山东省临沂市重点中学2022-2023学年高一下学期6月第五次调研考试数学试题（含答案）

临沂市重点中学2022-2023学年高一下学期6月第五次调研考试
数学试题
一 选择题（共8小题，每小题5分，共40分.）
1.设，则（ ）
A. B.
C. D.
2.某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（ ）
A.45 B.50 C.55 D.60
3.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A.两条相交直线确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面
C.四点确定一个平面 D.直线及直线外一点确定一个平面
4.在中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知平面，且，则直线的关系为（ ）
A.一定平行 B.一定异面
C.不可能相交 D.相交 平行或异面都有可能
6.已知向量，点，记为在向量上的投影向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，其中且，若的最小值为3，则正数的值为（ ）
A.2 B.3 C. D.
二 多选题（共4小题，每小题5分，共20分.）
9.从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则（ ）
A.“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件
B.“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立
C.第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是
D.两道题都是几何题的概率是
10.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）
A.平面平面
B.平面
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.三棱锥的体积不变
11.如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥的体积分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有（ ）
A.
B.若，则函数最小正周期为；
C.关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量.若，则__________.
14.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球 5个红球，乙箱中有8个红球 2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为__________.
15.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，且满足条件，，则球的表面积为__________.
16.已知为的三内角，且角为锐角，若，则的最小值为__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.已知平面向量.
（1）求的值；
（2）若向量与夹角为，求实数的值.
18.已知内角所对的边分别为，设向量，，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
19.某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程.第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程.第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂.设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立.
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率.
20.以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50~400之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.
（1）求直方图中的值；
（2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
（3）从用电量落在区间内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间内的概率.
21.如图，在正三棱柱中，点为中点.
（1）若，证明：平面平面；
（2）若，且二面角的正切值为，求三棱柱的体积.
22.已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值；
（3）若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
临沂市重点中学2022-2023学年高一下学期6月第五次调研考试
数学参考答案
1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.B
9.ACD 【详解】“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，它们互斥，A正确；
“第1次抽到代数题”这个事件发生与否对事件“第2次抽到几何题”发生的概率有影响，
“第1次抽到代数题”发生时，“第2次抽到几何题”的概率是，“第1次抽到代数题”不发生时，“第2次抽到几何题”的概率是，它们不独立；B错；
第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是正确；
抽取两次都是几何题的概率是正确.故选：ACD.
10.ABD 【详解】对于，连接，如图，
因为在正方体中，平面，
又平面，所以，
因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为与为平面内两条相交直线，可得平面，
又平面，从而平面平面，故A正确；
对于，连接，如图，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面，同理平面，
又为平面内两条相交直线，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确；
对于，因为，所以与所成角即为与所成的角，
因为，所以为等边三角形，
当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；
当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；
所以与所成角的范围是，故错误；
对于D，由选项得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，
即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，
所以三棱锥的体积不变，故D正确.故选：.
11.CD
如图连接交于，连接.设，则
.
由平面，所以平面，
所以，
.
由平面平面，所以.
又，且平面，
所以平面，所以.
易知
，所以，所以，而，
平面，所以平面.
又，
，所以有，
所以选项不正确，正确.故选：.
12.ABD 【详解】A，在上单调，又，，故A正确；
B，区间右端点关于的对称点为在上单调，根据正弦函数图像特征可知在上单调，
（为的最小正周期），即，又.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故，故B正确.
，由，得在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故错误.
，由知，是函数在区间上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又的取值范围为，故D正确.故选：ABD.
13.解：，又，
所以，解得：，故答案为：1.
14.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，故从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，故从乙箱中摸到红球的概率为
综上所述：摸到红球的概率为.故答案为：
15.【详解】由题意可知，，可得，
所以，即，同理可得，，以点为一个顶点，，
为三条相邻棱，构造长方体.
由于点都在球的球面上，显然长方体
内接于球，其对角线长就是球的直径，所以
所以球的表面积.故答案为：
16.【详解】为的三内角，为锐角，
故有，即可得
，当且仅当
时等号成立的最小值为故答案为：
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.【小问1详解】解：因为，
所以，
所以；
【小问2详解】解：，
所以，
又向量与夹角为，
所以，
即，
即，解得或.
18.【小问1详解】由向量平行的坐标公式可得，由正弦定理可得，即，故，因为，故
【小问2详解】由三角形面积公式，，故，故为等腰三角形，故，又，故，所以的周长为
19.【小问1详解】解：记事件为“产品需要进行第2个过程”.
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故.
【小问2详解】解：记事件为“产品不可以出厂”.
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率
，
故.
20.【详解】（1）由，得
（2）平均值
用电量落在区间的频率之和为，
中位数落在区，设中位数为，则
，解得.
（3）易知用电量落在区间的用户有4户，记为，用电量落在区间[350,400)用户有2户，记为，记事件“至少有1户落在区间内”.
从中这6个元素中任取2个元素的样本空间，
，即至少有1户落在区间内的概率为.
21.【小问1详解】
为等边三角形，点为中点，故，因为平面平面，其交线为，故平面平面，故平面平面；
【小问2详解】
过作平面交于，故是的四等分点靠近的位置，过作交于，所以即为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
故三棱锥的体积为：
22.【小问1详解】由题意得，.
可得函数的最小正周期为.
【小问2详解】因为，所以，
所以，所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，所以.
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以，解得，所以整数的最大值为4.
【小问3详解】
由题意知，，
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向右平移个单位得，
因为关于的方程在区间上有解，整理得：
，即在区间上有解，
，
因为，所以
令，
（*）式可转化为：在内有解，
所以，又因为和在为增函数，
所以在为增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以
综上所述：的取值范围为.