24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
第二十四章
学习目标
1) 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2) 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
重点
理解垂径定理的推导。
难点
利用垂径定理解决实际问题。
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
轴对称图形概念：
常见的轴对称图形图形：
探索圆的特性
将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到圆的什么特性？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
探索圆的特性
尝试证明刚才的结论
如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB.
·
O
A
D
E
C
B
证明： 在△OAB中，∵OA=OB,
∴ △OAB是等腰三角形
而OE⊥AB∴AE=EB
即CD是AB的垂直平分线。
这就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此⊙O关于直线CD对称。
探索圆的特性
根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？并尝试证明？
CE=DE
⌒
⌒
ＡＣ＝ AD　， BC＝ ＢＤ
⌒
⌒
A
B
C
D
O
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E。
求证：CE=DE,
⌒
⌒
AC = AD,
⌒
⌒
BC =BD.
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
∴ ∠AOC=∠AOD,
⌒
⌒
∴AC =AD,
⌒
⌒
　BC =BD.
E
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
∵ CD是直径， CD⊥AB
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
E
C
D
B
垂径定理
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
情况二：弦不是直径
O
C
D
A
B
·
O
A
E
C
B
不一定
垂径定理
判断下列图形，能否使用垂径定理？
×
√
×
√
√
√
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
∵ CD是直径 ， AE=BE且AB不是直径
符号语言：
∴ CD⊥AB， AC=BC，AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
O
C
D
A
B
E
垂径定理解题思路
半径
半弦
弦心距
弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
在直角三角形中，由勾股定理得：=
（利用垂径定理进行计算）
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，求⊙O的半径．
A
B
.
O
E
3
4
解：
在Rt △ AOE 中 ,
,(垂径定理）
过圆心O 作OE⊥AB于E，
（利用垂径定理进行计算）
变式1 如图，在 O中，AB=8，OA=5，
则OE= ，ED= ．
变式2：如图，在 O中，OA=5，ED=2，
则OE= ，AB= .
变式3：如图，在 O中，AB=8，ED=2，
则OA= ，OE= .






2
3
3
4
r － 2
r
3
2
3
8
3
5
r2 = (r － 2)2 + 42
5
3
半径、弦长、弦心距、弓形高四个量中，知二求二
（利用垂径定理进行计算）
变式4：如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是 .
2
5
3
（利用垂径定理进行计算）
3
r
9-r
变式5：如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
D
C
A
B
E
O
变式六 如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）．
A. B.2 C.2 D.2
【详解】
解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴OH=OP=2
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴
∴AB=2AH=2 故选C
（利用垂径定理进行计算）
H
（利用垂径定理解决实际问题）
1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37 m,拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
【解题关键】将实际问题转化为几何问题。
37
18.5
R
R-7.23
（利用垂径定理解决实际问题）
37
18.5
R
R-7.23
1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
思路：通过垂径定理，构造直角三角形，结合勾股定理，建立方程。
解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是弦AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．
⌒
⌒
⌒
在Rt△ADO中，由勾股定理得= ，
解得R≈27.3m
答：桥拱的半径约为27.3m
（利用垂径定理解决实际问题）
如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（ ）
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
【详解】
设这个门拱的半径为r，则OB=r 1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC= CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC2+OB2 =OC2 ,即22 +(r 1) 2 =r 2，解得r=2.5m.
故选B.
（利用垂径定理解决实际问题）
如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（　　）
A.4m B.5m C.6m D.8m
【详解】连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，
∵CD=8m，∴OD=8 5=3(m)，
∴AD= (m)
∴AB=2AD=2×4=8(m),故选D.
本节课你学习了关于圆的哪些数学知识？
你掌握了哪些常用的辅助线作法和解题方法？
垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧．
2）垂径定理：
2.圆心到弦的距离、半径、半弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形解决.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
1）圆的轴对称性：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3）推论：
D
·
O
A
B
C
E
1.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，连接半径等重要的辅助线.
3.半径、弦长、弦心距、弓形高中，知二求二.
谢谢
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