球的表面积[下学期]
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球的表面积
教学目标：使学生掌握球的表面积公式并能熟练地应用它，
在球的表面积公式的推导过程中，进行“以直代
曲”的辩证唯物主义的思想方法。
教学重点：掌握球的表面积的计算公式。
教学难点：球的表面积公式的推导过程。
教学过程：
1、 新课引入：
我们知道，把圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开后，可展成平面图形，分别是矩形、扇形和扇环，故可获得它们的侧面积公式。
而对球体本身，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成平面
图形，因而不能采用前面已学过的方法去解决；如何用平面表示曲面，从而达到求出球的表面积的目的，是本节课学习的内容。
二、新课：
回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式时，是用圆内接正多边形的周长近以地表示它，这就是以直代曲的尝试。大家知道，当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长，当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长。
受这种思想方法的启发，我们可采用球内接圆台、圆锥或圆柱的侧面积的全体来表示球的表面积，只要用越来越多的平行平面把球分割，则所得的许多个内接圆台和圆锥的侧面积的全体就越来越接近于球的表面积了。这是平面几何中的“以直代曲”的方法在研究空间图形中的应用。
为止，首先要求出球的内接圆台的侧面积公式。
已知：球面O的内接圆台的高O1O2=h，球心O到母线AD的距
离OE=p，如图：
求证：S圆台侧=2πph
分析:设圆台上,下底面半径为r1, r2, 母线
为l,则S圆台侧=π( r1+ r2)l , 只要证
明2ph=( r1+ r2)l就可以了.
证明：在图（2）中，作OEAD，EE‘O’O，
DDAB，则DD=h。EE‘=( r1+ r2)/2。
RtADD与RtOEE相似。
于是l h=p ( r1+ r2)/2，
( r1+ r2)l=2ph 。 S圆台侧=2πph。
注：这个结果对球的内接圆柱、圆锥也是同样成立的。
现在，我们来求半球的面积，为了书写方便，我们用n-1个平行于半球的大圆面的平面将半球分为n部分。使每一部分的母线都相等，则球心到它们的母线的距离都为p，而它们的高分别为h1h2，。。。。hn。
于是这些圆台、圆锥的侧面积的和为：
S=2ph1+2ph1++2phn
=2p（h1+h2+hn）
=2PR
如果平行平面无限增加，这些圆台、圆锥的侧面积和就无限地接近于半球面，同时p无限地接近于R。当p变为R时，侧面积的和S变为2R2。这个和数就是半球面的面积。S球面=4R2
例1． 求证：球的表面积等于球的外接圆柱的侧面积的；
且等于外切圆柱全面积的三分之二。
分析：球的外切圆柱的半径与球半径相同，圆柱的高
为球的直径。
证明：因为S球=4R2。 S圆柱侧=2R2R
所以S球=S圆柱侧
因为S圆柱全=4R2+2R2=6R2
所以S球=2/3S圆柱全
例2． 在球内有相距90cm的两个平行截面，面积分别是490cm
和4m2，球心不在截面之间，求球的面积。
分析：关键在于求出球的半径，在图中，
有CC‘=OC’-OC。
略解 R球=250cm
S球=250000cm2
三、小结：
EMBED PBrush
教学目标：使学生掌握球的表面积公式并能熟练地应用它，
在球的表面积公式的推导过程中，进行“以直代
曲”的辩证唯物主义的思想方法。
教学重点：掌握球的表面积的计算公式。
教学难点：球的表面积公式的推导过程。
教学过程：
1、 新课引入：
我们知道，把圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开后，可展成平面图形，分别是矩形、扇形和扇环，故可获得它们的侧面积公式。
而对球体本身，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成平面
图形，因而不能采用前面已学过的方法去解决；如何用平面表示曲面，从而达到求出球的表面积的目的，是本节课学习的内容。
二、新课：
回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式时，是用圆内接正多边形的周长近以地表示它，这就是以直代曲的尝试。大家知道，当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长，当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长。
受这种思想方法的启发，我们可采用球内接圆台、圆锥或圆柱的侧面积的全体来表示球的表面积，只要用越来越多的平行平面把球分割，则所得的许多个内接圆台和圆锥的侧面积的全体就越来越接近于球的表面积了。这是平面几何中的“以直代曲”的方法在研究空间图形中的应用。
为止，首先要求出球的内接圆台的侧面积公式。
已知：球面O的内接圆台的高O1O2=h，球心O到母线AD的距
离OE=p，如图：
求证：S圆台侧=2πph
分析:设圆台上,下底面半径为r1, r2, 母线
为l,则S圆台侧=π( r1+ r2)l , 只要证
明2ph=( r1+ r2)l就可以了.
证明：在图（2）中，作OEAD，EE‘O’O，
DDAB，则DD=h。EE‘=( r1+ r2)/2。
RtADD与RtOEE相似。
于是l h=p ( r1+ r2)/2，
( r1+ r2)l=2ph 。 S圆台侧=2πph。
注：这个结果对球的内接圆柱、圆锥也是同样成立的。
现在，我们来求半球的面积，为了书写方便，我们用n-1个平行于半球的大圆面的平面将半球分为n部分。使每一部分的母线都相等，则球心到它们的母线的距离都为p，而它们的高分别为h1h2，。。。。hn。
于是这些圆台、圆锥的侧面积的和为：
S=2ph1+2ph1++2phn
=2p（h1+h2+hn）
=2PR
如果平行平面无限增加，这些圆台、圆锥的侧面积和就无限地接近于半球面，同时p无限地接近于R。当p变为R时，侧面积的和S变为2R2。这个和数就是半球面的面积。S球面=4R2
例1． 求证：球的表面积等于球的外接圆柱的侧面积的；
且等于外切圆柱全面积的三分之二。
分析：球的外切圆柱的半径与球半径相同，圆柱的高
为球的直径。
证明：因为S球=4R2。 S圆柱侧=2R2R
所以S球=S圆柱侧
因为S圆柱全=4R2+2R2=6R2
所以S球=2/3S圆柱全
例2． 在球内有相距90cm的两个平行截面，面积分别是490cm
和4m2，球心不在截面之间，求球的面积。
分析：关键在于求出球的半径，在图中，
有CC‘=OC’-OC。
略解 R球=250cm
S球=250000cm2
三、小结：
EMBED PBrush