第三章 3.1 第1课时
一、选择题
1．下列命题中，正确的有( )
(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(2)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(3)向量a、b相等的充要条件是；
(4)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
(5)＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] (1)正确．∵＝，
∴||＝||且∥.
又∵A、B、C、D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，在?ABCD中，＝.
(2)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.
(3)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．
(4)正确．a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|?/ a＝b.
(5)不正确．由＝，知||＝||，且与同向．故选C.
2．空间任意四个点A、B、C、D，则＋－等于( )
A. B．
C. D.
[答案] D
[解析] 解法1：＋－＝(＋)－
＝－＝.
解法2：＋－＝＋(－)
＝＋＝.
3．已知空间向量、、、，则下列结论正确的是( )
A.＝＋ B．－＋＝
C.＝＋＋ D.＝－
[答案] B
[解析] 根据向量加减法运算可得B正确．
4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是( )
A.＋＝ B.＋＝
C.－＝ D.－＝
[答案] D
[解析] －＝＝，故选D.
5．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量相等的向量(不含)的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 利用向量相等的定义求解．
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有( )
①＋＋ ②＋＋
③－＋ ④＋＋
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐一进行判断：①＋＋＝＋＝；
②＋＋＝＋＝AC1；
③－＋＝＋＝；
④＋＋＝＋＝；
所以，所给四个式子的运算结果都是.
二、填空题
7．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝__________.
[答案] b－c－a
[解析] ＝－＝－(＋)＝b－(a＋c)＝b－c－a.
8．化简(－)－(－)＝__________.
[答案] 0
[解析] 方法1：(利用相反向量的关系转化为加法运算)
(－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
方法2：(利用向量的减法运算法则求解)
(－)－(－)
＝(－)＋－
＝＋－＝－＝0.
三、解答题
9.如图所示的是平行六面体ABCD—A1B1C1D1，化简下列各式．
(1)＋＋；
(2)－＋.
[解析] (1)＋＋＝＋＋＝.
(2)－＋＝－(－)＝－＝.
10.在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，底面ABCD为矩形，化简下列各式．
(1)＋－＋－；
(2)－＋－.
[解析] (1)原式＝＋＋－－＝.
(2)原式＝＋－＝.
一、选择题
11．已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0 B．3
C．2＋ D．2
[答案] D
[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2||＝2.
12．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
③真命题．向量的相等满足递推规律；
④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
13．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝0
D.－＋＋＝0
[答案] B
[解析] ＋＝＋＝，
＋＝，
易证四边形EFGH为平行四边形，
故＋＝0，故选B.
14．如果向量，，满足||＝||＋||，则( )
A.＝＋ B．＝－－
C.与同向 D.与同向
[答案] D
二、填空题
15．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则用、、表示的结果为________________________________．
[答案] (－)
[解析] ＝＝(－)
16．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：
①－＝；
②＝＋＋；
③＝；
④＋＋＋＝.
正确的是__________．
[答案] ①②③
[解析] －＝＋＝，①正确；＋＋＝＋＋＝，②正确；③显然正确；∵＋＋＝，∴④不正确．
三、解答题
17.如图，在空间四边形ABCD中，AB的中点为E，DC的中点为F，证明＝(＋)．
[证明] 证法1：设AC的中点为G，连接EG，FG.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴＝，＝.
故＝＋＝(＋)．
证法2：∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴＋＝0，＋＝0，
∵＝＋＋，＝＋＋，
∴2＝＋，∴＝(＋)．
证法3：∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴＝(＋)，＝(＋)，
∴＝－＝(＋－－)
＝[(－)＋(－)]＝(＋)．
课件36张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量及其加减运算 第三章1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．
2．掌握空间向量的加法、减法、数乘运算．
3．掌握空间向量的性质．
重点：空间向量的概念及其运算．
难点：空间向量及其加减运算的几何表示．温故知新
1．回顾复习平面向量的概念(定义、模、单位向量、相等向量、相反向量等)与表示．空间向量的概念与表示新知导学
1．空间向量的概念及表示
(1)与平面向量一样，我们把空间中具有______和_______的量叫做空间向量，向量的________叫做向量的长度或模．
(2)与平面向量一样，空间向量也用__________表示．起点是A，终点是B的向量a也可以记作__________.其模记作__________|a|或||.大小方向大小有向线段
(3)__________的向量叫做零向量，记为0；模为____的向量叫做单位向量．
(4)_____________________的向量称为相等向量．与向量a____________________的向量称为a的相反向量，记为______.长度为01方向相同且模相等长度相等方向相反－a[答案] D
[解析] 在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．
3．向量可以用有向线段表示，是否可以说向量就是有向线段？
[答案] 不能温故知新
2．回顾复习平面向量的加减运算法则及运算律．
思维导航
2．类比平面向量加减法的意义，如何定义两个空间向量的和与差？空间中任意两个向量总能平移到同一平面内吗？三个呢？原平面向量加减法的运算律在空间向量中还适用吗？空间向量的加减运算 首指向尾 a1＋a2＋…＋an 零向量 变号 仍然成立[答案] D[答案] B空间向量的概念辨析 [答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[方法规律总结] 1.判断向量概念的命题要抓住向量的两个要素：大小和方向．
两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
2．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．空间向量的加减运算
[方法规律总结] 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．第三章 3．1 第2课时
一、选择题
1．设M是△ABC的重心，记a＝，b＝，c＝，则为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] M为△ABC重心，
则＝＝(＋)＝(c－b)．
2．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为( )
A．＋2＋2 B．－3－2
C．＋3－2 D．＋2－3
[答案] C
[解析] 根据A，B，C，P四点共面的条件可知＝x＋y．由图知x＝3，y＝－2，∴＝＋3－2，故选C．
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
[答案] D
[解析] ＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝．
4．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i与j不平行，则k与i，j共面?存在惟一的一对实数x，y使k＝xi＋yj．故选C．
5．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )
A．a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．－a＋b－c
[答案] B
[解析] ＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c．
6．(2013·河南省固始一中期末)若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题主要考查空间中三点共线的充要条件．若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C．
二、填空题
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1A，B1B的中点，O为BD1的中点．设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示下列向量：
(1)＝__________；
(2)＝__________．
[答案] (1)a－b－c (2)－a－c
[解析] (1)＝a－b－c．
(2)＝－a－c．
8．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z＝__________．
[答案]
[解析] 如图所示，有＝＋＋＝＋＋(－1)·．
又∵＝x·＋2y·＋3z·，
∴解得
∴x＋y＋z＝1＋－＝．
三、解答题
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN?NC＝2?1，求证：与、共面．
[解析] ＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)．
∴＝－＝(＋)－
＝(－)＋(－)
＝＋．
∴与，共面．
[点评] 1．证明三点A、B、C共线，即证存在λ∈R，使＝λ．
2．证明四点P、A、B、C共面，即证明对空间任一点O，存在x，y∈R，使＝＋x＋y，或＝x＋y，后者是证明三向量共面的基本方法．
3．由向量共线(或共面)求参数的值时，先由共线(或共面)条件，结合共线(共面)向量定理．列出关于参数的方程(组)，然后解方程(组)求值．
10．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AE?EC′＝1?2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值．
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z；
(3)＝x＋y＋z．
[解析] (1)∵AE?EC′＝1?2，
∴＝
＝(＋＋)＝(＋＋)
＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝．
(2)∵F为B′D′的中点，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(2＋＋)＝＋＋，
∴x＝1，y＝，z＝．
(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点，
∴＝，∴x＝，y＝0，z＝0．
一、选择题
11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
[答案] D
[解析] 由条件AF＝EF知，EF＝2AF，
∴AE＝AF＋EF＝3AF，
∴＝＝(＋)＝(＋)
＝AA′＋(＋)＝＋＋．
12．(2013·湖南省雅礼中学月考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
[答案] C
[解析] 本题主要考查四点共面的判断方法．由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C．
13．在三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，则有( )
A．＝(＋＋) B．＝(＋＋)
C．＝(＋＋) D．＝＋＋
[答案] B
[解析] ＝＋＝＋(＋)＝＋
(－)＋(－)＝(＋＋)．
14．对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵＝x＋y＋z＝x＋y＋(1－x－y)，
∴－＝x(－)＋y(－)，
∴＝x＋y，即，，共面，又有公共点C，
∴P，A，B，C共面，反之也成立．
二、填空题
15．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM?MC＝2?1，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝__________，y＝__________，z＝__________．
[答案] － －
[解析] 在PD上取一点F，使PF?FD＝2?1，连接MF，则＝＋，
∵＝－＝－
＝＝(－)，
＝＝＝－，
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝．
三、解答题
16．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q，r是否共面？
[解析] 假设存在实数λ，μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，
∵a，b，c不共面，
∴∴
即存在实数λ＝，μ＝，
使p＝λq＋μr，故p、q、r共面．
17．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
[解析] 设＝a，＝b，＝c．
∵＝2，＝，
∴＝，＝，
∴＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c．
∴＝－＝a－b－c
＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝．所以E，F，B三点共线．
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第2课时 空间向量的数乘运算第三章1.理解共线向量定理、共面向量定理．
2．熟练进行向量的线性表示．
3．会利用共线向量定理、共面向量定理解决向量的共线、共面问题．重点：向量的线性运算，共线向量与共面向量定理．
难点：共线向量和共面向量的理解与运用．
温故知新
回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理，运算律．
思维导航
1．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义，运算律，共线向量定理还成立吗？共线向量 新知导学
1．实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，λ____0时，λa与a方向相同，λ_____0时，λa与a方向相反，λ______0时，λa＝____，其方向是任意的，|λa|＝__________.
2．设λ、μ是实数，则有
①分配律：λ(a＋b)＝__________
②结合律：λ(μa)＝__________.><＝0|λ|·|a|λa＋λb(λμ)a
3．表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做__________或__________．
4．对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使__________.共线向量平行向量a＝λb方向向量 [答案] A[答案] A 思维导航
2．在平面向量中，如果两个向量经过平移可以移到一条直线上，我们称这两个向量共线．在空间中，两个向量可以移到同一平面内吗？三个向量呢？如何理解向量与平面平行？如何理解向量共面？共面向量 新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________或_____________.
平行于____________的向量叫做共面向量，共面向量所在的直线可能相交、平行或________．
向量p与不共线向量a，b共面?存在唯一有序实数对(x，y)，使p＝__________.在平面α内平行于平面α同一个平面异面xa＋yb牛刀小试
4．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
[答案] C
[解析] 由零向量定义知选C.而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．
[点评] 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，运用三角形法则或平行四边形法则及向量线性运算的运算律进行． 空间向量的数乘运算
[分析] 由题目可以获取以下主要信息：
①ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；
②用已知向量表示指定向量．
解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等．求出x、y即可．
[方法规律总结] 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律．
2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致． 共线向量
[方法规律总结] 1.判断或证明向量a与b共线，即寻找实数λ，使a＝λb(b≠0)，可先设a＝λb，建立关于λ的方程，解出λ，即获证；若判断a与b是否共线，方法同上，若λ有解则共线，否则不共线．运用上述方法还可求参数的值．
2．用共线向量定理证明三点共线得出向量平行后，还应指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．共面问题 如图，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明E，F，G，H四点共面．[方法规律总结] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：[错解] 因为3e1与－3e1共线，4e2与8e2共线，所以a与b共线．
[辨析] 没有准确理解向量共线的充要条件：任一向量a与非零向量b共线的充要条件是a＝λb.第三章 3.1 第3课时
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[答案] D
[解析] 根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D．
2．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] a·b＝|a||b|?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|．
3．如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么( )
A．·<·
B．·＝·
C．·>·
D．·与·不能比较大小
[答案] C
[解析] ∵·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)＝0，
·＝(＋)·
＝·(－)＋·
＝||·||·cos120°－||·||cos120°＋||·||cos120°<0．
∴·>·．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°．
其中正确命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
[答案] B
[解析] 根据数量积的定义知：①②正确，与的夹角为120°，∴③不正确，故选D．
5．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
[答案] D
[解析] ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝1－1··cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝．
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°．
6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|( )
A． B．
C． D．4
[答案] C
[解析] |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝|a|2＋6|a||b|cos
＋9|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝．
二、填空题
7．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝__________．
[答案] 0°
[解析] ∵(2m＋n)⊥(m－3n)，
∴(2m＋n)·(m－3n)＝0，化简得m·n＝－2．
又∵|a|＝＝＝＝6，
|b|＝＝＝＝3，
a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝28|m|2－2|n|2＋m·n＝18，
所以cos〈a，b〉＝＝＝1，〈a，b〉＝0°．
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝__________．
[答案] a2
[解析] ·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝a×a×cos60°＝a2．
三、解答题
9．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．
[解析] (a＋3b)·(7a－5b)
＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
解之得，|b|2＝2a·b＝|a|2，
∴cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°．
10．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．
[解析] ∵点F是BC的中点，
∴＝(＋)．
∴＝－＝(＋)－＝(＋－)．
又||＝||＝|－|，
∴2＝2－2·＋2 ①
同理2＝2＝2－2·＋2． ②
由①代入②可得
2＝2－2·＋2－2·＋2，
∴22－2·(＋)＝0，
∴·(＋－)＝0．
∴·(＋－)＝0．
∴·＝0．∴⊥．
同理可得⊥．∴EF是AD与BC的公垂线．
一、选择题
11．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
[答案] B
[解析] ＝－，＝－，
·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2
＝||2>0，
∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0，
∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，
∴△BCD为锐角三角形．
12．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
[答案] C
[解析] ∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°
＝144．
∴||＝12．
13．(2014·湖北省襄阳五中月考)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量AC所成的角为( )
A．60° B．150°
C．90° D．120°
[答案] D
[解析] 由条件知，||＝a，||＝a，
·＝(－)·(＋)
＝·－||2＋·－·
＝－||2－·＝－a2，
∴cos〈，〉＝＝＝－．
∴向量与所成的角为120°，故选D．
二、填空题
14．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝__________．
[答案]
[解析] cos〈a，b〉＝＝－，
∴〈a，b〉＝．
15．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则
(1)·＝__________；cos〈，〉＝__________；
(2)·＝__________．
[答案] (1)1 (2)1
[解析] (1)·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)
＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴||＝，
||2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴||＝，
∴cos〈，〉＝＝．
(2)·＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1．
三、解答题
16．如图所示，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
[分析] 把求线段PC的长转化为求||，再用已知向量、、表示即可．
[解析] ∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°
＝61－12＝49．
∴||＝7，即PC＝7．
17．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求与所成角的余弦值．
[分析] 在正方体AC1中，要求与所成角的余弦值，可以考虑利用公式cos〈，〉＝进行求解．
[解析] 设正方体的棱长为1，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0．
∵＝＝＋＝a＋b，＝＋＝＋＝c＋a，
∴·＝(a＋b)·(c＋a)＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2＝．
又∵||＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴与所成角的余弦值为．
课件47张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.1 空间向量及其运算
第3课时 空间向量的数量积运算 第三章掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．
重点：理解掌握两个向量的夹角，两个向量的数量积的概念，理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用．
难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题．温故知新
回顾复习平面向量夹角与数量积的定义，数量积的运算律．
空间向量的数量积
思维导航
1．空间两个向量可否象平面向量那样定义夹角？夹角范围怎样规定？
2．类比平面向量数量积的定义．给出空间向量数量积的定义，并解释a·b的几何意义．
3．平面向量数量积的运算律在空间向量中还成立吗？∠AOB 〈a，b〉90°2．空间两个非零向量a、b，a·b＝______________
叫做向量a、b的数量积(或内积)．
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
(1)a⊥b?__________；
(2)|a|2＝__________；
空间两个向量的数量积同样满足如下运算律：
(1)(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)a·b＝b·a；(交换律)
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．|a||b|cos〈a，b〉 a·b＝0
a·a
3．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的_________________垂直，那么它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和_______________________垂直．
即与斜线垂直?与射影垂直．一条斜线的射影这条斜线在平面内的射影4．设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，
①a∥b时，θ＝_____或π，θ＝_____时，a与b同向；
θ＝_______时，a与b反向．
②a⊥b?θ＝__________?a·b＝0.
③θ为锐角时，a·b____0，但a·b>0时，θ可能为____；θ为钝角时，a·b_____0，但a·b<0时，θ可能为____.00π>0<π④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝_____时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝______时，a·b＝－|a|·|b|.
⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出__________．
⑥不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)c_______a(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线．0πa⊥(b－c)0 ≠牛刀小试
1．下列式子中正确的是( )
A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b|
[答案] D
[解析] |a|·a是与a共线的向量，a2是实数，故A不对；
(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错；
(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故C错．
|a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.[答案] A
[解析] ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，
∴|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2
＝2×(132＋192)－242＝484，
∴|a－b|＝22.故选A.3．已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝e1＋e2，b＝e1－2e2，则a与b的夹角为__________．
[答案] 120°[答案] 0向量的数量积的概念与运算向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝__________，a2＝__________，b2＝__________，(a＋2b)·(a－b)＝__________.[分析] 要求A1B与AC所成的角，可利用综合几何方法求解，也可利用向量几何方法通过数量积求两向量的夹角，然后转化为异面直线所成的角． 向量的夹角 [答案] 45°垂直问题 已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.距离问题已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60°，求AC1的长．第三章 3.1 第4课时
一、选择题
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
[答案] B
[解析] a·b＝0?a⊥b，|a|2＝|b|2?(a＋b)·(a－b)＝0?(a＋b)⊥(a－b)；
a·b＝a·c?a⊥(b－c)；故A、C、D均错．
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝( )
A．i＋j＋k B．i＋j＋k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
[答案] C
[解析] ＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k．
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a－b＋c D．－a－b＋c
[答案] A
[解析] ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＋
＝－a＋b＋c．
4．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由、、共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
∴c与a、b共面与条件矛盾．
∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．
5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由题意a＋b＝－c，两边平方得，
|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，
即19＝4＋9＋2×2×3cos〈a，b〉，
所以cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝60°．
6．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
[答案] A
[解析] 依题意知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．
二、填空题
7．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是__________．
[答案] x＝y＝z＝0
[解析] 若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．
由{a，b，c}是空间向量的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0．
8．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为__________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为__________．
[答案] (，，－1) (1,1,1)
[解析] 由条件p＝2a＋b－c．
设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
∵a、b、c不共面，
∴，∴．
即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(，，－1)，
同理可求p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．
9．(2013·广东省中山二中期末)若A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则λ＋μ＝__________．
[答案] 0
[解析] 由条件知∥，
由于＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，
所以＝－＝，所以λ＝0，μ＝0，
于是λ＋μ＝0．
三、解答题
10．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，取向量、、为基底的基向量，在下列条件下，分别求x，y，z的值．
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z．
[解析] (1)∵＝＋＝＋＋
＝－＋＋，又＝x＋y＋z，
∴x＝1，y＝－1，z＝1．
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝，y＝，z＝1．
一、选择题
11．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝1，AA1＝3，已知向量a在基底{，，}下的坐标为(2,1，－3)．
若分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为( )
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)
[答案] D
[解析] a＝2＋－3＝2－－3＝8j－i－9k＝(－1,8，－9)．
12．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 连AG1交BC于E，则E为BC中点，
＝(＋)＝(－2＋)，
＝＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，∴OG＝OG1，
∴＝＝(＋)
＝(＋－＋)
＝＋＋，故选A．
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是( )
A．重合 B．垂直
C．平行 D．无法确定
[答案] B
[解析] ＝＋＋，＝＋＝－(＋)．设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·(－－)＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直．
二、填空题
14．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为__________．
[答案] (，0，－)
[解析] ＝－＝(＋)－(＋)＝－，即＝．
15．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为__________．
[答案] (－，，)
[解析] ∵OM＝2MA，点M在OA上，∴OM＝OA，
∴＝＋＝－＋(＋)
＝－a＋b＋c＝(－，，)．
三、解答题
16．如图所示，正方体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c．
(1)用a，b，c表示向量，；
(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a、b、c表示．
[解析] (1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c．
＝＋＝＋＋
＝＋－＝b＋c－a．
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)
＝(c－b)．
17．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1．
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
[解析] (1)证明：因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A、E、C1、F四点共面．
(2)解：因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝．
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.1 空间向量及其运算
第4课时 空间向量的正交分解及其坐标表示 第三章1.理解空间向量基本定理．
2．了解基向量、基底的概念．
3．会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量．
重点：空间向量基本定理．
难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量．温故知新
回顾复习平面向量基本定理及其正交分解．
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1．我们已知平面内任一向量都可以用两个不共线向量线性表示且这种表示方法是唯一的．
类似的空间中任一向量可用几个满足什么条件的向量来表示呢？这种表示方法唯一吗？怎样选取基向量运算更方便？空间向量的正交分解 新知导学
1．空间向量基本定理
(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________.
(2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{__________}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做________，空间任何三个________的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标_______，在同一基底下的坐标________．xa＋yb＋zca，b，c基向量不共面不同相同2．由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是______.
要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．0
牛刀小试
1．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( )
A．a与b共线 B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b共面
[答案] A
[解析] 由空间向量基底的概念知，A正确．
2．如果a、b、c共面，b、c、d也共面，则下列说法正确的是( )
A．若b与c不共线，则a、b、c、d共面
B．若b与c共线，则a、b、c、d共面
C．当且仅当c＝0时，a、b、c、d共面
D．若b与c不共线，则a、b、c、d不共面
[答案] A[答案] B
[解析] 由空间基底的概念知，构成基底的三个基向量一定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，∴A错，D错，B正确；△ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错．温故知新
2．复习平面向量的正交分解与坐标表示．
思维导航
2．类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件？
如何选取基底才能实现将空间向量用坐标表示，且计算方便？空间向量的正交分解与坐标表示 xa ybzc4．空间向量的正交分解及其坐标表示
设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以__________的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.e1，e2，e3起点xe1＋ye2＋ze3x、y、z(x，y，z)
牛刀小试
4．若a＝3e1＋2e2－e3，{e1，e2，e3}为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为__________．
[答案] (3,2，－1)
5．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的__________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] {a，b，c}为空间的一个基底，则a、b、c一定不共面，则它们三者中无零向量，反之，若a、b、c是三个非零向量，它们可能共面，此时{a，b，c}不可能成为空间的一个基底．[分析] 判断{a＋b，b＋c，c＋a}是否可作为该空间的一个基底．即判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．基底的判断
[方法规律总结] 判断a，b，c可否作为空间的一个基底，即判断a，b，c是否共面，若不共面则可以作为基底，否则不能作为基底，实际判断时，假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理建立λ，μ的方程组，若有解则共面，否则不共面．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，
④{x，y，a＋b＋c}，
其中可以作为空间的基底的向量组有__________个．
[答案] 3
[解析] ②③④都可以作为空间的一组基底，对于①，x＝a＋b，显然a，b，x共面，故{a，b，x}不能作为空间的一个基底． 空间向量基本定理及其应用
[方法规律总结] 1.用基底表示空间向量，一般要结合图形用向量的加法、减法的三角形法则、平行四边形法则及数乘的运算法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
2．若a，b，c不共面，则对空间任一向量p，p＝xa＋yb＋zc，(x，y，z)是唯一的．空间向量的坐标表示 [分析] 若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y，z)就是a在基底{e1，e2，e3}下的坐标．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}为空间的另一个基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，试求向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标．
[解析] 设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.
又∵p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，即p＝a＋2b＋3c，[错解] 容易错填为①②③④⑤.[正解] ③④⑤第三章 3.1 第5课时
一、选择题
1．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若＝，则C的坐标是( )
A．(2，－，) B．(－2，，－)
C．(2，－，－) D．(－2，－，)
[答案] B
[解析] ∵＝(－3,7，－5)，
∴＝(－3,7，－5)＝．
故选B．
2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] ＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2．
∴△ABC为直角三角形．
3．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( )
A．4 B．1
C．10 D．11
[答案] D
[解析] ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)，
∵A、B、C、D共面，∴、、共面，
∴存在λ、μ，使＝λ＋μ，
即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，
∴∴
4．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
[答案] B
[解析] a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，
2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴∴
5．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝．
6．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<－4 B．－4C．04
[答案] A
[解析] ∵a、b的夹角为钝角，∴a·b<0，
即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x<0．
∴x<－4．
又当夹角为π时，存在λ<0，使b＝λa，
∴此方程组无解，因此选A．
二、填空题
7．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝__________．
[答案] 或
[解析] 设n＝(x，y，z)，由条件得
∴x＝y＝z＝或－．
8．(2013·人大附中期中)△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B(－，，)，C(－1,0，)，则角A的大小为__________．
[答案] 30°
[解析] ＝(－，，0)，＝(－1,0,0)．则cosA＝＝＝，故角A的大小为30°．
三、解答题
9．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使与＋x垂直？
[解析] ＝(6，－5,5)，＝(1，－3,6)，
＋x＝(6＋x，－5－3x,5＋6x)，
∵⊥(＋x)
∴6(6＋x)－5(－5－3x)＋5(5＋6x)＝0，
∴x＝－，∴存在实数x＝－，
使与＋x垂直．
10．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．
因为∥，∥，
所以
解得
即D(－1,1,2)．
(2)依题意＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)，
假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，
所以故存在α＝β＝1，使得＝α＋β成立．
一、选择题
11．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] 设BC边上的中点为D，则＝(＋)＝(－1，－2,2)，所以||＝＝3．
12．下列各组向量中共面的组数为( )
①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)
②a＝(1,2，－1)，b＝(0,2，－4)，c＝(0，－1,2)
③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1)
④a＝(1,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①设a＝xb＋yc，则
解得
故存在实数x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c，
∴a，b，c共面．
②中b＝－2c，③中c＝a－b．
故②③中三个向量共面．
13．(2014·郑州一中月考)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] C
[解析] a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，
而|a|＝＝，
所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°．
14．(2013·湖北省八校联考)已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当·取最小值时，点D的坐标为( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
[答案] C
[解析] 点D在直线OC上运动，因而可设＝(a，a,2a)，＝(1－a,2－a,3－2a)，＝(2－a,1－a,2－2a)，·＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝时·最小为－，此进＝(，，)，故选C．
[点评] 注意函数思想的应用．
二、填空题
15．已知a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则a·(b－c)＝__________．
[答案] 5
[解析] b－c＝(2,0,1)，a·(b－c)＝(2，－3,1)·(2,0,1)＝4＋0＋1＝5．
16．(2013·湖南省长沙一中月考)已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝__________．
[答案]
[解析] 设＝m，则＝m＝m，∵M为BC中点，∴＝＋＝＋m，
又＝＋，
由条件知，·＝(＋)·(＋m)
＝·＋·＋m·＋m·
＝－＋4m＝0，∴m＝．
三、解答题
17．已知空间三点A(0,2,3)、B(－2,1,6)、C(1，－1,5)．
(1)求以、为邻边的平行四边形面积；
(2)若|a|＝，且a分别与、垂直，求向量a的坐标．
[解析] (1)由题中条件可知
＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴sin〈，〉＝，
∴以，为邻边的平行四边形面积
S＝||·||·sin〈，〉＝7．
(2)设a＝(x，y，z)，
由题意得
解得或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
课件42张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.1 空间向量及其运算
第5课时 空间向量运算的坐标表示第三章1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直、夹角、长度的坐标计算公式．
难点：空间向量平行、垂直的条件及两个向量的夹角、向量长度的坐标计算公式．
温故知新
复习平面向量加法、减法，数乘向量，数量积及向量平行、垂直，向量的模，夹角的坐标表示．
思维导航
我们已经讨论过空间向量基本定理及向量的坐标表示，类比平面向量，你能给出向量的线性运算，数量积及平行，垂直，模，夹角的坐标表示吗？空间向量运算的坐标表示
新知导学
1．设{i，j，k}为单位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，根据向量线性运数与数量积运算的定义及运算律，可得出a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐标表示．
(1)空间向量的线性运算及数量积的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
①a＋b＝________________________；
②a－b＝________________________；
③λa＝__________________________；
④a·b＝___________________.(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)
a1b1＋a2b2＋a3b3终点 (x2－x1，y2－y1，z2－z1)终点起点[答案] B2．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，＝120°，则k＝__________.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1、BD上的点，且3B1P＝D1P，BD＝4DQ，求证：PQ⊥AE.向量运算的坐标表示 [解析] (1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2)
＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．
(2)2a－3b＝(4，－2,6)－(0，－3,6)＝(4,1,0)．
(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
＝4＋1＋9－0－1－4＝9.
[方法规律总结] 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具．已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则：
(1)a·(b＋c)＝__________；
(2)(a＋2b)·(a－2b)＝__________.
[答案] 9 －38[分析] ∵z轴的一个方向向量为α＝(0,0,1)，故原题设结论可转化为在α与λa＋μb垂直时，求λ与μ的关系．
[解析] 由(λa＋μb)·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0知λ＝2μ，只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa＋μb与z轴垂直．向量平行与垂直的坐标表示
[方法规律总结] 向量平行与垂直的坐标表示是重要知识点，应熟练掌握．含参数的向量平行，应用比例式求参数值时，要注意其前提条件．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则k＝__________.
[分析] 由向量线性运算的坐标表示可求出ka＋b，a－3b，再由向量共线的坐标表示可求出k.向量的夹角与长度 [分析] 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，应用数量积、夹角公式即可．
[方法规律总结] 1.求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同，不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
2．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合)用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表示出来，然后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算的结果转化为几何结论；当图形中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算，最后转化为相应几何结论．
3．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围时，要注意共线的情形．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1、BB1的中点，则cos∠EAF＝__________，EF＝__________.[辨析] 因为AB与AC不垂直，故以AB、AC、AP所在直线为轴建立的坐标系不是直角坐标系，另外我们建立坐标系应为右手系．
[正解] ∵四边形ABCD是∠ABC＝60°的菱形，E为边BC的中点，第三章 3.2 第1课时
一、选择题
1．若平面α、β的法向量分别为a＝，b＝(－1，2，－6)，则( )
A．α∥β B．α与β相交但不垂直
C．α⊥β D．α∥β或α与β重合
[答案] D
[解析] ∵b＝－2a，∴b∥a，
∴α∥β或α与β重合．
2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则( )
A．l1∥l2 B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2 D．不能确定
[答案] C
[解析] ∵a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2．
3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交
[答案] C
[解析] ∵＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，
∴∥平面yOz．
4．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；
③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．
其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] DD1∥AA1，＝(0,0,1)；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，下列结论中，错误的是( )
A．A1E⊥AC1 B．BF∥平面ADD1A1
C．BF⊥DG D．A1E∥CH
[答案] A
[解析] 设正方体棱长为1，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A1(1,0,1)，E(1，，0)，C(0,1,0)，F(0,1，)，C1(0,1,1)，H(0，，1)，G(，0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，∴＝(0，，－1)，＝(－1,1,1)，＝(－1,0，)，＝(，0,1)，＝(0，－，1)．
平面ADD1A1的一个法向量为v＝(0,1,0)，
∴·＝－，·v＝0，
·＝0，＝－．
∴B、C、D成立，A不成立，故选A．
6．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：
①a∥b?＝＝；
②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；
③a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 由＝＝?a∥b，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B．
二、填空题
7．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝__________．
[答案]
[解析] ∵α∥β，∴u∥v，∴＝＝，
∴∴x＋y＝．
8．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是__________．
[答案] 垂直
[解析] ∵v1·v2＝－2＋0＋2＝0，
∴v1⊥v2．
∴l1⊥l2，
三、解答题
9．如图所示，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA＝θ，能否确定θ，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由．
[解析] 以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，设|AD|＝2a，|AB|＝2b，∠PDA＝θ，则A(0,0,0)、B(0,2b,0)、C(2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atanθ)、M(0，b,0)、N(a，b，atanθ)．
∴＝(0,2b,0)，＝(2a,2b，－2atanθ)，＝(a,0，atanθ)．
∵·＝(0,2b,0)·(a,0，atanθ)＝0，
∴⊥，即AB⊥MN．
若MN⊥PC，
即·＝(a,0，atanθ)·(2a,2b，－2atanθ)
＝2a2－2a2tan2θ＝0，则tan2θ＝1，
而θ是锐角，
∴tanθ＝1，θ＝45°．
即当θ＝45°时，直线MN是直线AB与PC的公垂线．
10．已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
[证明] 证法1：先将已知条件转化为·＝0，·＝0，再证明·＝0．
∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0．
∴·＝(＋)·(－)
＝·＋·－ 2－·
＝·－ 2－·
＝·(－－)＝·＝0．
∴⊥，从而AD⊥BC．
证法2：设＝a，＝b，＝c，
∵AB⊥CD，
∴·＝(b－a)·(－c)＝a·c－b·c＝0，
∴a·c＝b·c；
∵AC⊥BD，∴·＝(c－a)·(－b)＝a·b－b·c＝0，∴a·b＝b·c；
∴a·c＝a·b，
∴·＝(－a)·(c－b)＝a·b－a·c＝0，
∴AD⊥BC．
一、选择题
11．已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P、Q、R、S，如下图，所得图形是( )
A．长方形 B．正方形
C．梯形 D．菱形
[答案] D
[解析] ∵＝－＝－＝．
同理＝，∴＝，
∴四边形PQRS为平行四边形，
又∵＝－＝－＝，
∴||＝||，即PS＝BD，
又||＝||，∴PQ＝AC，
∵AC＝BD，∴PS＝PQ，∴四边形ABCD为菱形．
12．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B．(1,3，)
C．(1，－3，) D．(－1,3，－)
[答案] B
[解析] 对于选项A，＝(1,0,1)，·n＝5，∴与n不垂直，排除A；同理可排除C、D．对于选项B，有＝(1，－4，)，∴·n＝0，∴选B．
二、填空题
13．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为__________．
[答案] x＋y＋z＝3
[解析] 由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量＝(1,1,1)，
因为P∈α，∴⊥，
∴(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，
∴x＋y＋z＝3．
14．(2013·清华附中月考)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为__________．
[答案] (，0，)
[解析] 设点C的坐标为(x,0，z)，则＝(x－1,2，z－3)，＝(1,3，－4)，因为与共线，所以＝＝，解得，所以点C的坐标为(，0，)．
三、解答题
15．设a，b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系；
(1)a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；
(2)a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；
(3)a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)．
[解析] (1)∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2．
(2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，
∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2．
(3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，
∴a与b不共线也不垂直．
∴l1与l2相交或异面．
16．在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形边长为3，棱锥的侧棱长为5，E、F、G分别为BC、CD、PC的中点，用向量方法证明下列问题．
(1)EF⊥PA；
(2)EF∥平面PBD；
(3)直线PA与平面EFG不平行．
[解析] 设AC与BD的交点为O，
∵P－ABCD为正四棱锥，
∴PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
以O为原点，OB，OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵正方形ABCD边长为3，∴OB＝OC＝3，
又PC＝5，∴OP＝4，
∴A(0，－3,0)，B(3,0,0)，C(0,3,0)，D(－3,0,0)，P(0，0,4)．
(1)∵E、F分别为BC、CD的中点，∴E(，，0)，F(－，，0)，
∴＝(－3,0,0)，＝(0，－3，－4)，·＝0，∴EF⊥PA．
(2)显然＝(0,3,0)为平面PBD的一个法向量，
∵·＝0，∴EF∥平面PBD．
(3)∵G为PC中点，∴G(0，，2)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，
∴∴
取n＝(0,1,0)，∵n·＝－3≠0，∴PA与平面EFG不平行．
课件44张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量第三章1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量处理线面的位置关系．
重点：平面的法向量．
难点：利用向量知识处理立体几何问题．温故知新
1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方向向量．
思维导航
1．怎样确定空间一条直线的方向向量？
2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？类似的，一点A和一个方向能确定一个平面吗？这个方向对平面有何特殊意义？
3．怎样确定一个平面的法向量．直线的方向向量与平面的法向量 定点A 定方向
这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．
依据直线的方向向量可以确定直线平行的条件，计算两条直线所成的角，研究线面的平行与垂直等．
在直线上任取两点P、Q，可得到直线的一个方向向量__________．相交 xa＋yb 3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．
通过平面的法向量能研究直线与平面的平行、垂直、平面与平面的平行、垂直、线面角、二面角及距离问题等，应用非常广泛．如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的__________．
给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量的平面唯一确定．法向量牛刀小试
1．若a＝(1,2,3)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0,1,2) B．(3,6,9)
C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
[答案] B
[解析] ∵a＝(1,2,3)，
∴向量(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，
∴向量(3,6,9)能作为平面α的法向量．
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
[答案] B
[解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．
3．直线l经过点A(0,1，－1)、B(1,0,2)，则l的一个方向向量e＝__________．
[答案] (1，－1,3)(或e＝λ(1，－1,3)且λ≠0中任选一个即可)思维导航
4．在平面向量中，我们可以用直线的方向向量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量中我们能否用直线的方向向量与平面的法向量来讨论空间线面的位置关系呢？直线的方向向量与平面的法向量在研究空间
线面位置关系中的应用 新知导学
4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的方向向量与平面的法向量的位置关系来研究．
设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α、β不重合且l、m不在平面α、β内时，有
(1)l∥m?_______?______________________；
(2)l⊥m?_______?__________；
(3)l∥α?________?__________；a∥b存在k∈R，使a＝kba⊥ba·b＝0a⊥ua·u＝0(4)l⊥α?________?___________________．
(5)α∥β?________?_____________________；
(6)α⊥β?________?__________．
注：①由前提知a，b，u，v都是非零向量．
②用(1)证明线线平行时，必须指明l与m不重合；用(3)证明线面平行时必须说明_______；用(5)证明二面平行时，必须说明________________．a∥u存在k∈R，使a＝kuu∥v存在k∈R，使u＝kv u⊥vu·v＝0l?αα与β不重合[答案] D[答案] D根据方向向量确定两直线位置关系 [分析] l1、l2的方向向量分别为a，b，l1与l2不重合，则l1∥l2?a∥b，l1⊥l2?a⊥b．
[解析] (1)显然有b＝3a，即a∥b，
∴l1∥l2．
(2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2．
(3)显然b＝－4a，即a∥b，故l1∥l2．
[方法规律总结] 判断两不重合直线位置关系，只需取两直线的方向向量a、b，若a·b＝0，则两直线垂直；若a∥b，则两直线平行．[答案] B求平面的法向量 过点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)的平面的一个法向量为__________．
[答案] (1,1,1)
[点评] 设定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为1时，一定要注意这个坐标不为0，如本题中若求平面AOB的法向量时，就不能设其法向量为(1，y，z)．利用法向量研究线面位置关系
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β．
(2)观察知v＝－2u，即u∥v，∴α∥β．
(3)∵u·v＝－29≠0，∴u、v不垂直，显然u≠v，
∴α与β既不平行也不垂直，
即α与β相交但不垂直．
[方法规律总结] 1．判断两不重合平面的位置关系，只需取两平面的法向量u，v，若u·v＝0，则二面垂直；若u∥v，则二面平行．
2．判断直线l与平面α(l?α)的位置关系，取直线的方向向量a与平面的法向量v，若a·v＝0，则l∥α；若a∥v，则l⊥α．
3．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y＝__________．[解题思路探究] 第一步，审题．
一审条件，挖掘解题信息：给出一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，可利用线面平行时方向向量与法向量的关系．
二审结论，确定解题目标：证明两个平面平行，可转化为证明其法向量平行．第二步，建立联系确定解题步骤．
如图，由线面平行可得直线l、m的方向向量与平面β的法向量垂直，由两直线l、m相交可得直线的方向向量a、b不共线，从而可取作基底，从而可将该平面内任一直线用a、b线性表示，然后利用数量积说明v是平面α的法向量，从而u∥v，最后说明α∥β．
第三步，规范解答．
[解析] 已知：直线l，m和平面α，β，其中l，m?α，l与m相交，l∥β，m∥β，求证：α∥β．
证明：设相交直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，因为l∥β，m∥β，所以a⊥v，b⊥v．所以a·v＝0，b·v＝0．
因为l，m?α，且l，m相交，
所以α内任一直线的方向向量p可以表示为如下形式p＝xa＋yb，x，y∈R．
因为p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0，即平面β的法向量与平面α内任一直线垂直．
所以平面β的法向量也是平面α的法向量，即u∥v．因此，α∥β．两条不重合直线m、n和平面α都垂直，求证m∥n．
[证明] 设m、n的方向向量分别为e1、e2，平面α的法向量为n，∵m⊥α，n⊥α，∴e1∥n，e2∥n，
故存在实数x，y，使e1＝xn，n＝ye2，
∴e1＝(xy)e2，∴e1∥e2，
∵m与n不重合，∴m∥n．[错解] l∥α[正解] l∥α或l?α第三章 3.2 第2课时
一、选择题
1．l，m是两条直线，方向向量分别为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则( )
A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2
C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2
[答案] D
[解析] 由向量平行的充要条件可得．
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
[答案] C
[解析] ∵α∥β，∴＝＝，
∴k＝4，故选C．
3．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为( )
A．(，－，) B．(，－3,2)
C．(，－1，) D．(，－，)
[答案] C
[解析] ∵C在线段AB上，∴∥，
∴设C(x，y，z)，则由＝得，(x－4，y－1，z－3)＝(2－4，－5－1，1－3)，
即解得
故选C．
4．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l?α D．l与α斜交
[答案] B
[解析] ∵a·b＝－4＋4＝0，
∴a⊥b，又∵l?α，∴l∥α．
二、填空题
5．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1,1)，C(3，λ，λ)，若⊥，则λ等于__________．
[答案]
[解析] ＝(1，－3，－2)，＝(2，λ－2，λ－3)，
∵⊥，
∴·＝0，
∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝．
三、解答题
6．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM?MA＝BN?ND＝5?8．
求证：直线MN∥平面PBC．
[证明] ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋
＝－(－)＋＋(＋)
＝－＋＝－，
∴与、共面，∴∥平面BCP，
∵MN?平面BCP，∴MN∥平面BCP．
7．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别为棱PA、PB、PC的中点，求证平面DEF∥平面ABC．
[证明] 证法一：如图．
设＝a，＝b，＝c，则由条件知，＝2a，＝2b，＝2c，
设平面DEF的法向量为n，则n·＝0，n·＝0，
∴n·(b－a)＝0，n·(c－a)＝0，
∴n·＝n·(－)＝n·(2b－2a)＝0，n·＝n·(－)＝n·(2c－2a)＝0，∴n⊥，n⊥，
∴n是平面ABC的法向量，
∴平面DEF∥平面ABC．
证法二：设＝a，＝b，＝c，则＝2a，＝2b，＝2c，
∴＝b－a，＝c－a，＝2b－2a，＝2c－2a，
对于平面ABC内任一直线l，设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x，y)，使e＝x＋y＝x(2b－2a)＋y(2c－2a)＝2x(b－a)＋2y(c－a)＝2x＋2y，∴e与、共面，
即e∥平面DEF，
∴l?平面DEF，∴l∥平面DEF．
由l的任意性知，平面ABC∥平面DEF．
8．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG∥平面HMN．
[证明] 如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．
∴＝(0，－1,1)，＝(1,0,1)，
＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG、平面HMN的法向量，
由?，
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由?．
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
∴m＝n，即平面EFG∥平面HMN．
一、解答题
9．(2014·郑州市质检)正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点(如图(1))，现将△ABC沿CD翻成直二面角A－DC－B(如图(2))．在图(2)中：
(1)求证：AB∥平面DEF；
(2)求多面体D－ABFE的体积．
[解析] (1)∵D为正△ABC的边AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴折成直二面角后AD⊥CD，BD⊥CD，AD⊥BD．
分别以DB、DC、DA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，
∵E、F分别为AC、BC的中点，∴E(0，，)，F(，，0)，∴＝(1,0，－1)，＝(，0，－)，∵＝2，∴AB∥EF，∵AB?平面DEF，∴AB∥平面DEF．
(2)∵E为AC中点，∴E到平面BDC的距离h等于A到平面BDC距离的一半，即h＝，
又F为BC中点，∴VE－DFC＝S△DFC·h＝S△BDC＝，
∴VD－ABFE＝VA－BDC－VE－DFC＝－＝．
10．如图，点P是矩形ABCD所在平面α外一点，连接PA，PB，PC，PD．
(1)四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA的重心E，F，G，H是否共面？
(2)若(1)中的四点共面，请指出此平面与平面α的关系；否则，请说明理由．
[解析] (1)连接PE，PF，PG，PH并延长分别交AB，BC，CD，DA于点M，N，R，Q，连接EF，FG，HG，HE．
则M，N，R，Q分别为AB，BC，CD，DA边的中点，连接MN，RN，QR，QM，四边形MNRQ是平行四边形，且＝，＝，＝，＝，
又＝＋＝－＋－＝－＋－＝(－)＋(－)＝＋．
而＝－＝(－)＝＝＋，整理得＝＋，
显然，E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知＝，故MR∥EG，从而EG∥平面MNRQ，即EG∥平面α．
又＝－＝－＝，
故HE∥QM，从而HE∥平面MNRQ，
即HE∥平面α．由于EG∩HE＝E，
故平面EFGH∥平面α．
11．如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为2，
则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．
再设Q(0,2，c)，∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2,0，c)，＝(－2，－2,2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则?
令x＝1，则y＝1，z＝2．
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
12．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE?ED＝2?1．在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
[证明] 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，
则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B(a，－a,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E(0，a，a)，
∴＝(0，a，a)，＝(a，a,0)，＝(0,0，a)，＝(a，a，－a)，＝(－a，a，a)．
设点F是棱PC上的点，＝λ＝(aλ，aλ，－aλ)，其中0<λ<1．
则＝＋PF＝(－a，a，a)＋(aλ，aλ，－aλ)
＝(a(λ－1)，a(1＋λ)，a(1－λ))，
令＝λ1＋λ2，
得
即
解得λ＝，λ1＝－，λ2＝，
即当λ＝时，＝－＋，
即F是PC的中点时，、、共面，又BF?平面AEC，
∴当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．
13．(2014·深圳第一次调研)如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)证明：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
[解析] 解法1：(1)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点．
∴EF∥PC又EF?平面PAC
而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC．
(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA．
又EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴AF⊥BE，
又PA＝AB＝1，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE＝B，PB，BE?平面PBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE．
所以无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
解法2：以A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，
设D(a,0,0)，则C(a,1,0)．
(1)∵E为BC的中点，F为BP的中点，
∴E(，1,0)，F(0，，)，
∴＝(－，－，)，＝(0,0,1)，＝(a,1,0)．
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，则
∴
取x＝1，则n＝(1，－a,0)，
∵·n＝0，∴⊥n，
又EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC．
(2)∵E在BC上，∴设E(m,1,0)，
∴＝(m,1，－1)，＝(0，，)，
∵·＝0，∴PE⊥AF．
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF．
课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.2 立体几何中的向量方法
第2课时 向量法在空间平行关系中的应用 第三章1．掌握运用直线的方向向量和平面的法向量证明平行问题的方法．
2．能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系．
重点：用直线的方向向量与平面的法向量来表示空间中的平行关系；共面向量定理与线面平行的联系．
难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．思维导航
1．两向量平行时，它们所在的直线平行吗？向量共线是否表明它们所在的直线重合？怎样理解向量共线与直线平行的关系？
2．两向量共面是否表明它们所在直线平行或重合？怎样用向量表达线面平行的关系？
3．怎样理解平面的法向量平行与平面平行的关系？用法向量来证明二面平行时应特别注意什么？空间平行关系的向量表示
新知导学
1．设不重合直线l1、l2的方向向量分别为a、b．
l1∥l2?________?存在实数t，使a＝_______．
2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量，则l∥α或l?α?存在两个实数λ、μ，使a＝__________?a·n＝_____．
a∥btbλv1＋μv20
3．设不重合平面α、β的法向量分别为n1、n2．
α∥β?__________?存在实数t，使__________．
4．若v1、v2是与α平行的两个不共线向量．
则α∥β或α与β重合?v1______β且v2_______β?存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a＝__________．n1∥n2n1＝tn2∥∥λv1＋μv2[答案] C2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
[答案] B[解析] 以C1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
3．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为__________．
[答案] l∥α或l?α
[解析] u·v＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l∥α或l?α．
4．如图，两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，M、N分别是BD、AE上的点，且AN＝DM．求证：MN∥平面EBC．线线平行 [方法规律总结] 证明两直线平行时，在两直线上各取一方向向量，证明此二向量平行，且说明两直线无公共点．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD．
[证明] 以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系如图．线面平行 在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，求证：PA∥平面EDB．[分析] 按照两平面平行的条件，要证明平面A1BD∥平面CD1B1，只需证明两个平面的法向量平行．面面平行 [方法规律总结] 证明二面平行时，分别找(或求)出两个平面的法向量u，v，验证u∥v成立．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFBD．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，[错解] 不共面．因为三向量所在的直线A1B、EF、B1C都是异面直线，所以三向量不共面．第三章 3.2 第3课时
一、选择题
1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
[答案] C
[解析] ∵l∥α，∴l与平面α的法向量垂直．
故2×1＋×m＋1×2＝0，
解得m＝－8，故选C．
2．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )
A．(1，－2,0) B．(0，－2,2)
C．(2，－4,4) D．(2,4,4)
[答案] C
[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，
∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．
二、填空题
3．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是__________．
[答案] ①②③
[解析] ·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥．
·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，
∵⊥，⊥，∩＝A，
∴⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．
三、解答题
4．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，如果BC⊥PB，求证四边形ABCD是矩形．
[证明] 由条件知⊥，⊥，＝，
∵BC⊥PB，∴·＝0，
即·(－)＝0，
∴·－·＝0，
∵·＝0，∴·＝0，
∴AD⊥AB，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形．
5．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC．
[证明] 设＝a，＝b，＝v．
由条件知，v是平面ABC的法向量，
∴v·a＝0，v·b＝0，
∵D为AB中点，∴＝(a＋b)，
∵O在CD上，
∴存在实数λ，使＝λ＝(a＋b)，
∵CA＝CB，∴|a|＝|b|，
∴·＝(b－a)·
＝(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v
＝(|b|2－|a|2)＋b·v－a·v＝0，
∴⊥，∴AB⊥PC．
6．在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE?EC＝PF?FB＝1?2．
求证：平面GEF⊥平面PBC．
[证明] 证法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0，3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0，1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
于是＝(3,0,0)，＝(1,0,0)，
故＝3，∴PA∥FG．
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC．
又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC．
证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则
E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．
∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥．
∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC．
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点，求证：PC⊥平面BEF．
[解析] 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，
四边形ABCD是矩形，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．
又E、F分别是AD、PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．
∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)，
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，
∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF．
又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF．
一、选择题
8．已知A(3,0，－1)、B(0，－2，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] ＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，则
·＝－3×(－1)－2×4＋5＝0．
∴⊥，故△ABC为直角三角形．
又||≠||故选C．
二、填空题
9．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为__________________．
[答案] (－，，1)
[解析] 设M(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，
由题意得
∴x＝－，y＝，z＝1，
∴点M的坐标为(－，，1)．
三、解答题
10．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D．
[证明] 如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)∵＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，
∴·＝0－4＋4＝0，
∴⊥，∴BC1⊥AB1．
(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，∴＝－，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1．又ED?平面CA1D，BC1?平面CA1D，故BC1∥平面CA1D．
[点评] 第(2)问可求出＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，＝(0，－2，－2)，
∴＝－2＋，
∴与、共面，
∵BC1?平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D．
还可以先求出平面CA1D的法向量n，证明·n＝0．
11．如图， 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1．
[证明] 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，
＝(0，－，－4)，＝(－，，0)．
设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0．
解得x＝y，z＝－y，令y＝1得n＝(1,1，－)，
又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)，
而n·＝1×(－2)＋1×2＋(－)×0＝0，
即n⊥．∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．
12．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F．
[解析] 建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，设E(2，y，z)，则＝(2，y－2，z－3)，＝(1,2,0)，＝(2,0,3)，
∵D1E⊥平面AB1F，
∴
即解得
∴E(2,1，)即为所求．
13．(2014·银川市一中二模)已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD＝O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝1，得到三棱锥A－BCD，如图所示．
(1)若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
(2)求证：AO⊥平面BCD；
(3)求二面角A－BC－D的余弦值．
[解析] 在△AOC中，∵AC＝1，AO＝CO＝，
∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD, CO⊥BD，即AO、CO、BD两两垂直，
以O为原点，OC、OD、OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(，0,0)，D(0，，0)，A(0,0，)，B(0，－，0)．
(1)∵M为AB的中点，∴M(0，－，)，＝(0，－，)，＝(0，－，)，
∴＝，∴OM∥DA，
∵OM?平面ACD，∴OM∥平面ACD．
(2)由于AO⊥BD，AO⊥OC，OC∩BD＝0，∴AO⊥平面BCD．
(3)易知＝(0,0，)是平面BCD的一个法向量．＝(，0，－)，＝(，，0)，
设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0．
即
所以y＝－x且z＝x，令x＝1，则y＝－1，z＝1，得n＝(1，－1,1)．
从而cos〈n，〉＝＝，易知二面角A－BC－D为锐二面角，∴二面角A－BC－D的余弦值为．
课件53张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.2 立体几何中的向量方法
第3课时 向量法在空间垂直关系中的应用 第三章1．能利用平面法向量证明两个平面垂直．
2．能利用直线方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．
重点：用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间中的垂直关系．
难点：向量共线、垂直与空间线、面垂直的联系．思维导航
1．两向量垂直时，它们所在的直线垂直吗？
2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？
3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系？
空间线面垂直关系的向量表示 新知导学
1．线线垂直：设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?________．
2．线面垂直：设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?________．
3．面面垂直：若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u⊥v．a⊥ba∥u牛刀小试
1．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1．[点评] ①证明直线 l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明a·b＝0．
②证明直线l与平面α垂直时，取α的法向量n，l的方向向量a，证明a∥n．
或取平面α内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明a·e＝0，b·e＝0．
③证明平面α与β垂直时，取α、β的法向量n1、n2，证明n1·n2＝0．或取一个平面α的法向量n，在另一个平面β内取基向量{e1，e2}，证明n＝λe1＋μe2．线线垂直 求证：EF⊥平面B1AC．线面垂直
[方法规律总结] 证明直线l⊥平面α，(一)取直线的方向向量e和平面的法向量n，验证e∥n；(二)取直线的方向向量e和与平面α平行的两不共线向量a，b，验证e·a＝0且e·b＝0．可以选取基向量表示，方便建系时一般用坐标法证明．用向量方法证明：如果两个相交平面都与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．
[解析] 已知：如图，α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ．
求证：l⊥γ．面面垂直 [方法规律总结] 1．证明平面α⊥平面β，求出平面α与β的法向量e1，e2，验证e1·e2＝0，或转化为证明线面垂直，用面面垂直的判定定理证明．
2．探索性、存在性问题：
(1)存在性问题，先假设存在，根据题目条件，利用线面位置关系的向量表示建立方程或方程组，若能求出符合题意要求的值则存在，否则不存在．
(2)探索点的位置的题目，一般先设出符合题意要求的点，再利用题设条件建立方程求参数的值或取值范围．
第二步，建联系，确定解题步骤．
首先建立坐标系，求出各相关点坐标，再验证(1)问；然后设P点坐标求出Q点坐标，利用垂直关系列方程，解方程，最后下结论．
第三步，规范解答．第三章 3.2 第4课时
一、选择题
1．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．以上都不对
[答案] D
[解析] ∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] B
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．
∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
∵n⊥，n⊥，
∴∴
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．
∴cos〈n，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝．
3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 解法一：∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＝．
而||＝
＝＝＝．
同理，||＝．如令α为所求角，则
cosα＝＝＝．应选D．
解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，
∴＝－(1,0,0)＝(0，，1)，＝(1,1，)－(0,1,0)＝(1,0，)．
故·＝0×1＋×0＋1×＝，
||＝＝，
||＝＝．
∴cosα＝＝＝．
4．(2013·大纲理，10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 如图，连接C1O，过C作CM⊥C1O．
∵BD⊥平面C1CO，∴BD⊥CM，
∵C1O∩BD＝O，∴CM⊥平面BC1D，
∴∠CDM即为CD与平面BDC1所成的角，
令AB＝1，∴AA1＝2，CO＝，
C1O＝＝＝，
由CM·C1O＝CC1·CO得，CM＝，
∴sin∠CDM＝＝．
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为( )
A．(0°，90°) B．90°
C．120° D．(60°，120°)
[答案] C
[解析] ＝(＋)，＝(＋)，
∴·＝(·＋·＋·＋·)＝－||2．
又||＝||＝||，
∴cos〈，〉＝＝－．
∴∠EOF＝120°，故选C．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．
设正方体棱长为1，MF＝，GF＝，
∴sin∠MGF＝．
解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，
∵F(，0,0)，G(1,1，)，∴＝，
设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝．
二、填空题
7．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2cm，则这个二面角的度数为__________．
[答案] 60°
[解析] 设〈，〉＝θ，∵CA⊥AB，AB⊥BD，
∴·＝·＝0，〈，〉＝180°－θ，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos(180°－θ)．
∴(2)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cosθ)，
∴cosθ＝，∴θ＝60°．
因此，所求二面角的度数为60°．
8．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为__________．
[答案]
[解析] 解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM．过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C．连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．
在Rt△DAN中，
sin∠DAN＝＝＝．
解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
在正三角形ABC中，BM＝AB＝，
∴A，B，D，
∴＝，
又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,0)，
设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，e〉|＝＝．
解法三：设＝a，＝b，＝c，
由条件知a·b＝，a·c＝0，b·c＝0，
又＝－＝c－b，
平面AA1C1C的法向量＝(a＋b)．
设直线BD与平面AA1C1C成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，〉|＝，
∵·＝(c－b)·(a＋b)
＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－．
||2＝(c－b)2＝|c|2＋|b|2－2b·c＝2，
∴||＝，
||2＝(a＋b)2＝(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝，∴||＝，∴sinθ＝．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为__________________．
[答案]
[解析] 建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2,0,0)，A1(0,0,2)，E(0,2,1)，则＝(2,0，－2)，＝(0,2，－1)．
设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴∴
令y＝1，得n＝(2,1,2)．
易知平面ABCD的法向量为m＝(0,0,1)，
则cos〈n·m〉＝＝．
三、解答题
10．(2012·福建理，18)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．
[解析] (1)以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，
＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)．
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥ AD1．
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE．此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥ ，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a)．
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝．
又DP?平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝．
(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D．
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，
∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．
设与n所成的角为θ，则
cosθ＝＝ ．
∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，
∴|cosθ|＝cos30°，即＝．
解得a＝2，即AB的长为2．
一、填空题
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为__________．
[答案] 30°
[解析] 解法一：连接BC1，设与B1C交于O点，连接A1O．
∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1．
∴BC1⊥平面A1B1C，
∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O．∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，
设正方体的棱长为1．
在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝，
∴sin∠OA1B＝＝＝．∴∠OA1B＝30°．
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°．
解法二：以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，C(0,1,0)．
∴＝(1,0,1)，＝(0,1,0)．
设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)
则?令z＝－1得x＝1．
∴n＝(1,0，－1)，又B(1,1,0)，∴＝(0,1，－1)，
cos〈n，〉＝＝＝．
∴〈n，〉＝60°，
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°．
12．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为__________．
[答案] 90°
[解析] 取AC的中点D，建立如图坐标系，设AB＝a，
则B(a,0,0)，C1(0，，a)，A(0，－，0)，B1(a,0，a)．
∴＝(a，，a)，＝(a，－，－a)．
∴cos〈，〉＝＝0．
∴AB1与C1B所成的角为90°．
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，则平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值为__________．
[答案] 2
[解析] 以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C(0,1,0)，E(0，，1)，F(，1,1)．
设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
∵＝，＝，
∴∴
令z＝1，则n＝(－2,2,1)．
显然平面ABCD的法向量e＝(0,0,1)，则
cos〈n，e〉＝＝．
设二面角为α，则cosα＝，∴tanα＝2．
二、解答题
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
(3)求DB与平面DEF所成角的大小．
[解析] 以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，，0)、F(，，)、P(0,0，a)．
(1)·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，
∴EF⊥DC．
(2)设G(x,0，z)，则＝(x－，－，z－)，
·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)
＝a(x－)＝0，∴x＝；
·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)
＝＋a(z－)＝0，∴z＝0．
∴G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点．
(3)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．
则∴
即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．
cos<，n>＝＝＝，
∴DB与平面DEF所成角大小为－arccos．
15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
[解析] 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
(1)＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a,0)，
·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD．
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．则n1⊥，n1⊥，n2⊥，n2⊥，
∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)，
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2，
∴2－＝0，得e＝．
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD．
16．(2014·安庆质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2．
(1)求证：PD∥平面AMC；
(2)若AB＝1，求二面角B－AC－M的余弦值．
[解析] (1)如图，连接BD，设BD与AC相交于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为BD的中点．
∵M为PB的中点，
∴OM为△PBD的中位线，
∴OM∥PD，
∵OM?平面AMC，PD?平面AMC，
∴PD∥平面AMC．
(2)∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，则AD⊥平面PAB，故PA⊥AD，又PA⊥AB，AB⊥AD．
因此以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M(0，，1)，
∴＝(2,1,0)，＝(0，，1)，
求得平面AMC的法向量为n＝(1，－2,1)，又平面ABC的一个法向量为＝(0,0,2)，
∴cos＝＝＝＝．
由图知二面角B－AC－M为锐二面角，所以所求二面角B－AC－M的余弦值为．
17．(2014·西安市长安中学期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．
(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值．
[解析] (1)∵BC＝AD，Q为AD的中点，
∴BC＝DQ，
又∵AD∥BC，∴BC∥DQ，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，
∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BQ⊥平面PAD，
又BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
(2)解法1：∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)，
∵M是PC中点，∴M(－，，)，
∴＝(－1,0，)，＝(－，－，)，
设异面直线AP与BM所成角为θ，
则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝，
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为．
解法2：连接AC交BQ于点O，连接OM，则OM∥PA，
所以∠BMO就是异面直线AP与BM所成的角．
OM＝PA＝1，BO＝BQ＝，
由(1)知BQ⊥平面PAD，所以BQ⊥PA，∴BQ⊥OM，
∴BM＝＝＝，
∴cos∠BMO＝＝＝．
课件80张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.2 立体几何中的向量方法
第4课时 利用向量知识求空间中的角第三章掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法．重点：异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系．
难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角．
温故知新
1．回顾复习异面直线所成角的定义、求法．
思维导航
1．从上两节我们已经体验到，空间向量的引入，将立体几何的综合证明转化为代数计算，使有些问题的解决变得很简便，能否用向量方法求空间中的角？怎样用直线的方向向量来表达异面直线所成的角？异面直线所成的角 新知导学
1．异面直线所成的角取值范围是__________ ，的两向量夹角的取值范围是__________ ，设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，由向量夹角的定义及求法知〈a，b〉与θ_________或________，
∴cosθ＝__________．[0，π]相等互补[答案] C[解析] 如图所示，取直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，温故知新
2．回顾复习线面角的定义及求法．
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2．能否用直线的方向向量与平面的法向量来表示直线与平面所成的角？怎样表示？直线与平面所成的角 [答案] C温故知新
3．回顾复习二面角及其平面角的定义，求法．
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3．怎样用平面的法向量来表示二面角的大小？二面角新知导学
3．求二面角
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，＝θ，则二面角α－l－β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，
则|cosφ|＝__________＝__________．
|cosθ|由于两条直线所成的角，线面角都不大于直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是__________ ，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点．[0，π]牛刀小试
3．(2014·辽宁师大附中期中)如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°．
(1)求证：EF⊥平面BCE；
(2)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
(3)求二面角F－BD－A的大小．
[解析] (1)因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，
所以AE⊥AB．
又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE?平面ABEF，
平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AE⊥平面ABCD．
所以AE⊥AD．
因此，AD、AB、AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．异面直线所成的角 [答案] D[答案] C
[解析] 如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．令AC＝BC＝C1C＝2，则A(0,2,2)，B(2,0,2)，M(1,1,0)，N(0,1,0)．线面角(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．
[解析] (1)取AB中点O，连接CO，A1B ，A1O，
∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是正三角形，
∴A1O⊥AB，
∵CA＝CB，∴CO⊥AB，
∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面COA1，∴AB⊥A1C．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ．[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)．[分析] 由于PA⊥平面ABC，故PA⊥AC，PA⊥BC，又AC⊥BC，因此过C点作AP的平行线CS，则CS，AC，BC两两垂直．或过A点作AM∥BC，则PA、AM、AC两两垂直，据此可建立空间直角坐标系，由于PA、AC、BC长度已知，故各点坐标易求，求出两个平面的法向量n1、n2，由图易知二面角A－PB－C为锐二面角，故|cos〈n1，n2〉|为所求．二面角(2012·山东理，18)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF．
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F－BD－C的余弦值．
[分析] (1)要证BD⊥平面AED，已知BD⊥AE，故只要证BD⊥AD或BD⊥DE即可．
在等腰梯形ABCD中，由于∠DAB＝60°，BC＝CD，故解三角形易求∠BDA，从而(1)问可证．
(2)由于FC⊥平面ABCD，由(1)知∠ACB为直角(由等腰梯形的对称性可知)，从而容易建立坐标系，利用向量方法求二面角的余弦值．
审结论，明确解题方向，要证平面PQB⊥平面PAD，由条件可转化为证明线面垂直；要证PA∥平面MQB，由于PC∩平面MQB＝M，故可考虑平面PAC与平面MQB的交线∥PA，从而可考虑连接AC交QB于点N，证明PA∥MN；欲求二面角M－QB－C的大小，可先求出平面MBQ与平面BCQ的法向量，通过代数计算解决．
第二步，建联系，确定解题步骤．
(1)先证△ABD为正三角形，AD⊥PQ，再证二面垂直．
(2)先证△ANQ∽△CNB，再证PA∥MN，最后下结论．
(3)先建立坐标系，写出各相关点坐标，再求两平面的法向量，最后计算二面角的大小．
第三步，规范解答．
[解析] (1)连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形，
又Q为AD中点，∴AD⊥BQ．∵PA＝PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ，
又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB，
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．(2014·湖南理，19)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的余弦值．
[解析] (1)证明：∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，
∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1均为菱形．
∵AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，
∴O，O1分别为BD，B1D1中点．
∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1为矩形，
∴OO1∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，
∴OO1⊥BD，OO1⊥AC，
又∵AC∩BD＝O且AC，BD?底面ABCD，
∴OO1⊥底面ABCD．(2)解法1：过O1作B1O的垂线交B1O于点E，连接EC1．不妨设四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a．
∵OO1⊥底面ABCD且底面ABCD∥面A1B1C1D1，
∴OO1⊥平面A1B1C1D1，
又∵O1C1?平面A1B1C1D1，
∴O1C1⊥OO1，
∵四边形A1B1C1D1为菱形，
∴O1C1⊥O1B1，易知n1＝(0,1,0)为平面BDD1B1的一个法向量，[辨析] 错解错因一是不注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负，二是计算粗心．第三章 3.2 第5课时
一、选择题
1．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则 P(1,2－2)到α的距离为( )
A． B．
C．2 D．
[答案] A
[解析] ∵＝(－2,0,3)，∴点P到平面α的距离为d＝＝＝．
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5 B．
C． D．8
[答案] C
[解析] 解法一：∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1．
从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．
过点B1作B1E⊥A1B于E点．
∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E．
又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，
在Rt△A1B1B中，
B1E＝＝＝，
因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离为．
解法二：以D为原点，、、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则C(0,12,0)，D1(0,0,5)，设B(x,12,0)，B1(x,12,5) (x≠0)，
设平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)，
由n⊥，n⊥得
n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，∴a＝0，
n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，
∴b＝c，∴可取n＝(0,5,12)，＝(0,0，－5)，
∴B1到平面A1BCD1的距离d＝＝．
3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)．
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝－1，则n＝(1,1，－1)，
显然n·＝0，n·＝0，
∴n也是平面BDC1的法向量，
∴平面AB1D1∥平面BDC1，
∴其距离为d＝＝．
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则|MN|的长为( )
A．a B．a
C．a D．a
[答案] A
[解析] 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a ＝0，
由条件知，＝－
＝(＋)－
＝(＋＋)－(＋＋)
＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c，
||2＝2＝(2a－b－c)2
＝(4|a|2＋|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋b·c)
＝，∴||＝a．
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 以、、为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，平面ABC1D1的法向量＝(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离
d＝＝＝．
6．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )
A． B．
C．2 D．
[答案] C
[解析] 如图．∵二面角α－l－β等于120°，
∴与夹角为60°．
由题设知，⊥，⊥，||＝||＝||＝1，||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×cos60°＝4，∴||＝2．
二、填空题
7．等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD＝1，以AD为折痕将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：
①BD⊥AC；
②∠BAC＝60°；
③异面直线AB与CD之间的距离为；
④点D到平面ABC的距离为；
⑤直线AC与平面ABD所成的角为45°．
其中正确结论的序号是__________．
[答案] ①②③④⑤
[解析] ∵AD⊥BD，AD⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥平面ACD，∴BD⊥AC，∴①正确；又知AD＝BD＝CD＝1，∴△ABC为正三角形，∠BAC＝60°，∴②正确；∵△ABC边长为，．∴S△ABC＝，由VA－BDC＝VD－ABC得×(×1×1)×1＝××h，∴h＝，故④正确；∵CD⊥平面ABD，∴∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，易知∠CAD＝45°，故⑤正确；以D为原点，DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，∴＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0得x－z＝0，y＝0，令z＝1得n＝(1,0,1)，∴异面直线AB与DC之间的距离d＝＝，故③正确．
8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
[答案]
[解析] 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，
设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，
则有解得n＝，
则d＝＝＝．
解法二：VB1—ABC1＝VA—BB1C1，
VA—BB1C1＝S△BB1C1×AB＝，
又∵VB1—ABC1＝S△ABC1·h，S△ABC1＝AB·＝，
∴h＝．
9．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为__________．
[答案]
[解析] 由已知AB，AD，AP两两垂直．
∴以A为坐标原点AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)．
＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则
∴n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)，
∴d＝＝．
三、解答题
10．三棱柱ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)求点C到平面AB1D的距离．
[解析] (1)证明：如图所示，取AB1中点M，则＝＋＋，又＝＋＋．
∴2＝＋＝＋．．
2·＝(＋)·＝0,2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴DM⊥AA1，DM⊥AB．∴DM⊥平面ABB1A1．
∵DM?平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1．
(2)解：∵A1B⊥DM，A1B⊥AB1．∴A1B⊥平面AB1D．
∴是平面AB1D的一个法向量．
∴点C到平面AB1D的距离为
d＝＝
＝＝＝a．
一、解答题
11．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，AEC1F为平行四边形．
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，设F(0,0，z)．
∵四边形AEC1F为平行四边形，
∴由＝得，(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2．∴F(0,0,2)．∴＝(－2，－4,2)．
于是||＝2．即BF的长为2．
(2)设n1为平面AEC1F的法向量，
显然n1不垂直于平面ADF，
故可设n1＝(x，y,1)，
∴∴
即∴
又＝(0,0,3)，设与n1的夹角为α，则cosα＝＝＝．
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝||·cosα＝3×＝．
12．在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的余弦值．
[解析] (1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，V(，0，)，＝(0,1,0)，＝(，0，－)．
由·＝0，得AB⊥VA．
又AB⊥AD，且AD∩VA＝A，
∴AB⊥平面VAD．
(2)设E为DV的中点，连接EA，EB，则E(，0，)，＝(，0，－)，＝(，1，－)，＝(，0，)．
由·＝0，得EB⊥DV．
又EA⊥DV，∴∠AEB是所求二面角的平面角．
∵cos〈，〉＝＝，
∴所求二面角的余弦值为．
[点评] 如果二面角的平面角容易作出，也可以先作出二面角，再求之．
13．如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离．
[解析] 设、、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取{e1，e2，e3}作为空间向量的一组基底，易知
e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0，
＝2e1，＝2e2，＝2e3，
＝＋＝＋
＝＋(＋)＝－2e1＋e2＋e3，
设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，则n⊥，n⊥，∴
?
?
?∴n＝e1＋e3．
∴直线AE与平面α间的距离为
d＝＝＝．
14．如图，已知直四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，四边形ABCD为正方形，AA′＝2AB＝2，E为棱CC′的中点．
(1)求证：A′E⊥平面BDE；
(2)设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且BG＝BB′，求证：FG∥平面BDE．
[证明] (1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A′(1,0,2)，E(0,1,1)，F(，0,0)，G(1,1，)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，
于是＝(1,1,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,1，－1)．
∵·＝－1＋1＋0＝0，∴A′E⊥DB．
又∵·＝0＋1－1＝0，∴A′E⊥DE．
∵BD∩DE＝D，∴A′E⊥平面BDE．
(2)由(1)可知＝(－1,1，－1)为平面BDE的一个法向量，＝(，1，)，
∵·＝－1×＋1×1＋(－1)×＝0，
∴⊥．
又∵FG?平面BDE，∴FG∥平面BDE．
[点评] 本题中第一问证明了A′E⊥平面BDE，故为平面BDE的法向量，因此第二问要证明FG∥平面BDE，只需验证·＝0即可．
课件56张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章3.2 立体几何中的向量方法
第5课时 利用第三章1．理解空间中各种距离的概念．
2．掌握运用向量方法求各种空间距离．
重点：距离的基本概念，用向量法求两点间的距离和点到平面的距离．
难点：点到平面的距离．空间的距离
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我们知道空间的距离问题最终都要归结为两点间线段的长度，即向量的模，由此思考如何用向量来求点面距、线面距、面面距和异面直线间的距离？
新知导学
1．在几何学中，我们经常遇到要计算两个图形之间的距离．一般地，我们把一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的__________，叫做图形与图形的距离．
计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题．计算任何图形之间的距离都可以转化为求_______之间的距离．最小值两点两个几何元素上平面的法向量
牛刀小试
1．已知AB、BC、CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为( )
A．4 B．2
C．3 D．2
[答案] D2．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________________．两点间的距离(线段的长度)
[方法规律总结] 求两点间距离可转化为求向量的模．解题的关键是将所求向量用已知长度和夹角(尤其是垂直)的向量线性表示，然后按向量数量积运算法则计算．[解析] 如图建立坐标系，异面直线间的距离在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为__________________．点面距 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到平面AEC1F的距离为__________．线面距
第二步，建立联系，确定解题步骤．
由分析可知本题用坐标法通过向量运算解答较简便．先建系，求出各相关点坐标，然后利用线面平行与线面距的向量表示通过计算完成．
第三步，规范解答．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E、F分别为AB、BC的中点．求
(1)点D到平面PEF的距离；
(2)直线AC到平面PEF的距离．