北师大版九年级数学下册 1.5--1.6 三角函数的应用 利用三角函数测高 一课一练（2课时、含答案）

1.5--1.6 三角函数的应用 利用三角函数测高
第一课时
一、单选题
1．如图，在坡角为a的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，，则这两棵树之间的坡面AB的长为（ ）
A．1m B．9m C． D．
2．已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（ ）
A．米 B．20米 C．米 D．米
3．如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．m C．8m D．4m
4．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP=6千米，则AB两点的距离为（ ）千米．
A．4 B． C．2 D．6
5．小艺同学在数学实践活动中测量树的高度，如图，她站在A处看树顶端B的仰角为35°，眼睛到地面的距离CA为1.6米,点A到树的距离AD为7米，则树的高BD为（　　）（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
A．4.9米 B．5.8米 C．6.5米 D．7.2米
6．某游乐场一个不等臂跷跷板AB长 5.6 米，支撑柱 OH 垂直地面，如图 1，当 AB的一端A着地时，AB与地面的夹角的正切值为；如图2，当AB 的另一端 B 着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，则支撑柱 OH的长为（ ）
A．0.4 米 B．0.8 米 C．米 D．1.2 米
7．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
9．如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（　　）
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
10．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为（ ）
A．米 B．米 C．8米 D．10米
二、填空题
11．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m．
12．如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = ______米；
13．某飞机在离地面米的上空测得地面控制点的俯角为，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是________米．
14．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为_____海里．（结果保留根号）
15．如图，河对岸有古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔走s米到达D，在D处测得塔顶A的仰角为β，则塔高是______米．
16．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则风车叶片转动时，叶片外端离地面的最大高度等于____米．
17．东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面的A处测得在C处的游艇俯角为；他登高到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为，则两次观测期间游艇前进了___________米．（结果精确到，参考数据：）
18．如图1是劳动课上同学们组装的一个智能机器臂．水平操作台为l，底座AB固定，，AB长度为24cm，连杆BC长度为30cm，手臂CD长度为28cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．如图2，转动连杆BC和手臂CD，当，时，端点D离操作台l的高度DE为______cm．
三、解答题
19．如图，无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为60 、45 ，如果无人机距地面高度米，点、、在同水平直线上，求、两点间的距离．（结果保留根号）
20．手机软件SmartMeasure（智能测量）是一款非常有创意且实用性很高的数码测距工具．如图，测量者AB使用SmartMeasure测量一棵大树的高，软件显示，，，请你根据数学知识求出大树的高．（结果可保留根号）（为了计算方便，约定，，）
21．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：
(1)坝底AB的长；
(2)坡BC的长；
(3)迎水坡BC的坡度．
22．如图，花城广场对岸有广州塔AB，小明同学站在花城广场的C处看塔顶点A的仰角为32°，向塔前进360米到达点D，在D处看塔顶A的仰角为45°．
(1)求广州塔AB的高度（sin32°≈0．530，cos32°≈0．848，tan32°≈0．625）；
(2)一架无人机从广州塔顶点A出发，沿水平方向AF飞行300米到处，求此时从处看点D的俯角的正切值．
第二课时
一、单选题
1．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点的距离是4米，折断部分与地面成的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆﹣﹣行千里，致广大”竖直标语牌CD．他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，坡度为i＝1：，则标语牌CD的长为（ ）m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
A．4.3 B．4.5 C．6.3 D．7.8
4．如图把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交成角α，则重叠部分的周长为（　　）
A．12tanα B．12sinα C． D．
5．如图，小明想测量斜坡旁一棵垂直于地面的树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，斜坡顶点到地面的垂直高度，则树的高度是（ ）
A．20 B．30 C．30 D．40
6．如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，，箱高米，当米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
A． B．
C． D．
7．如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若，则矩形ABCD的周长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（ ）
A．（a＋b）米 B．（a＋b）米
C．（a＋b）米 D．（a＋b）米
9．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM的仰角α＝37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头的相关数据如图2，则线段CH长是（ ）（参考数据：，，）
A．9 B．8 C．10 D．11
10．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少次操作（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是，向前走到达点，测得杆顶端点和杆底端点的仰角分别是和．则该电线杆的高度是__________（结果可保留根号）．
12．小超在周末利用无人机测量滨湖广场上风帆的高度．如图所示，无人机在距离地面米的处测得处的俯角为，处的俯角为，若斜面的坡度为，则风帆的高是________米．
13．如图1为某智能洗拖一体扫地机，它正常工作及待机充电时的示意图如图2所示，四边形ABCD为它的手柄，OE为支撑杆，OM为拖把支架，且点O始终在AB的延长线上，当待机时，，已知，，，，则______cm；OE绕点O逆时针旋转一定角度，机器开始工作，当，，M在同一直线上时，点A，B分别绕O点旋转到点，，且高度分别下降了21.6cm和18cm，则此时点到OM距离为______cm．
14．三折伞是我们生活中常用的一种伞，三折伞的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2-9）转动：图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，．
（1）若关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，则______．
（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，，则点H到伞柄距离是________（结果精确到）．（参考数据：）
15．如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底和堤坝段均与水平面平行，为中点，米，米．某时刻甲塔顶的影子恰好落在斜坡底端处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点处，发现点，，三点共线，并在处测得甲塔底和乙塔顶的仰角均为，则塔高的长为______米；若小章继续向右行驶10米至点，且在处测得甲、乙两塔顶，的仰角均为．若点，，，在同一水平线上，，则甲、乙两塔顶，的距离为______米．（参考数据：，，，）
16．如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥BC，DF＝8厘米，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，tan∠PMG＝，且点D在NM的延长线上，则GF的长为__________厘米；使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2厘米，则压杆MN到底座AB的距离为__________厘米．
三、解答题
17．如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16）
（1）观景台的高度CE为　 　米（结果保留准确值）；
（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．
18．为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°，坡长为60 米的斜坡AB进行改造，在斜坡中点D 处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE 的坡角为36°，则平台DE的长约为多少米？
（2）在距离坡角A点27米远的G处是商场主楼，小明在D点测得主楼顶部H 的仰角为30°，那么主楼GH高约为多少米？
（结果取整数，参考数据：sin 36°＝0．6，cos 36°＝0．8，tan 36°＝0．7，＝1．7）
19．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶的仰角为76°．求：
(1)坡顶A到地面的距离；
(2)网络信号塔的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，）
20．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
第一课时答案
一、单选题
C．A.D．D.C．D．A．C．C．A．
二、填空题
11．50
12．80
13．6000.
14．40．
15．
16．（10+）．
17．36
18．．
三、解答题
19．∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在中，∵=，
∴AD==100，
在中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100(1+)．
答：A、B两点间的距离为100(1+)米．
20．解：过点作，垂足为，
在中，
，
，
，
在中，
，
答：的高度为．
21．（1）
解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，
根据题意有：，，∠B=30°，
∵，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CF=DE，EF=CD，
∵CF=4.5，CD=2.5，
∴CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，
∵CF=4.5，CD=2.5，∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，
∴，AE=1.2DE=5.4，
∴AB=BF+EF+AE=+2.5+5.4=+7.9（米），
故坝底AB的长为：米；
（2）
∵∠B=30°，CF=4.5，
∴（米），
即坡BC长为9米；
（3）
∵CF=4.5，，
∴迎水坡BC的坡度为：，
故答案为：．
22．（1）
解：设广州塔AB的高度为x米，
∵∠ADB=45°，∠ABD=90°，
∴∠DAB=45°，
∴∠ADB=∠DAB，
∴BD=AB=x，
∴BC=360+x，
∵∠ACB=32°，
tan∠ACB=，
∴，
解得，x=600（米），
答：广州塔AB的高度约为600米；
（2）
解：过D作DH⊥AF于H，
则四边形ABDH是矩形，
∵∠ADB=45°，
∴BD=AB，
∴四边形ABDH是正方形，
∴AH=HD=AB=600米，∠AHD=90°，
∵=300，
∴=AH-=300（米），
∴tan= =2，
答：此时从处看点D的俯角的正切值为2．
第二课时答案
一、单选题
C．B．D．C．C．C．B．A．C．A．
二、填空题
11．
12．10．
13．10；89．
14． 23 69.8
15． 17
16．3；（1+）．
三、解答题
17．（1）∵tan∠CDE＝
∴CD＝3CE．
又CD＝100米，
∴100＝
∴CE＝10 ．
故答案是：10．
（2）作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形．
∴CE＝BF＝10，CF＝BE．
在直角△ADB中，∠DB＝45°．设AB＝BD＝x米．
∵＝ ，
∴DE＝30．
在直角△ACF中，∠ACF＝37°，tan∠ACF
解得x≈411．
答：瀑布的落差约为411米．
18．解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）为36°，
∴∠BEF=36°，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=BD=15，DF=15，EF==，
∴DE=DF-EF=15-≈4（米）；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，PA=AD cos30°=×30=15，
在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，
在Rt△DMH中，HM=DM tan30°=×（15+27）=15+9，
∴GH=HM+MG=15+15+9≈45米．
答：建筑物GH高约为45米．
19．（1）
如图，过点A作，垂足为点，
∵斜坡的坡度为，
∴，
设米，则米，由勾股定理，得：米，
∴，解得，
∴米，
答：坡顶A到地面的距离为10米；
（2）
延长交于点，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，米，．
∵，
∴．
设米，
由（1）可求出米，
∴，即，
∴米，
在中，，即．
解得．
答：网络信号塔的高度约为18.7米．
20．（1）
解：如图
由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt ACE中，tanα= ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
（2）
由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴ ABF~ EDF，
此时
即①，
∵AB∥GC
∴ ABH~ GCH，
此时，
②
联立①②得
，
解得：
答：灯杆AB的高度为3.8米