19.1.2矩形的判定能力提升练习（含解析）华东师大版数学八年级下册

矩形的判定
能力提升练习
一、单选题
1．下列说法中错误的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．工人师傅检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线是否相等 B．测量一组邻边是否相等
C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量门框的三个角是否都是直角
3．证明：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图，．
求证：四边形是矩形．嘉琪的证明过程如下：
证明：∵，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形（①）．
∵，
∴四边形是矩形（②）．
在证明过程中，依据①、②分别表示（ ）
在证明过程中，依据①、②分别表示（ ）
A．①表示两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②表示对角线相等的平行四边形是矩形
B．①表示两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．①表示两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．①表示两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②表示对角线相等的平行四边形是矩形
4．如图是甲、乙两张完全相同的三角形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的矩形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
5．如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在中，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　）
A．5 B．4.8 C．1.2 D．2.4
8．如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是( )
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形
B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形
D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
11．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（ ）
A．4 B．3 C．5 D．
12．如图，已知在矩形中，，M为对角线上的一动点，于点E，于点接F，连接．若，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
13．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　）
A．矩形的面积 B．的度数
C．四边形的周长 D．的长度
二、填空题
14．如图，在平行四边形ABCD中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．
15．如图，点A在函数的图象上，过A作轴，与的图象交于点B，点C、D在x轴上，若，则四边形的面积为_______．
16．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为__________．
17．已知矩形，点在边上，，连接，点在边上，连接，平分，若，，，则的面积是___________．
18．如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为______．
三、解答题
19．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．若，两点同时出发．
(1)当四边形为矩形时，求的值．
(2)若，求的值；
20．如图，已知 ，延长到，使，连接，，，若．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
21．如图，四边形是平行四边形，过点D作于点E，点F在边上，，连接 ，
(1)求证：四边形是矩形
(2)若是的平分线.若，，求的长
22．如图，是的中线，，交于点F，且
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)当、之间满足什么条件时，四边形是矩形；
23．如图1，平行四边形ABCD中，连接，过点作于，点在上且，连接，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)如图2，连接、、，当时，在不添加辅助线和字母的情况下，直接写出图中的所有等腰三角形．
参考答案
1．C
解：根据正方形、菱形、平行四边形的定义知A、B、D正确；
一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，选项C错误．
故选：C．
2．D
解：由对角线相等的四边形不一定是矩形，故A不符合题意；
由一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故B不符合题意；
由两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；
由三个角都是直角的四边形是矩形，故D符合题意．
故选D．
3．C
解：由，，推出四边形是平行四边形的依据是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
由推出四边形是矩形的依据是：有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故选：C．
4．A
解：所做图形如图所示：
甲乙够可以拼成一个与原来面积相等的矩形，
故选：A．
5．D
解：当时，由题意可知，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵,
∴四边形是矩形，
故选：D
6．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，BC//AD，AB//CD
∵DE=AD
∴BC=DE
∵BC//AD
∴BC//DE
∴四边形DBCE是平行四边形
当AB=BE时，则由AB=CD得BE=CD，即四边形DBCE的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形DBCE是矩形，故A不符合题意；
当CE⊥DE时或时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE是矩形，故B、C不符合题意；
当时，则由AB//CD，可知BE⊥CD，即的对角线相互垂直，则四边形是菱形，但不能判定它是矩形，故D符合题意．
故选：D．
7．B
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分，
∵M是的中点，
∴M为的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
∴当时，，
∴最短时，
∴当最短时，．
故选：B．
8．D
解：共可以画出以下4个格点矩形：
故选：D．
9．A
解：∵，，
∴AB∥CD，
∵，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵，
∴四边形ABDC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴，AD=BC，AB=CD，AC=BD，
故正确结论有4个，
故选：A．
10．C
解：∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H，
∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG；
∵DE∥AC．
∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG．
∴EC＝EG；
同理：HE＝EC，
∴HE＝EC＝EG＝HG；
若CH∥BG，
∴∠HCG＝∠BGC＝90°，
∴∠EGB＝∠EBG，
∴BE＝EG，
∴BE＝EG＝HE＝EC，
∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，
∴CHBG是矩形；
故A正确；
若BE＝CE，
∴BE＝CE＝HE＝EG，
∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，
∴CHBG是矩形，
故B正确；
若HE＝EC，则不可以证明四边形BHCG为平行四边形，
故C错误；
若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，
∴CE＝2.5，
故D正确．
故选C．
11．B
解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQA=∠FQD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC，
∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形，
∴AB=FQ=DC=4，QD=CF，
由题意得：AE=CF，
∴AE=QD，
∵ADBC，
∴∠QEF=∠BFE=45°，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EQ=FQ=4，
∴AE=QD=×（10-4）=3，
故选：B．
12．D
解：如图，连接．
∵，
∴设，则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，即，
解得：（舍去负值），
∴，．
∵于点E，于点接F，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知：当时，最小，即此时为边上的高，
∵，
∴，即，
解得：．
∴最小值为．
故选D．
13．A
解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
，
四边形、四边形是矩形，
设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，，
，，，，
，
矩形和矩形的周长已知，
和为定值，
为定值，
为定值，
，
当已知时，四边形的面积即为定值，
故选：A．
14．60
解：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：60．
15．2
解：如图，延长交y轴于E，过A点作轴于M，作轴于N，
∴四边形、四边形、四边形均为矩形．
∵轴，，
∴四边形为平行四边形，
∴平行四边形的面积等于矩形的面积．
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为2．
故答案为：2．
16．
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴△AHC是等腰直角三角形，AH＝HC＝，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
过点C作CN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠CKE＝∠KEN＝∠ENC＝90°，
∴四边形CKEN是矩形，
∴CK＝EN＝BF，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，AN和AC重合，AN最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故答案为：
17．
解：如图，过点作于，
设，则，，
平分，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，，
，
（负值舍去），
，，，，
，，
，
，
故答案为：．
18．
解：如图所示，过点A作于H，连接，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当与重合时，有最小值，
故答案为：．
19．(1)
(2)或
（1）解：∵ ，
∴，
由题意得，，
∴，
∵四边形APQD为矩形，
∴，
∴，
解得；
（2）解：如图2所示，作于点N，作于点H，则四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3所示，作于点E，作于点F，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，t的值为或．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
21．(1)证明见解析；
(2)16
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
(3)时四边形是矩形，理由见详解；
（1）证明：∵，
∴，
在与中，
∴；
（2）证明：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：当时四边形是矩形，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
23．(1)证明见解析
(2)，，，
解：（1）∵平行四边形ABCD中，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∴四边形是矩形．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴是等腰三角形，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中的等腰三角形有：，，，．