北师大版九年级数学下册 1.3-1.4 三角函数的计算 解直角三角形 一课一练 （2课时、含答案）

1.3-1.4 三角函数的计算 解直角三角形
第一课时
一、单选题
1．下列计算错误的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．中，，a，b分别是、的对边，，运用计算器计算的度数（精确到）为（ ）
A． B． C． D．
3．用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．锐角满足，利用计算器求时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．在 Rt△ABC 中， C 90 ， AB 5 ， AC 4 ．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tan B B．cot B C．sin B D．cos B
6．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（　　）
A．msin40° B．mcos40° C． D．
7．在△ABC中，∠C=90°，以下条件不能解直角三角形的是（ ）
A．已知a与∠A B．已知a与c
C．已知∠A与∠B D．已知c与∠B
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　）
A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）
C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）
10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（　　）
A．18 B．25 C．32 D．36
二、填空题
11．计算：________，_______，_________．
12．用科学计算器计算：135×sin13°≈_____（结果精确到0.1）
13．运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是_________．
14．在中，、、所对的边分别为、、．
（1）若，，则______；
（2）若，，则______；
（3）若，，则______；
（4）若，，则______；
15．在中，，
（1）已知： ，则__，___，________；
（2）已知： ，则_______，_______；
（3）已知： ，则______，_______，________；
（4）已知： ，则_______．
16．在中，边上的高，则__________．
17．如图，菱形的边长为，，，则这个菱形的面积______.
18．如图，在四边形中，，，，，则线段AD的长为___________.
三、解答题
19．求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
20．计算
（1） （2）
（3） （4）
21．在Rt中，．
（1）已知，c，写出解Rt的过程；
（2）已知，a，写出解Rt的过程；
（3）已知a，c，写出解Rt的过程．
22．如图，在中，是BC边上的高，，，．
（1）求线段的长度：
（2）求的值．
23．如图，菱形的边长为15，对角线交于点，．
（1）求的长；
（2）求的值．
24．如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
第二课时
一、单选题
1．下列式子错误的是（　　）
A．cos40°=sin50° B．tan15° tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°
2．用科学记算器算得①293=24389；②≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tana=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（　　）
A． B． C．1 D．
5．如图，等腰三角形ABC中，，，D为AC上一点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
8．图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，连接，使得．若，则有下面四个结论：①；②；③F到的距离为；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．已知α是锐角，且2cosα=1，则α=______；若tan(α+15°)=1，则tanα=______.
10．计算：sin45°+tan60° tan30°﹣cos60°=_____．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点．
（1）若，则CD的长为__________；
（2）若，则tan∠ACD的值为__________．
12．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=______．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，，则AC的长为__________．
14．如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线ACBD交于点O，点E是边CD上方一点，且∠CED＝90°，若DE＝2，则EO的长为 _______.
三、解答题
15．计算：
（1） （2）．
16．计算或化简：
(1)cos30°+sin45°; (2)·tan 30°;
(3)(sin60°+cos 45°)(sin 60°－cos 45°);
(4)6tan2 30°－sin 60°－2sin 45°．
17．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求的值：
（2）若，求的长．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD=，AD⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值．
（2）若∠BCD=120°，求CD的长．
19．如图，中，是中点，过点作直线的垂线，垂足为点．
求的值．
连接求四边形的面积．
20．在中，，，为锐角且．
(1)求的面积；
(2)求的值；
(3)求的值．
21．如图，Rt△ABC中，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE．使，连接CE．则：
(1)求证：；
(2)若，求证：．
22．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad＝　 　；
(2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值；
(3)如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值．
第一课时答案
一、单选题
C.B．B．C.C．C．C．A.B．D．
二、填空题
11．1，1，1.
12．301165.0．
13．-1
14．
15． 45° 45° 6 8 12 60° 45°
16．．
17．60.
18．．
三、解答题
19．解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
20．（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
；
（3）原式，
，
，
，
；
（4）原式，
，
，
．
21．解：（1），
；
，，
，；
（2），
；
，，
，；
（3），
，
，
求出的度数，
则．
22．解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵sinB=，AD=12，
∴AB=15，
∴BD=，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5；
（2）由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC=，
∴cosC=．
23．解：（1）∵四边形是菱形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）在中，，，
∴．
24．（1）
解：∵在Rt△ABC中，AC=30，
∴cosA=，解得：AB=50.
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD==25．
（2）
解：在Rt△ABC中，.
又∵AD=BD=CD=25，设DE=x，EB=y，则
在Rt△BDE中，①，
在Rt△BCE中，②，
联立①②，解得x=7
∴．
第二课时答案
一、单选题
D．A．C．D．A.D.B．B．
二、填空题
9． 60°
10．．
11． 2
12．．
13．8．
14．．
三、解答题
15．（1）原式，
，
，
，
；
（2）原式，
，
，
，
．
16．（1）原式==+1=；
（2）原式===；
（3）原式=sin260°-cos245°=（）2-（）2=-=；
（4）原式=6×（）2--2×=2－=－．
17．（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴∠B=∠DCB,
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
18．解：（1）作DE⊥AB于E，设AE=a．
在Rt△ADE中，∵∠A=60°，AE=a，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2a，DE=a，
∵AD：AB=2：3，
∴AB=3a，EB=2a，
在Rt△DEB中，（a）2+（2a）2=（）2，
解得a=1，
∴DE=，BE=2，
∴sin∠ABD=．
（2）CF⊥DE于F．
∵CB⊥AB，CF⊥DE，
∴∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°，
∴四边形CFEB是矩形，
∴CF=EB=2，BC=EF，
∵∠DCB=120°，∠FCB=90°，
∴∠DCF=30°，
∴DF=CF tan30°=，
∴CD=2DF=．
19．在中，
而，，
是中点，
；
在中，，
，
是中点，
，
即，
在中， ；
在中，，
是中点，
，
20．（1）
解：过点作，垂足为，
∴，
∵为锐角且，
∴，
∴，
∴，
∴，
在，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴的面积为．
（2）
∵，，
∴，
在中，
．
∴的值为．
（3）
在中，，，
∴．
∴的值为．
21．（1）
∵，点D是边BC的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）
如图，过点E作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，DE=DE，
∴，
∴，
∴，即．
22．（1）
解：顶角为的等腰三角形是等边三角形，
∴＝底边÷腰．
故答案为：1．
（2）
如图②所示：
作于点，
中，
即
（3）
∵
设则．
∴
如图③所示，在上截取，作于点，
∵Rt中，
∴．
即．