重庆市开州区2022-2023学年高二下学期期末模拟（2）数学试题（含解析）

重庆市开州区2022-2023学年高二下学期期末模拟（2）数学试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1、假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为，，其列联表如下，则选项中各组数据最有可能说明“X与Y有关系”的是( )
总计
a b
c d
总计
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
2、在展开式中，下列说法错误的是( )
A.常数项为-160 B.第4项的系数最大
C.第4项的二项式系数最大 D.所有项的系数和为1
3、2023年2月10日，神舟十五号三位航天员完成出舱活动全部既定任务，中国空间站全面建成后的首次出舱活动取得圆满成功.该航天科研所的甲 乙 丙 丁 戊5位科学家应邀去A,B,C三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲 乙到同一所学校，丙不到A学校，则不同的安排方式有多少种( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.30种
4、已知函数在点处的切线方程是，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5、已知一系列样本点（，2，3，…，n）的回归直线方程为，若样本点与的残差相同，则有( )
A. B. C. D.
6、已知随机变量，且，则的最小值为( )
A.9 B.8 C. D.6
7、若函数在区间上不单调，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.不存在这样的实数k
8、已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题分，共20分）
9、下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A.抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B.有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D.某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X
10、对于二项式，下列说法正确的是( )
A.存在，展开式中有常数项
B.对任意的，展开式中没有常数项
C.对任意的，展开式中没有x的一次项
D.存在，展开式中有x的一次项
11、一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12、设函数，若是函数的两个极值点，则下列结论正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
三、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知随机变量，且，，则_____
14、已知，则__________
15、有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2、3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1台车床加工的概率为___________
16、是上可导的奇函数, 是的导函数.已知时, 不等式的解集为,则在上的零点的个数为__________
四、解答题（第17题10分，其余各小题每题12分，共70分）
17、已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间及极值.
18、某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率直方图.
（1）估算该校50名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）求这50名学生成绩在的人数；
（3）现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名（从高到低）在全市前230名的人数记为X，求X的概率分布和均值.
参考数据：，则，，.
19、一只红玲虫的产卵数y和温度t有关．现收集了7组观测数据如表：
温度t/℃ 21 23 25 27 29 32 35
产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了y与t的两个回归模型．模型①：先建立y与t的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为u与t的线性回归方程：；模型②：先建立y与t的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为y与x的线性回归方程：．
（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40°时产卵数的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
（参考数据：模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，）
20、已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
21、近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的出行方式.某共享单车公司为了更 好地服务用户,在其官方APP中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对该公司的车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中较为详细的评价信息里随机选出200条进行统计,车辆状况和优惠活动评价的2×2列联表如下:
对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计
对车辆状况好评 100 30 130
对车辆状况不满意 40 30 70
合计 140 60 200
1.能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为对优惠活动好评与对车辆状况好评有关系？
2.为了回馈用户，该公司通过APP向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过 APP转赠给好友.某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券.现该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，求选取的2张中至少有1张是一元券的概率.
参考数据：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参数公式: ,其中.
22、已知函数，.
（I）设，求函数的极大值点；
（II）若对，不等式恒成立，求m的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：比较各选项中的值，A中，；B中，；C中，；D中，，故选C.
2、答案： B
解析：展开式的通项为：；
对于A，令，解得：，常数项为，A正确；
对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为0,2,4,6，
则，，，，
展开式第5项的系数最大， B错误；
对于C，展开式共有7项，则第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.故选B.
3、答案：B
解析：根据题意, 分 3 种情况讨论:
① 5 人分为3、1、1 的三组, 且甲乙丙三人在一 组，有种安排方法;
②5 人分为 3、1、1 的三组, 且甲乙和丁或戊中 的 1 人在一组, 有 种安排方法;
③5 人分为 2、2、1的三组, 且甲乙在一组, 有 种安排方法;
则有 种安排方法.
故选: B.
4、答案：C
解析：由函数的图象在点处的切线方程是，得，.由，得，则.
5、答案：D
解析：
6、答案：B
解析：由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
故选：B.
7、答案：B
解析：由题意得，在区间上至少有一个实数根，
又的根为，且在或两侧异号，
而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，
或，
或，故A，C，D错误.
故选：B.
8、答案：C
解析：函数，不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，即的解集中恰有两个不同的正整数解，即恰有两个不同的正整数解，令，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，，，，画出函数和的图象如图所示，要使恰有两个不同的正整数解，即1和2，则需满足，即， 解得，即.
9、答案：CD
解析：AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意；
CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布.
故选：CD.
10、答案：AD
解析：二项式展开式的通项，当时，，即存在，展开式中有常数项，故A项正确，B项错误；
当时，，即存在使得展开式中有x的一次项，故C项错误，D项正确.
11、答案：AB
解析：由题得，，
根据条件概率公式，得.
，故A，B正确.
对选项C，，
所以，
故C错误.
对选项D，，
，故D错误.
故选：AB.
12、答案：CD
解析：依题意，
则，令，
由题意知，解得.依题意，，是的两个零点，
所以（*）
且①+②，得③，将（*）代入③，化简得（**）.
所以
④，
将（*）、（**）代入④，得.由于，所以当、、时，，，，故A、B错误，C正确.当时，，，，故D正确.
13、答案：0.15
解析：由题意知，所以，所以.
14、答案：132
解析：令，则，
则可转化为：
，
即，
所以，
所以，
故答案为：132.
15、答案：
解析：记为事件“零件为第i（）台车床加工，B为事件“任取一个零件为次品”，则，，，
所以
所以.
故答案为：.
16、答案：2
解析：令,则,
又∵时, ,
∴,在上单调递增,
又∵,
∴,不等式等价于,即, ,
解得,故,
又∵,
故在区间内的零点为,即2个零点,故答案为
17、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)因为，所以，
，
切线方程为，即；
(2)，所以当或时，，
当时，，所以函数的单调增区间是，单调减区间是和，
极大值为，极小值为.
18、答案：（1）68.2
（2）10
（3）分布列见解析，
解析：（1）.
（2）成绩在的人数为.
（3），，，
，，
全市前230名的成绩需在90分以上，
而50人中90分以上的人数为，所以X的可能取值为0，1，2，
故，，，
则X的概率分布为：
X 0 1 2
P
.
19、答案：解：（1）对于模型①，当时，，
由可得，
即根据模型①，可预测1只红玲虫在时产卵1131个．
对于模型②，当时，，．
即根据模型②，可预测1只红玲虫在时产卵385个．
（2）因为，且，
∴模型①得到的预测值更可靠．
解析：
20、答案： (1) 极大值,极小值(2)
解析：(1)当
单调递增，
函数单调递减，
函数单调递增，
的极大值，极小值.
(2)，
令解得或，
当时，有，
从而，
又函数在处取得极小值，
对恒成立，
解得，
的取值范围
21、答案：(1) 不能(2)
解析：(1)由2×2列联表的数据，得的观测值.
因此,在犯错误的概率不超过0.001的前提下,不能认为对优惠活动好评与对车辆状况好评有关系.
(2)把2张一元劵分别记作，其余3张劵分别记为,则从5张骑行劵中随机选取两张的所有情况: ,共10种.
即“选取的2张中至少有1张是一元劵”为事件M,则事件M包含的基本事件个数为7，所以,所以该用户从5张骑行劵中随机选取2张转赠给好友,选取的2张中至少有一张是一元劵的概率为.
22、答案：（I）
（II）
解析：（I），则，令，得.
由余弦曲线知，当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减，所以在处有极大值，故的极大值点为.
（II）当时及时，不等式显然恒成立，.
当，由不等式恒成立，得.
令，，则.
令，，则，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，因为当时，，所以当时，恒成立，因为对恒成立，所以，因此m的取值范围为.
综上知，m的取值范围为.