九年级数学上册试题 4.3 相似多边形 -北师大版（含答案）

4.3 相似多边形
第一课时
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）．
①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列多边形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个菱形 D．两个正方形
3．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（ ）
A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
4．如图，正五边形与正五边形相似，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
6．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
7．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
8．在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
二、填空题
11．下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
12．如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______．
13．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______．
14．若四边形与四边形相似，与，与分别是对应边，，则________．
15．如图，四边形四边形，若，则________．
16．有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab= ___cm2
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
18．小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线，并且两条对角线长分别为和．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是_________．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EH的长度x．
20．网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．
(1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；
(2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
(3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ．
21．如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH．
(1)求的值；
(2)若，求矩形EFGH的面积．
22．如图，四边形四边形，且，，，，，．求、的大小和的长．
第二课时
一、单选题
1．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．1：2
C．3：2 D．：1
2．如图，矩形矩形，连结，延长分别交、于点、，延长、交于点，一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差 B．矩形和矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差 D．矩形和矩形的面积之差
3．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为cm的纸条、上下同时剪去宽为cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则与满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（ ）
A． B．2 C． D．
5．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
6．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）．
10．把正方形ABCD沿对角线AC的方向移动到A1B1C1D1的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD的面积的一半，若AC=，则平移的距离是________.
11．将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则的值为________.
12．我们通常用到的一种复印纸，整张称为纸（如图），按下图方式对折一分为二裁开成为纸（如图），再一分为二成为纸（如图）…它们都是相似的矩形，这些矩形的长与宽的比值都是一定值，这个定值是________．
13．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是_____．
14．已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形， ，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________．
三、解答题
15．如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1：4，其中小五边形的边长为（x2﹣4）cm，大五边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这这根铁丝的总长．
16．（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形”
问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）；
问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______；
（2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”．
问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）；
问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______；
问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示）
问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示）
（3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数）
问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示）
17．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2xm，
根据题意，得x·2x＝288.
解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，
所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)
答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.
结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？
(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．
第一课时答案
一、单选题
C.D．D．B．B．D．D．A．B．B．
二、填空题
11．1．
12．a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．
13．5：2；25：4．
14．．
15．103．
16．54．
17．
18．540
三、解答题
19．解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，解得x＝28．
在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．
故x＝28．
20．(1)
解：如图1，①即为所求．
(2)
解：如图2，②即为所求．
(3)
解：①的面积：
②的面积：
面积比：18:8=9:4
∴图形①的面积与图形②的面积最简整数比为9:4．
故答案为：9:4．
21．（1）
根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH．
∴，
∴，
整理，得2b＝a，
∴a：b＝2：1；
（2）
∵a＝4，2b＝a，
∴b＝2，
∴矩形EFGH的面积
＝EF HE
＝（120﹣2a） （60﹣2b）
＝（120﹣8）（60﹣4）
＝112×56
＝6272（米2）．
答：矩形EFGH的面积为6272米2．
22．解：∵四边形四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形四边形，
∴，∵，，
∴，解得．
∴．
第二课时答案
一、单选题
D．B．D．D．C．C．D．A．
二、填空题
9．=
10．-1.
11．．
12．．
13．．
14．（3n－1，0）．
三、解答题
15．∵相似五边形的面积比是1：4，
∴它们的相似比为1：2，
即（x2﹣4）：（x2+2x）=1：2，
整理得x2﹣2x﹣8=0，解得x1=4，x2=﹣2（舍去），
当x=4时，x2﹣4=12，x2+2x=24，
∴这根铁丝的总长=5×12+5×24=180（cm）．
16．解：（1）问题1：不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．
问题2：设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y．则：，解得（舍去）．
故答案为：，；
（2）问题3：设“减半矩形”的长和宽分别为m，c．则：，消元并化简得，；
∵，
∴方程没有实数根，故不存在；
故答案为：否；
问题4：设“减半矩形”的长和宽分别为a，b．则：，
解得，或（舍去）；
故答案为：2；
问题5：设“加倍矩形”的长和宽分别为d，e．则：，解得或（舍去）；
故答案为：；
问题6：设“减半矩形”的长和宽分别为f，g．则：，消元并化简得，；
∵，
解得， 或
故答案为： 或；
（3）问题7：设“k倍矩形”的长和宽分别为t，s．则：，消元并化简得，；
∵，
解得，
故答案为：；
17．解　(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：
设温室的宽为xm，则长为2xm.
则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.
∵＝＝2，
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；
(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要＝，即＝，
即＝，
即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，
∴a＋c＝2(b＋d)，
＝2.