高二数学第二学期期末模拟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若关于的方程的解集为单元素集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．且
【答案】C
【分析】
分类讨论二次项系数的取值，确定方程只有一个解时参数的值即可得到答案.
【详解】
时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件；
时，原方程为一元二次方程，当判别式时，方程有一个解，此时，
，解得
2.（ ）
充分不必要条件 B.必要不充分条件
充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若，则a,b,c的大小关系为（ ）
A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
函数的图像如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
5. (23年新高考2卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D
【解析】初中部和高中部总共有（人），
按照分层抽样的原理，应从初中部抽取（人），
从高中部抽取（人），
第一步：从初中部抽取40人，有种方法，
第2步：从高中部抽取20人，有种方法，
根据分步计数原理，一共有种方法；故选：D.
6. (23年新高考2卷)若为偶函数，则（ ）．
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】方法一：函数的定义域为，因是偶函数，
不妨令x=1，则有
方法二：发现是奇函数，而为偶函数，
有，
故，则．选B．
7．物理学规定音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的
A．倍 B． 倍 C．100倍 D．倍
8. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（ ）
A． B． C． D．
10. (23年新高考1卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
11. (23年新高考1卷)已知函数的定义域为，，则（ ）．
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.
14．已知，，且，则的最小值为 ．
16．设，，，当时，的最小值是 ，若的最小值为，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知全集为，集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）．
①，；②，；③，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
19．(23年全国甲卷)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．
(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组
实验组
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
参考数据：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【命题意图】
（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
难度：一般
【答案】(1)分布列见解析，(2)（i）；列联表见解析，（ii）能
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第11位数据为，后续依次为，
故第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
20.(23年上海卷)
21. (23年新高考1卷)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
22．（本小题满分12分）
若函数在定义域内的某个区间上是增函数，而在区间上是减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.
（1）若函数( 是常数)在区间上是“弱增函数”，求 应满足的条件；
（2）已知(是常数且)，若存在区间使得 在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.高二数第二学期学期末模拟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若关于的方程的解集为单元素集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．且
2.（ ）
充分不必要条件 B.必要不充分条件
充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若，则a,b,c的大小关系为（ ）
A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
函数的图像如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
5. (23年新高考2卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. (23年新高考2卷)若为偶函数，则（ ）．
A. B. 0 C. D. 1
7．物理学规定音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的
A．倍 B． 倍 C．100倍 D．倍
8. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（ ）
A． B． C． D．
10. (23年新高考1卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A. B.
C. D.
11. (23年新高考1卷)已知函数的定义域为，，则（ ）．
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.
14．已知，，且，则的最小值为 ．
16．设，，，当时，的最小值是 ，若的最小值为，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知全集为，集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）．
①，；②，；③，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
19．(23年全国甲卷)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．
(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组
实验组
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
参考数据：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
20.(23年上海卷)
21. (23年新高考1卷)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
22．（本小题满分12分）
若函数在定义域内的某个区间上是增函数，而在区间上是减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.
（1）若函数( 是常数)在区间上是“弱增函数”，求 应满足的条件；
（2）已知(是常数且)，若存在区间使得 在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.
