDE≌△ADF(SAS) ∴ED=FD ∠BDE=∠ADF
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠BDE+∠EDA=∠BDA=90°
∴△BDE为等腰直角三角形
考点五 角平分线与“截长补短”
如图5，AD平行BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证CD=AD+BC.
证明：在CD上取CF=BC
在△FCE和△BCE中
CF=CB;∠FCE=∠BCE;CE=CE
∴△BCE≌△FCE(SAS) ∠1=∠2
又∵AD∥BC ∠ADC+∠BCD=180°
∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
∴∠EDC+∠DCE=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠1+∠4=90° ∠1=∠2
∴∠3=∠4
在△FCE和△BCE中
∠3=∠4；∠ADE=∠CDE；ED=ED
∴△FCE≌△BCE（ASA）
∴AD=DF
又∵BC=CF;AD=DF
∴CD=CF+DF=BC+AD
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
一、知识归纳
1．定义。
凡用符号“＜”(或“≤”)“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
2．性质。
性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
3.不等式的解集:一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
4．解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式．
不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如x≥3，－1≤x＜4.注意空心和实心的正确使用。
5.一元一次不等式；不等式的左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
6．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法步骤是(1)去分母；
(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
7.一元一次不等式组，一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个不等式组。
8．一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
9．解不等式组，求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
10．解一元一次不等式组的两个步骤
(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．
二、考点练习。
考点一 不等式的性质。
在下面的横线上填上等号或不等号。设m>n.那么
m-5 ( > )m-5 -5m ( < ) -5n
( > ) mp ( < ) np(p< 0)
考点二 一元一次不等式(组)的解法
解不等式:-0.5（3X-5）-+1.25>0
解：去分母得4（2x-1）-6（3x-5）-2(x+1)+15>0
去括号得8x-4-18x+30-2x-2+15>0
合并同类项得-12x+39>0
移项-12x>-39
化系数为1得X<
考点三 不等式的应用.
我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出(精确到0.01元)
解：设涨到每股X元时才能卖出，根据题意得
1000x-(5000+1000X)×0.5%≥5000+1000
解不等式得x≥.即6.06
答：涨到每股6.06元时才能卖出.
考点四 一元一次不等式与一次函数的综合
甲有存款600元，乙有存款2000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元．
(1)列出甲、乙的存款额y(元)，y(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式；
(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？
解：（1）y=600+500x ; y=2000+200x
甲的存款额超过乙的存款额即y>y
600+500x>2000+200x
解得X> 所以第五个月甲的存款额超过乙的存款额。
第三章 图形的平移和旋转
一、知识归纳。
1．平移
定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形移动称为平移。
性质：平移不改变图形的大小和形状．图形平移后，对应线段相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一直线)且相等。
作图：先确定图形的关键点平移后的位置，再按原来的方式连接，即可得到平移后的图形。
2．旋转。
定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
性质：旋转不改变图形的大小和形状．图形旋转后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
作图：(1)先找出图形中的关键点；(2)分别作出这几个点旋转后的对应点；(3)按原来位置依次连接各点即可得到旋转后的图形。
3．中心对称
(1)中心对称
定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。
(2)中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。
二、考点练习。
考点一 平移和平移作图。
如图6，已知Rt△ABC中，∠C=90°BC=4,AC=4.先将
△ABC沿CB方向平移到△ABC的位置。
若平移的距离为3，直接写出△ABC和△ABC重叠部分的面积y。
若平移的距离为x(0≤x≤4，求△ABC和△ABC重叠部分的面积。
解：（1）由题意得 BC=4,CC=3 所以BC=1 .
重叠部分是一个等腰直角三角形，面积为
×1×1=
（2）y=(4-x)
考点二 旋转和旋转作图。
如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，按下列要求画图(保留画图痕迹)：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B(点A，O的对应点分别为点A′，O′，且A′，O′，O，C恰好在一条直线上)，求：∠ABC, ∠A′BC的度数及OA＋OB＋OC的和．
解：如图所示△A′O′B为所求。
∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，
∴AB=2 ∠ABC=30°
将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°
∵∠A′BC=90°
∠OBO′=60° OB=O′O 三角形是等边三角形
OA+OB+OC=A′O′+OO′+CO=AC′ AC′=BC+A′B=7
所以OA+OB+OC=
考点三 平移和旋转的应用。
如图8，在△ABC中,D是AB的中点，
若AC=12,BC=5,CD=6.5,试说明△ABC是直角三角形。
证明：延长CD到E使ED=CD,连接BE.
∵AD=BD,CD=DE,∠ADC=∠BDE
∴△ADC≌△BDE（SAS）BE=AC=12 ∠A=∠ABE. AC∥BE
在△BCE中 BC+BE=5+12=169
CE=(2CD)=(2×6.5)=169 ∴△BCE是直角三角形。
又∵AC∥BE ∠CBE=∠ACB=90°
所以△ABC是直角三角形。
第四章 因式分解
一、知识归纳。
1．因式
几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如(a－3)(a＋1)＝a2－2a－3，a－3和a＋1都是a2－2a－3的因式。
2．公因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
3．因式分解
把一个多项式化成几个整式的相乘的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
4.多项式分解的几种常用方法
（1）提公因式法
如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）公式法
如果把乘法公式反过来，那么就可用来把某些多项式分解因式．要求熟练运用于因式分解的公式：
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
二、考点练习。
考点一 分解因式
分解因式：a2bx2－a2bxy＋a2by2.
3x3－12x2y＋12xy2
2(m2＋n2)(m＋n)2－(m2－n2)2.
解：a2bx2－a2bxy＋a2by2 3x3－12x2y＋12xy2
=a2b（x2－xy＋y2） =3x(x2-4xy+4y2)
=3x(x-2y)2
2(m2＋n2)(m＋n)2－(m2－n2)2.
=2(m2＋n2)(m＋n)2－(m－n)2（m+n）2.
=(m＋n)2（2(m2＋n2)－(m－n)2）
=(m＋n)2（2m2＋2n2)－m2+2mn－n2）
=(m＋n)2（m2＋n2+2mn）
=(m＋n)2（m＋n)2
=(m＋n)
[方法总结]把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：
（1）“提”，先看多项式的各项是否有公因式，若有，必须先提出来；
（2）“套”，若有多项式各项没有公因式（或已提取公因式），则可以尝试运用公式来分解；
（3）“查”，分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
[方法总结]把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：
（1）“提”，先看多项式的各项是否有公因式，若有，必须先提出来；
（2）“套”，若有多项式各项没有公因式（或已提取公因式），则可以尝试运用公式来分解；
（3）“查”，分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
考点二 分解因式的应用
计算：2－22－23－…－218－219＋220.
在边长为a cm的正方形木板上开出边长为
b cm的四个正方形小孔，如图9;
①试用a，b表示出剩余部分的面积；
②若a＝14.5，b＝2.75，则剩余部分的面积是多少？
解：（1）原式＝220－219－218－…－23－22＋2
＝219(2－1)－218－…－23－22＋2
＝219－218－…－23－22＋2
＝218(2－1)－…－23－22＋2
＝218－…－23－22＋2
＝…
＝22＋2＝4＋2＝6.
①剩余部分的面积＝(a2－4b2)cm2.
②当a＝14.5，b＝2.75时，
(a2－4b2)＝(a＋2b)(a－2b)
＝(14.5＋5.5)(14.5－5.5)
＝20×9
＝180(cm2)．
答：剩余部分的面积是180 cm2
第五章 分式与分式方程
一、知识归纳。
分式的概念
整式A除以整式B,可以表示成的形式，如果B含有字母。那么称为分式，其中A称为分式的分子 ，B称为分式的 分母。对于任何一个分式，分母不能为零。
分式的基本性质
分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示(M为整式且M≠0
3.分式的符号法则
根据分式的基本性质可得 ，据此有分式的符号法则如下：
=即改变分式、分式的分子和分式的分母的符号中的任何两个，分式的值不变．
4.分式的运算
(1)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
(2)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分是把分式化为最简分式或整式．
（3）分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘．上述法则用式子表示为：
5.分式的乘方运算
分式的乘方：把分子、分母各自乘方．用式子表示为（）= ，n为正整数。
6．同分母的分式的加减法运算
同分母的分式的加减法法则是分母不变，把分子相加减．上述法则用式子表示为。
7.分式的加、减、乘、除混合运算顺序法则
先进行乘、除运算，再进行加减运算．如有括号，先算括号内的．
8.分式方程及其解法
（1）分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）解分式方程的一般步骤
①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
②解所得的整式方程；
③把所得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．
二、考点练习。
考点一 分式有(无)意义、值为0的条件。
1.当x=2下列分式值为零（ A ）
A. B. C. D
2.当X取何值时，分式有意义。
解：由分母x2－x－2≠0得x≠－1且x≠2，所以当x≠－1且x≠2时，原分式有意义．
考点二 分式的约分与通分
1、将下列分式约分
（1） （2）
解：（1）原式==
(2) 原式==1-m
2、计算
（1） （2）
解：（1）原式===。
（2）原式==
考点三 分式的四则运算
计算：
解：原式=[=
==
考点四 分式的化简、求值
先化简，再取一个你认为合适的x值，代入求原式的值。
解：原式==
当x=1时，原式=2
考点五 分式方程
解方程：
解：去分母（x+1)-4=x-1
整理得 2x-3=-1
化系数为1 x=1
检验：把x=1代入x-1=0,x=1是增根。所以原方程无解。
某市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的，水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水浪费现象，该市制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量为8立方米，超标部分加价收费．假设不超标部分每立方米水费1.3元，某月住楼房的三口之家张家用水量是住楼房的三口之家李家的，张家当月水费是16.2元，李家当月水费是22元，请求出该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米。
解：设该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费x元．根据题意，得
解这个方程，得x＝2.9，经检验x＝2.9是原方程的根且符合题意．
答：该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费2.9元
第六章 平行四边形
一、知识归纳。
1、平行四边形的概念与性质
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
（3）平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行且相等；
②平行四边形的对角相等，邻角互补；
③平行四边形的对角线互相平分．
点拨：(1)平行四边形的对边的性质要从位置与数量两个方面考虑；(2)若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线等分平行四边形的面积．
2、平行四边形的判定
（1）从对边看：
①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（2）从对角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（3）从对角线看：对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形．
点拨：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．反例：如图10，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，这是等腰梯形ABCD，而不是平行四边形；(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．反例：如图11，△ABE是等腰三角形，作△DCA≌△EAC，所以∠B＝∠E＝∠D，AB＝AE＝DC，显然，四边形ABCD不是平行四边形．
3、多边形的内角和与外角和
（1）n边形的内角和等于（边数-2）×180°．
（2）多边形内角的一边与另一边的反向延长组成的角叫做这个多边形的外角；在每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
（3）任意多边形的外角和等于360°．
二、考点练习。
考点一 平行四边形的性质
1.如图12，平行四边形ABCD的对角线AC，BD
相交于点O，下列结论正确的是( A )
A．S ABCD＝4S△AOB B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．平行四边形ABCD是轴对称图形
2.如图13，平行四边形ABCD和平行四边形DCEF的周长相等，且∠BAD=60°∠F=110°，则∠DAE的度数为 (25°)
考点二 平行四边形的判定
在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是(答案不唯一，如AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°．
考点三 平行四边形性质与判定的综合
1、如图14，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] B ∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC.
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时BC⊥DE.
∵AB⊥BC，∴AB∥DE.
又∵AE∥BC.
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴ED＝AB＝3.故选B.
2、如图15，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.
求证：(1)AE＝CF；
(2)四边形EBFD是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，
∴∠5＝∠6，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF.
(2)∵∠1＝∠2，∴DE∥BF，
∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形
[方法指导]本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质。平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法，充分分析题目条件，根据条件和学过的知识挖掘能够得到的结果，然后把所得到的结果充分联系起来即可解决问题。]
期末综合练习
一、选择题
1.平面上有两点A(－ ，0)，B(0，1)分别为x轴，y轴上的点，△ABC为等边三角形，则C点的坐标为( D )
A．(－，2) B．(－，－2)
C．(－ 1，0 ) D．(－，2)或(0，－1 )
2.四边形ABCD中，如图16，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( C )
A．OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝1.5
B．OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2.5
C．OA＝2，OB＝1.5，OC＝2，OD＝1.5
D．OA＝1.5，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2
3.如图17，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( C )
A．AF＝EF B．AB＝EF
C．AE＝AF D．AF＝BE
4.下列各角能成为某多边形的内角和的只有( C )
A．280° B．580° C．1800° D．2000°
5.如图18，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是( A )
A．①②都对 B．①②都错
C．①对②错 D．①错②对
6.如图19，所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是( C )
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
7.如图20，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，，且各步依次移动1，2，3，…，N个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从1号角移动到3号角，第三步从3号角移动到6号角，……若这枚棋子不停的这么移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
8.△ABC与 DEFG如图21放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上，已知BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数( B )
A．等于80° B．等于90°
C．等于100° D．条件不足，无法判断
9.一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图22所示，则不等式kx+b＜0的解集是（ C ）
x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
图22 图23
10．如图23，l1反映了某产品的销售收入（单位：元）与销售量（单位：t）之间的关系，l2反映了该产品的销售成本（单位：元）与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．下列说法不正确的是（ D ）
A．当销售量为0t时，销售收入为0元 B．当销售量小于4t时，没有盈利
C．当销售量为6t时，盈利1000元 D．当盈利为4000元，销售量为10t
11.已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：
(1)如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(2)如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(3)如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(4)如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
其中正确的说法是(2),(3)。
二、填空题
1．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 （-1,1）．
2.已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为19或20．
3.分式方程的解是 x=3．
4.平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝(100°）．
5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则底角的度数为 69°．
6.在平行四边形ABCD中，如图24，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，且AB＝6，BC＝10，则OE＝ 5
7.若一个多边形的内角和等于外角和的3倍，这个多边形是8 边形．
8.如图25，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是平行四边形．
9.如图26，一次函数y＝2x的图像过点A，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），则不等式2x＜kx+b的解集为x<-1 。
图26 图27
10.如图27，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM、ME、CM、DE，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：
（1）图中共有两对全等三角形 （2）△DEM是等腰三角形；
（3）∠CDM＝∠CFE （4）AD2+BE2＝DE2 （5）四边形CDME的面积发生改变．
其中正确的结论有 (2),(3),(4)
三、解答题
1.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
解：(1) 如图所示，A′（-4，-2））；B′（0，-4）；C（1，-1）0
（2）△A′B′C′的面积=5×3-1×3÷2-4×2÷2-1×5÷2=7
2.如图28在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若点E是AB中点，CD＝1，求BD的长．
证明：(1)在△ACD和△AED中。
∵ ∠CAD=∠EAD ;∠C=∠AED AD=AD
∴△ACD≌△AED，∴AC＝AE
(2)∵E是AB中点,DE⊥AB,
∴∠B=∠DAB, AD平分∠CAB,∠DAB=∠DAC,
即∠DAB=∠DAC=∠B=90÷3=30°
CD=DE=1 BD=2ED=2
某单位谋划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的费用较少？
解：设有x人旅游，甲旅行社费用为Y,乙旅行社费用为Y。
Y,=0.75×200x=150x
Y=0.8×200×(x-1)=160x-160
当Y=Y即150x=160x-160 x=16 ， 两个费用一样。
当Y>Y即150x>160x-160 x<16 ， 乙旅行社便宜。
当Y16， 甲旅行社便宜，
答：当旅游人数等于16时两个旅行社费用一样。10≤当x<16时乙旅行社便宜。当164.“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
解：（1）设第一批玩具每套的进价是x元,第二批玩具每套的进价是（x+10）元。
依题意得：
解得x=50
经检验x=50是原方程的解。
答：第一批玩具每套的进价是50元？
（2）第一批玩具数2500÷50=50。第二批玩具数50×1.5=75。
设售价为y ,总利润=（50+75)y-2500-4500≥(2500+4500)×25%
解得y≥70.
答：全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是70元。
5.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2；
（3）x2+2xy+y2﹣6x﹣6y+9．
解：（1）原式=x2﹣4x+4-4+3=(x-2)2-1=(x-1)(x-3)
(2)原式=x2﹣2xy+y2﹣9=（x-y）2-32=(x-y+3)(x-y-3)
(3）原式=x2+2xy+y2+9-6x-6y=（x+y)2-6（x+y）+9
=（x+y-3）2
6.如图29，△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD.
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.又∵∠EFB＝60°，∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥BC，又∵DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形．
(2)连接BE.
∵∠EFB＝60°，BF＝EF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝EF，
∠ABE＝60°.
∵CD＝EF，∴BE＝CD，又∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，∵BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴AE＝AD.
7.如图30，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG＝CF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
证明：（1）AC∥BG; ∴∠CFD＝∠BGD. D是BC的中点 BD=DC
在△DFC和△DGB中
∠CFD＝∠BGD;∠CDF＝∠BDG ;BD=DC
∴△DFC≌△DGB(SAS)∴BG＝CF
（2）∵△DFC≌△DGB∴GD=DF,
在△GFE中GD=DF,DE⊥GF
∴△GFE是等腰三角形，∴EG=EF
由于DFC≌△DGB ∴FC=BG
由于△GFE是等腰三角形，∴EG=EF
在△BGE中 BE+CF=BE+BG>EG∴BE+CF>EF
8.综合与探究：如图31，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD之外），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE，CE，CF，AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若DE＝OD，BF＝OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？
（3）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AECF的周长．
图3
（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD．
因为DE＝OD，BF＝OB，所以DE＝BF.所以OE＝OF.
所以四边形AFCE为平行四边形．
解：(2) 因为DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB，所以DE＝BF.所以OE＝OF.
又OA=OC，所以四边形AFCE为平行四边形．
所以上述结论成立，由此可得出结论：若DE＝OD，BF＝OB（n≥3，且n是整数），四边形AFCE为平行四边形．
解：(3） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠DAC＝∠BCA．
因为CA平分∠BCD，所以∠BCA＝∠DCA.所以∠DCA＝∠DAC.所以AD＝CD．
因为OA＝OC，所以OE⊥AC.
所以OE是AC的垂直平分线，所以AE＝CE．
因为∠AEC＝60°，所以△ACE是等边三角形.
所以AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm.
所以C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40 （cm）．
图1
图2
图3
图4
图2
图2
图5
图6
图7
图8
图9
图10 图11
图12
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图29
图30
