北师大版数学九年级下册第二章二次函数——抛物线中特殊三角形存在性问题方案设计

抛物线中特殊三角形存在性问题方案设计
教学设计思路分析
二次函数与几何问题的综合是二次函数相关问题中的重要内容，尤其是特殊三角形的存在性问题，是之后抛物线问题的基础问题，因此这节课起到了承上启下的作用。
学生在此之前已经学习了特殊三角形（直角三角形、等腰三角形）的基本性质，学习了抛物线解析式的求法，抛物线的性质等基本内容，因此这节课的学习是学生对数学知识的实际应用，是一种知识内化和迁移。
本节课的基本流程为：预备知识学习----抛物线中直角三角形存在性问题分析----知识迁移（抛物线中等腰三角形存在性问题分析）
教案设计
教学目标
知识与技能：学生通过解决抛物线中直角三角形的存在性问题，能够掌握解决问题的基本方法，从而能够解决此类所有问题
过程与方法：首先通过预备知识的学习，了解本节课解决问题的基本手段，并能够及时应用到实践教学，从而获得知识的内化
情感态度价值观：解决问题，收获知识，体会数学学习的快乐
教学重难点
重点：利用几何问题数学化的方法解决抛物线中特殊三角形的存在性问题
难点：几何问题代数化
思想方法
数形结合、化归转化
教学过程
预备知识
已知，如图所示，在平面直角坐标系中，点A（2,3），点B（6,5），
求线段AB 的长
(
C
) 问题分析：已学过的求一条线段长度的基本方法是构造直角三角形，
然后利用勾股定理求解。
解：构造如图所示的直角三角形，其中∠ACB=90°
其中AC=4 BC=2
在Rt△ABC中，
拓展：若，求线段AB 的长
在Rt△ABC中，
教师：我们学习的是一种方法，上述公式，在选择填空题中可以直接运用。现场出题请学生运用。
(
x
o
A
y
)3.如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3,1），在坐标轴上找一点B，使得△OAB为等腰三角形，并求出点B的坐标.
分析：题目中的要求“在坐标轴上找一点”，坐标轴有轴、轴，
因此本题必然有多个点；其次△OAB的三条边分别为OA、OB、AB，
若△OAB为等腰三角形则分一下三种情况
①OA=OB；以O为圆心，OA为半径做圆与坐标轴交点，有4个
②OA=AB；以A为圆心，OA为半径做圆与坐标轴交点，有2个
③OB=AB；线段AB的垂直平分线与坐标轴交点，有2个
通过作图可以知道满足条件的B点有8个，有关这八个点的坐标
请同学们在课下完成。提示：先求出OA的长度，由对称性计算
4.抛物线中特殊三角形存在性问题
例题：如图，已知抛物线交轴于A、C两点，交轴于点B.
（1）在抛物线对称轴上，是否存在一点D，使得△ABD为直角三角形.若不存在，请说明理由；若存在，请求出D点坐标
分析：题目要求在抛物线的对称轴上找一点D，因此需要先求出抛物线的对称轴，其次△ABD为直角三角形，在直角三角形中能够解决边的关系的等式最基本的方法为“勾股定理”
(
E
) (
D
)运用勾股定理的前提是明确斜边和直角边，题目只要求
△ABD为直角三角形，但并未指明直角边和斜边，因此本题需要分类讨论，分类的标准为A、B、D中那个为直角顶点。
(
F
) 解：
①当角∠ABD=90°的时候，AD为斜边，
可求得t=，此时D（1,）
②当角∠BAD=90°的时候，BD为斜边，
可求得t=，此时D（1,）
③当角∠BDA=90°的时候，AB为斜边，
可求得，此时D（1,2）、D（1,1）
（1,）、（1,）、（1,2）、（1,1）
（2）在抛物线对称轴上，是否存在一点D，使得△ABD为等腰三角形.若不存在，请说明理由；若存在，请求出D点坐标
拓展：在抛物线对称轴上，是否存在一点M，使得△ABM为等腰直角三角形.若不存在，请说明理由；若存在，请求出M点坐标
小结：抛物线中特殊三角形的存在性问题，解决问题的本质思路是表达出各边的平方，通过画图先找到点的位置，给自己一个示意图，以便从中找到等量关系，然后把几何问题转化为代数问题解决
作业：自己完成思考拓展
反思：这节课上完，50%的同学都能掌握解决问题的方法，剩下的只是计算问题。同时这节课，同学们主要是掌握了一种解决此类问题的方法。