2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（下）期中数学试卷（艺术班）（含解析）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（下）期中数学试卷（艺术班）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 正方形的边长是，是的中点，则( )
A. B. C. D.
2. 复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 设，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
4. 下列四个命题中正确的是( )
A. 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周而形成的面所围成的几何体是圆锥
B. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
5. 在中，点在边上，记，，则( )
A. B. C. D.
6. 在中，若，则( )
A. B. C. D.
7. 在长方体中，直线与平面的交点为，为线段的中点，则下列结论错误的是( )
A. ，，三点共线 B. ，，，四点异面
C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面
8. 已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知为虚数单位，复数，，，下列结论正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10. 以下命题其中，表示直线，，表示平面，其中错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
11. 如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则( )
A. B. 面积的最小值是
C. D. 存在最小值
12. 周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是( )
A. 每一个直角三角形的面积为 B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有 条
14. 若复数，则 ．
15. 如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为______．
16. 已知在中，，，，则的外接圆半径为数为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量与满足，，与的夹角为．
求；
求；
当为何值时，？
18. 本小题分
已知复数为虚数单位和是关于的方程两根．
求和
若对应复平面内的点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求点对应的复数．
19. 本小题分
如图，已知正三棱锥的底面边长为，正三棱锥的高，为的中点，根据正棱锥信息知道，为中心．
求正三棱锥表面积；
求正三棱锥的体积；
20. 本小题分
设锐角的内角，，的对边分别为，，，．
求角的大小；
若，，求．
21. 本小题分
如图，在正四棱柱中，，、分别为、的中点．
求证：平面；
求与平面夹角的余弦值．
22. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求
若，，求的面积．
答案和解析
1.
【解析】以点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，
所以
所以，故选：
2.
【解析】解：由于，所以的虚部为，故选：．
3.
【解析】若成立，可得，，
说明是其中的一个角，不一定刚好，充分性质不一定成立，
反之如果成立，则成立，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件．故选：．
4.
【解析】对于，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周而形成的面所围成的几何体是圆锥，所以A正确．
对于，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，所以B错误；
对于，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，也可能是三棱台，所以C错误；对于，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，所以D错误．

5.
【解析】如图，
，
，即．故选：．

6.
【解析】，由正弦定理得，
设，
则，
又角是三角形的内角，
．
故选：．

7.
【解析】解：根据题意，连接，，则，，，，四点共面，
所以平面，因为，所以平面，
又平面，所以在平面与平面的交线上，
同理在平面与平面的交线上，
所以，，三点共线．选项A、、均正确，选项C错误．故选：．
8.
【解析】，
，，
，，
，，
，
．
故选：．
9.
【解析】选项，，选项正确．
选项，当时，，选项错误．
选项，，，
若，则，解得，所以选项正确．
选项，当时，，所以选项错误．
故选：．
10.
【解析】项，直线有可能在平面内，A错误；
项，与可以相交，平行，异面，B错误；
项，直线有可能在平面内，C错误；
项，是线面平行的性质定理，D正确．
故选：．
11.
【解析】设中点为，连接，以为原点，，方向分别为，轴建立如图所示直角坐标系：
所以，，
设，，，，，，，且，，
所以，
因为，所以，
即，故，即，所以，
，
因为，所以，
因为，
故，选项A错误；
因为，所以，
即，所以，，三点共线，且为靠近的三等分点，
所以
，
当且仅当，即时取等，所以选项B正确；
因为，
所以
，
当且仅当，即时取等，故，选项C正确：
因为，
所以
．
因为且，
所以，
记，
可知单调递增，没有最值，即没有最值，故选项D错误．故选：．
12.
【解析】四个直角三角形全等，大正方形的面积为，小正方形的面积为，
每一个直角三角形的面积为，A正确；
，，故B错误；
，，且，，
，
，故D正确；
，C正确．
故选：．
13.
【解析】由图象可知，与直线垂直且异面的直线有：
、、、，共条．
故答案为：．
14.
【解析】解：由题意，复数的实部为，虚部为，
则．故答案为：．
15.
【解析】解：因为，，，
所以，，，，
所以．
故答案为：．
16.
【解析】在中，，，，
利用余弦定理，整理得，
所以，解得．
故答案为：．
17.，，与的夹角为，
；
；
，
，即，
即，解得，
故当时，
18.将代入方程得，化简得：，即，
方程为，解得；
由题意，设，则，，
由，，
可得，即
解得或
故或．
19.解：在直角三角形中，，，则，
在中，，，，
所以正三棱锥表面积为：．
在正三棱锥中，，
所以．
20.解：，
又由正弦定理可得，
，
为锐角，
．
由余弦定理：，
则．
21.证明：由为交点，连接，交于点，连接，由为中点，
则，
由平面，平面，
所以平面；
解：连接，交于点，连接，
由平面，则，
又，且，
所以平面，
所以平面，
又平面平面，
作于，则平面且为中点，
则为与平面所成角，
由，不妨设，
则，，
所以．
22.解：因为，则，
由正弦定理得，
在中，，则，所以，
即，
则，
在中，，则，所以，
又，解得；
因为，，
则由余弦定理得，
解得或舍去，
所以．