天津市滨海实验学校2022-2023学年高一下学期6月第二次质量调查
(数学)试卷
满分:150分 时长:100分钟
第I卷(选择题)
一、单选题(共60分,每题5分)
1.复数的虚部为( )
A.1 B.-1 C. D.
2.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验,发现正面朝上出现了560次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A.0.56,0.56 B.0.56,0.5
C.0.5,0.5 D.0.5,0.56
3.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )
A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是棱锥 D.④不是棱柱
4.数据7.0,8.2,8.3,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为( )
A.8.2 B.8.24 C.8.25 D.8.3
5.已知互不重合的直线m,n,互不重合的平面,,,下列命题错误的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
6.如图,在平行四边形ABCD中,下列计算结果错误的是( )
A. B.
C. D.
7.已知为实数,若复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍,若该圆锥的体积为,则该圆锥的母线长为( )
A.3 B. C.6 D.
9.经过计算,某统计小组得到三组数据(每组数据均由10个数组成,每个数对应运动员一次百米短跑的时间,单位:s)对应的平均数与方差:第一组数据的平均数和方差分别为12,8,第二组数据的平均数和方差分别为15,10,第三组数据的平均数和方差分别为14,16.下列结论正确的是( )
A.从数据的波动情况看,第三组数据的波动最小
B.从数据的平均水平看,第二组数据的成绩最好
C.从数据的波动情况看,第一组数据的波动最大
D.从数据的平均水平看,第一组数据的成绩最好
10.某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况,整理数据得到如下折线图.根据折线图,下列结论正确的是( )
A.这8天里,每天图书借出数的极差大于50
B.这8天里,每天图书借出数的平均数大于105
C.这8天里,每天图书借出数的中位数大于101
D.前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差
11.已知中,设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,的面积为S,若,则的值为( )
A. B. C.1 D.2
12.在四棱锥 中,底面ABCD是矩形,,,平面平面ABCD,点M在线段PC上运动(不含端点),则下列说法正确的个数为( )
①存在点M使得
②四棱锥外接球的表面积为
③直线PC与直线AD所成角为
④当动点M到直线BD的距离最小时,过点A,D,M作截面交PB于点N,则四棱锥的体积是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第II卷(非选择题)
二、填空题(共30分,每题5分)
13.已知数(i为虚数单位),且的共轭复数为,则__________.
14.已知非零向量,满足,且向量在向量方向的投影向量是,则向量与的夹角是________.
15.甲、乙两人各进行一次投篮,两人投中的概率分别为0.8,0.5,已知两人的投中互为独立事件,则两人中至少有一个人投中的概率为__________.
16.在正三棱锥中,,则该三棱锥外接球的表面积为______.
17.如图,在中,已知,,,点D,E分别在边AB,AC上,且,点F为线段DE上的动点,则的取值范围是________.
18.某校为落实党的二十大精神,开展了形式灵活的学习活动,统计了全校教师在一周内学习的累计时长(单位:小时),根据时长数据得到下面的频率分布直方图,则__________;估计该校教师学习累计时长的平均值为__________.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
三、解答题(共60分)
19.袋中有大小、形状相同的白球、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(2)若摸到白球时得1分,摸到黑球时得2分,求3次摸球所得总分大于4分的概率.
20.如图,正方体的棱长为1,点G,H分别为,中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面.
21.已知的角A,B,C所对的边分别为a,b,c且,.
(1)若,求、的值;
(2)若的面积,求b,c的值.
22.四棱锥的底面ABCD是边长为a的菱形,面ABCD,,E分别是CD的中点.
(1)求证:平面PAB;
(2)M是PB上的动点,EM与平面PAB所成的最大角为45°,求的值.
参考答案:
ABCDC BDCDC BC
13. 14. 15.0.9/ 16. 17. 18.0.100 9.6
19.(1)一共有8种不同的结果,列举如下:
(白、白、白)、(白、白、黑)、(白、黑、白)、(白、黑、黑)、(黑、白、白)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)、(黑、黑、黑)
(2)本题是一个等可能事件的概率
记"3次摸球所得总分大于4分"为事件A
事件A包含的基本事件为:(黑、黑、黑)、(白、黑、黑)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)事件A包含的基本事件数为4
由(1)可知,基本事件总数为8,
∴事件A的概率为.
20.(1)点分别为中点,
∴.
∵平面,
平面.
∴平面.
(2)连接,在正方体中,,
又∵平面,∴.
∵,∴平面.
在平面中,易得,
∴平面.
21.(1)∵,且,∴.
由正弦定理得,∴.
(2)∵,∴.
由余弦定理得,∴.
22.解:(1)如图,连接AC.
由题意,四边形ABCD是边长为a的菱形,,
∴都是等边三角形,
又∵为CD的中点,
故,.
故.
又平面,面
故
又,
故EA平面PAB;
(2)连结AM,
则根据(1)平面PAB可知为直线EM与平面PAB所成的线面角,
所以在中,,
所以当AM最小,即时,P取得最大值,
此时,
设,则有,解得.
即,即.