江苏省南京市重点中学2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷（含解析）

南京市重点中学2022-2023学年高二下学期期末联考
数学试卷
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，2，3，，，则　　
A． B．， C．， D．（2,4）
2．现有四个函数：①，②，③；④的图象（部分）如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排序正确的一组是　　
A．③②①④ B．④③②① C．②①③④ D．①②③④
3．幂函数在上是减函数，则实数值为　　
A．2 B． C．2或 D．1
4．已知，，，则　　
A． B． C． D．
5．函数在区间，上的最大值为　　
A．1 B． C． D．
6．已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论错误的为　　
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
8．若直线与曲线相切，直线与曲线相切．则的值为　　
A． B．1 C． D．
二．选择题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．下列说法正确的是　　
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
D．命题“，”的否定是“，”
10．几位同学在研究函数时，给出了下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）．
A．的图象关于轴对称；
B．在上单调递减；
C．的值域为；
D．当时，有最大值；
11．若对任意，恒成立，其中，是整数，则的可能取值为　　
A． B． C． D．
12．已知关于的方程有两个不等的实根，，且，则下列说法正确的有　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．设集合，，则满足的实数的值所成集合为　　．
14．已知非负数，满足，则的最小值是 　　．
15．若直线是曲线和的公切线，则实数的值是 　　．
16．已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：
①函数在上单调递增；
②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点；
③若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数在，上的最大值为，则数列的前7项和为．
其中所有正确结论的编号是 　　．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知命题：存在实数，使成立．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题：任意实数，，使恒成立，如果命题“或”为假命题，求实数的取值范围．
18．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
19．（12分）已知函数，．
（1）若，求函数在，的值域；
（2）令，则，已知函数在区间，有零点，求实数的取值范围．
20．（12分）已知函数，其中实数a,b,c满足2b=a+c．
（1）若b=0，且在上单调递增，求a的取值范围；
（2）若b-a=3，求函数的极值 .
21．（12分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．
（1）已知，判断和是不是倒函数，并说明理由；
（2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围．
南京市重点中学2022-2023学年高二下学期期末联考
数学试卷答案
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，2，3，，，则　　
A． B．， C．， D．（2,4）
【解答】解：，2，3，，或，
，．
故选：．
2．现有四个函数：①，②，③；④的图象（部分）如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排序正确的一组是　　
A．③②①④ B．④③②① C．②①③④ D．①②③④
【解答】对于函数，有，
所以为奇函数，图象关于原点对称，且时，，
所以对应的是第个三函数图象；
对于函数，有，所以函数是偶函数，所以函数对应的是第二个函数图象；
对于函数，为幂函数，且在上是减函数，
所以函数对应的图象是第一个图象；
对于函数，当时，，
所以函数对应的是第四个函数图象；
则按照图象从左到右的顺序对应的应该为③②①④.
故选：A．
3．幂函数在上是减函数，则实数值为　　
A．2 B． C．2或 D．1
【解答】解：幂函数，
，
解得，或；
又时为减函数，
当时，，幂函数为，满足题意；
当时，，幂函数为，不满足题意；
综上，，
故选：．
4．已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】易知，，，而，故，
又因为，，故，即，
所以，
故选：D．
5．函数在区间，上的最大值为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：因为函数，，，
所以，
当，时，，，，，
所以，
所以在，上单调递减，
所以函数在区间，上的最大值为．
故选：．
6．已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可知，
所以，所以错误；
因为，但无法判定与1的大小，所以错误；
当时，，故错误；
因为，所以，故正确．
故选：．
7．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论错误的为　　
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【解答】解：根据题意，函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，
则的图象关于点对称，同时关于直线对称，
则有，，则有，
故有，则函数是周期为4的周期函数，
依次分析选项：
对于，的图象关于点对称，同时关于直线对称，
则，即轴也是函数的对称轴，则为偶函数，正确；
对于，是周期为4的周期函数，则（3）（1），正确；
对于，的图象关于点对称，为偶函数，所以的图象关于点对称，正确；
对于，对任意的，，且，都有，则在区间上为增函数，
为偶函数，则，的图象关于直线对称，，
又由，故，错误；
故选：．
8．若直线与曲线相切，直线与曲线相切．则的值为　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：的导数为，的导数为，
设与曲线相切的切点为，
直线与曲线相切的切点为，
所以，，即，，
，即，
又，即，可得，
考虑为方程的根，为方程的根，
分别画出，和，的图像，
可得和的交点与和的交点关于直线对称，
则，即．
故选：．
9．下列说法正确的是　　
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
D．命题“，”的否定是“，”
【解答】解：对于，若，则，
若，因为，所以，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于，“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；
对于：取为无理数，则为有理数，故错误；
对于：命题“，”的否定是“，”故正确．
故选：．
10．几位同学在研究函数时，给出了下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）．
A．的图象关于轴对称；
B．在上单调递减；
C．的值域为；
D．当时，有最大值；
【解答】解：根据题意，依次判断4个结论：
对于A，的定义域为，且，
则是偶函数，其的图象关于轴对称，故正确；
对于B，当时，，在上单调递减，故正确；
对于C，，，故的值域不是，故错误；
对于D，当时，，则在，上单调递增，
又是偶函数，故在上单调递减，
故在上的有最大值，故正确．
故答案为：ABD．
11．若对任意，恒成立，其中，是整数，则的可能取值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，由可得对任意，恒成立，
即对任意，恒成立，此时不存在；
当时，由对任意，恒成立，
可设，，作出，的图象如下，
由题意可知，再由，是整数可得或或，
所以的可能取值为或或．
故选：．
12．已知关于的方程有两个不等的实根，，且，则下列说法正确的有　　
A． B． C． D．
【解答】解：方程，可化为，
因为方程有两个不等的实根，，
所以与有两个不同的交点，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
，
当时，，且，当时，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
故，
当时，，，
根据以上信息，可得函数的大致图象如下：
，且，故正确．
因为，
构造，，
，
在上单调递增，
，
，即，
由在单调递增
所以，故正确．
对于，由，，
所以，
又，所以，则，所以，故错误．
对于，由，可得，
所以，正确．
故选：．
13．设集合，，则满足的实数的值所成集合为　，，　．
【解答】解：，
又
当，无解，故，满足条件
若，则，或，
即，或
故满足条件的实数，，
故答案为，，
14．已知非负数，满足，则的最小值是 　4　．
【解答】解：由，可得
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：4．
15．若直线是曲线和的公切线，则实数的值是 　0　．
【解答】解：设直线与曲线、分别相切于点、，
对函数求导得，则，
曲线在点处的切线方程为，即，
对函数求导得，则，
曲线在点处的切线方程为，即，
所以，，化简可得．
故答案为：0．
16．已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：
①函数在上单调递增；
②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点；
③若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数在，上的最大值为，则数列的前7项和为．
其中所有正确结论的编号是 　①④　．
【解答】解：当时，，此时不满足方程，
若，则，即，
若，则，即，
作出函数的图象，如图所示：
对于①，由图可知，函数在上单调递增，
由奇函数性质可知，函数在上单调递增，故①正确；
对于②，可知函数在时的图象与直线有1个交点，
结合函数的奇偶性可知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；
对于③，设，则关于的方程等价于，
解得或，
当时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1），即对应3个交点，且，，
此时4个实数根的和为8，
（2），即对应3个交点，且，，
此时4个实数根的和为4，故③错误；
对于④，函数在，上的最大值为（2），即，
由函数解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，
则数列的前7项和为，故④正确．
故答案为：①④．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．已知命题：存在实数，使成立．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题：任意实数，，使恒成立，如果命题“或”为假命题，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）：存在实数，使成立△或，
实数的取值范围为，，；
（2）：任意实数，，使恒成立，
，，，，
命题“或”为假命题，假假，
，，，，
实数的取值范围．
18．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，
因为在定义域为上是奇函数，
所以，即；
（2）因是奇函数，从而不等式：
等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：，
从而判别式，
即的取值范围是．
19．已知函数，．
（1）若，求函数在，的值域；
（2）令，则，已知函数在区间，有零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，
由二次函数的性质可知，当，时，函数为增函数，
所以函数的最大值为（4），函数的最小值为（1），
则函数的值域为，．
（2），
令，由于，，则，，
则问题等价为在，上有零点，
即在，上有解，
即在，上有解，
即，
令，则，，则，
则在，上递增，
则当时，，当时，，
，即，
即实数的取值范围是．
20．（12分）已知函数，其中实数a,b,c满足2b=a+c．
（1）若b=0，且在上单调递增，求a的取值范围；
（2）若b-a=3，求函数的极值 .
【解答】解：（1）因为，所以，
可得，故，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
可得，故，
所以.
（2）因为，所以，
所以
（说明：消元并化简正确即可给分，也可以写成，或）则，
令，解得，，
可得：
x
0 — 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极大值为，极小值为
21．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．
（1）已知，判断和是不是倒函数，并说明理由；
（2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．
【解答】解：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数，
（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又，
是倒函数，
对于，定义域为，故当时，不符合倒函数的定义，不是倒函数；
（2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数，记，
由题设，，又是上的倒函数，
，故，
充分性：当时，且，又在上是严格增函数，
，，故成立；
必要性：当时，有，
又恒大于0，，即，在上是严格增函数，
，即有成立；
综上，是的充要条件．
22．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，，
当时，令得，
所以在上，单调递增，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，令得，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）若，则，
所以，
所以，
令，则不等式为，
，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，
令，，
，
令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以（1），
所以，
所以的取值范围为，．