江西省赣州市赣县2022-2023学年高二下学期5月阶段性测试数学试题（含解析）

赣县2022-2023学年高二下学期5月阶段性测试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．当数的图象在处的切线斜率为（ ）
A．6 B．4 C． D．
3．数列的一个通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
4．二项式的展开式中的第4项为（ ）
A． B． C． D．
5．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6．2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高二班主任从网上找到6个与此相关的短视频a，b，c，d，e，f，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则a，b，c至少选1个，且d，e，f至少选1个的方法种数为（ ）
A．8 B．18 C．27 D．36
7．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．数列满足，，则数列的前60项和为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等比数列中，，则（ ）
A． B．
C．当时， D．的前10项积为1
10．已知点P是双曲线C：上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C的离心率为
C． D．C的渐近线方程为
11．正态分布拥有极其广泛的实际背景，大自然中的许多随机变量概率分布都可以用正态分布来插述，已知A地的年降水量X（单位：cm）服从正态分布，其中，．已知．则下列估计正确的是（ ）
A．A地的年平均降水量为81cm
B．A地的年降水量不超过80cm的概率大于50%
C．A地的年降水量超过97cm的概率大于16%
D．A地的年降水量不低于90cm的概率与不超过72cm的概率相等
12．已知点A，B是函数图象上不同的两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线AB与y轴垂直，则a的取值范团是
B．若点A，B分别在第二与第四象限，则a的取值范围是
C．若直线AB的斜率恒大于1，则a的取值范围是
D．不存在实数a，使得A，B关于原点对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题：“，”的否定是______.
14．已知定义域为的函数的导函数为，若的图象如图所示，期的极小值点为______.
15．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等.下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中，，，以点C为原点，为x轴正方向。为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为______．（写出一个即可）
16．若函数在上既有最大值M，又有最小值m，则Mmm的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求k的值．
18．（12分）已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，点F到直线的距离为．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线与C交于与点O不重合的A，B两点，且直线OA，OB的斜率之积为，求的值．
19．（12分）当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．
（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率；
（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．
20．（12分）已知有数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上有零点，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知数列的前n项和为，，．
（1）求，并证明数列是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和．
22．（12分）已知函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若方程有解，求实数a的取值范围．
赣县2022-2023学年高二下学期5月阶段性测试
数学参考答案及评分细则
1．【答案】D
【解析】因为，，所以，故选D．
2．【答案】A
【解析】因为，所以，，所以的图象在处的切线斜率为6，故选A．
3．【答案】D
【解析】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子，故选D．
4．【答案】A
【解析】因为，所以，故选A．
5．【答案】C
【解析】由，，，得，，设是平面的一个法向量，则即取，得，故选C．
6．【答案】B
【解析】分两类选取：a，b，c选2个，d，e，f选1个，或a，b，c选1个，d，e，f选2个，所以不同选法种数为，故选B．
7．【答案】C
【解析】由题意得对任意，恒成立，设，，则在上单调递减，在上单调递增，，所以，，故选C．
8．【答案】B
【解析】由得，，所以数列的所有项均为1，所以，，所以数列的前60项和为，故选B．
9．【答案】ACD
【解析】由，得等比数列的公比，所以，A正确；，B错误；，当时，，C正确；由，可得的前10项积为，D正确，故选ACD．
10．【答案】AB
【解析】在中，，，，，A正确；C的离心率，B正确；或，C错误；C的渐近线方程为，即，D错误，故选AB．
11．【答案】AD
【解析】在中，为平均数，A正确；A地的年降水量不超过81cm的概率为50%，不超过80cm的概率小于50%，B错误；A地的年降水量超过97cm的概率，C错误；正态曲线关于直线对称，D正确，故选AD．
12．【管案】ABD
【解析】对于A，若直线AB与y轴垂直，则不单调，因为，所以，，A正确；对于B，若点A，B分别在第二与第四象限，设，，则存在，，使得，，即，，因为，，所以，B正确；对于C，设，，则，即，设，则是增函数，所以恒成立，，，C错误：对于D，假设存在a使A，B关于原点对称，设（s，t不同时为0），则，所以两式相加得，，把代入得，这与s，t不同时为0矛盾，所以假设不成立，D正确，故选ABD．
13．【答案】，
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命橧，所以“，”的否定是“，”．
14．【答案】3
【解析】由图可得，时，，，单调递增，时，，，单调递减，时，，，单调递增，时，，，单调递减，所以的极小值点为3．
15．【答案】（答案不 一）
【解析】由图可得，点D到三个正方形项点的距离依次为，，，，，，，，，所以圆D的方程为．
16．【答案】
【解析】因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且时，，所以时，有最小值，当且时，有最大值，，又，，所以n的最大值为7，又，所以Mmm的最小值为．
【评分细则】
14．填写或不给分，多填也不给分．
15．圆D的方程写成均给分，填写一般方程不给分．
17．解：（1）设等差数列的公差为d，由，，
得
解得，，
所以．
（2）因为，
所以，
因为，所以，
即，所以．
【评分细则】
如有其他解法若正确，也给满分，如第（2）小题，可以用求，也可不求，直接求.
18．解：（1）由题意得，
点F到直线的 离，
所以，C的标准方程为．
（2）设，，则，，
所以直线OA，OB的斜率之积为，
所以，
由题意知，由得，
代入得，
所以，．
此时，所以．
【评分细则】
如有其他解法若正确，也给满分．
19．解：（1）选取的3个科技企业中，BAT中至少存2个的根索为
.
（2）由题意，X的所有取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
【评分细则】
1．如在其他解法若正确，也给满分；
2．不化为最简扣1分．
20．解：（1）当时，，，
时，单调递减，时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由得，
设，，则，
在上单调递减，所以，
所以，
所以实数a的取值范围是．
【评分细则】
1．如有其他解法若正确，也给满分；
2．第（1）小题单调区间不写成区间形式扣1分．
21．解：（1）令中，得，，
所以，．
因为，
所以．
所以，
又时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，，
所以．
所以．
【评分细则】
1．如有其他解法若正确，也给满分；
2．第（1）小题得到后，不指出首项为2，直接得出数列是等比数列，扣1分；
3．第（2）小题写成也可以.
22．解：（1）当时，，
，
设，则，
在上单调递增，且，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以．
（2）即，
即．
设，则，
，设，则，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，即，在上单调递增，
所以方程有解即在上有解，
歫有解，即有解，
设，则，
时，，单调递增，时，，单调递减，
所以，
当时，，
所以，即实数a的取值范围是．
【评分细则】
如有其他解法若正确，也给满分．