滕州名校2022-2023 学年度高一 6 月份阶段检测
数学试题参考答案
一、单项选择题。本题共 8 小题，每小题 5分。共 40 分，
1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8.A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分
9．AD 10．BC 11．AC 12．ACD
三．填空题：本题共 4 小题。每小题 5分，共 20 分
13．16 3 14．10 3 15．100 16．2
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2 2 2 2 2
17．解：（1） a 2b a 2b a 4a b 4b a 4 a b cos45 4 b
2 4 4 10；……………(5 分)
（2） 向量 2a b与 a 3b平行，设 2a b k a 3b k a 3kb，
k 2
由题意可知，向量 a与b不共线，可得
3k
，解得 6．……………(10 分)
18． 解：（1）因为四边形 ABCD是菱形，所以 AC BD.
又因为 PA 平面 ABCD,BD 平面 ABCD,
所以 PA BD,又因为PA AC A,
所以 BD 平面 PAC.……………(6 分)
（2）过 B作 BE AD,连结 PE,
因为 PA 平面 ABCD,BE 平面 ABCD,所以 PA BE.
又因为BE AD,PA AD A,所以BE 平面 PAD.
所以 BPE是直线 PB与平面PAD所成角……………(9 分)
在 Rt△BEP中， BE 3,PE PA2 AE 2 5,
BE 3 15
所以 tan BPE .
PE 5 5
15
所以 BPE是直线 BP与平面PAD所成角的正切值 .……………(12 分)
5
19．解：（1）第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三章的频率为0.30，第四组的频率为0.20，
第五组的频率为0.10，
所以中位数在第三组，不妨设为 x，
则 x 85 0.06 0.5 0.05 0.35 5 260，解得 x 85 ，……………(3 分)
3 3
平均数为77.5 0.05 82.5 0.35 87.5 0.3 92.5 0.2 97.5 0.1 87.25；……………(6 分)
（2）根据题意，“良好”的学生有 40 0.4 16人，“优秀”的学生有 40 0.6 24人，
16 24
所以分层抽样得“良好”的学生有5 2人，“优秀”的学生有5 3人，
40 40
高一数学试题参考答案共 4页 第 1页
{#{QQABDYwUgggAABBAAABCAwGSCAGQkgGAAIgGwBAUIEABSAFABAA=}#}
将三名优秀学生分别记为 A,B,C，两名良好的学生分别记为 a,b，
则这 5 人中选 2人的基本事件有： AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共 10 种，
其中至少有一人是“优秀”的基本事件有： AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb 共 9种，
9
所以至少有一人是“优秀”的概率是 P 10……………(12 分)
20．解：（1）设 A1 “甲在第一轮比赛中胜出”， A2 “甲在第二轮比赛中胜出”B1 “乙在第一轮
比赛中胜出”， B2 “乙在第二轮比赛中胜出”，则 A1A2 “甲赢得比赛”， B1B2 “乙赢得比赛”，
P A 51 ，P A
2
2 ， P B
3
1 ，P B2
3
6 3 5 4
P A A P A P A 5 2 5 P B B P B P B 3 3 9 1 2 1 2 ，同理 1 2 6 3 9 1 2 5 4 20
5 9
因为 ，所以，派甲参赛获胜的概率更大.……………(6 分)
9 20
（2）由（1）知，设C “甲赢得比赛”，D=“乙赢得比赛”，
P C 5 4 9 11 1 P A1A2 1 ， P D 1 P B1B2 1 ；9 9 20 20
于是C D “两人中至少有一人赢得比赛”.
P C D 1 P CD 1 P C P D 1 4 11 34 .……………(12 分)9 20 45
21.【解析】（1）由题意及几何知识得，
设 A1D x, 则 AD 3x， A1B1 10 2 3x .
A1B1 10 2 3x因为 3，
A1D x
10 2 3 3所以 x ，
3
10 2 3 3
∴该三棱柱的高为 cm .……………(6 分)
3
（2）由题意，（1）及几何知识得，正三棱柱的表面积为16 3，
设 A1D x, 则 AD 3x， A1B1 10 2 3x，
∴表面积 S 3A1D DD
3
1 A B
2
1 1 3x 10 2 3x 3 1
2
0 2 3x 16 3 ，4 4
解得： x 3，
∴ A1D 3， AD 3x 3， A1B1 10 2 3x 4
高一数学试题参考答案共 4页 第 2页
{#{QQABDYwUgggAABBAAABCAwGSCAGQkgGAAIgGwBAUIEABSAFABAA=}#}
3 3
∴该三棱柱的体积为：V A 2 2 3
4 1
B1 A1D 4 3 12 cm ……………(12 分)4
22．解:(1)设 ABC的外接圆的半径为 R，
2 2 2
因为 sin B sin C sin A tanA sinBsinC ，
由正弦定理可得 sin A
a b
， sin B ， sinC
c
，
2R 2R 2R
2 2 2
b2 c2 a2所以 tanA bc b c a sin A，又 cos A ， tan A
2bc cos A
所以 sin A
1
，因为 A (0,
)，
2 2
所以 A ，
6
因为 ABC为锐角三角形，
0 B 所以 ， A B ，
2 2
所以 B
，
3 2
所以角 B的取值范围为 ， ；……………(6 分)
3 2
(2)由已知O为 ABC的外接圆的圆心，所以 OA = OB = OC R，
因为 A ，所以 BOC 2 ，
6 6 3
1
又OB OC ，所以 OB OC cos BOC
1
，
2 2
R R 1 1所以 ，所以 R 1，
2 2
设 AOC ，则 AOB
5
，
3
2
又 AOC 2 B，所以 ，
3
所以OA AB AC OA OB OA OC OA
2
OA OB OA OC 2OA
1 1 5 cos
1 1 cos 2
3
1
cos 3 sin cos 2
2 2
高一数学试题参考答案共 4页 第 3页
{#{QQABDYwUgggAABBAAABCAwGSCAGQkgGAAIgGwBAUIEABSAFABAA=}#}
3
cos 3 sin 2
2 2
3 3
cos
1
sin
2 2
2
3 cos
6
2
2 5 7 因为 ， 3
，所以 ，
6 6 6
1 cos 3所以 ，
6 2
所以 2 3 OA AB AC 7 ，2
所以OA 7 AB AC 的取值范围为 2 3， ……………(12 分)
2
高一数学试题参考答案共 4页 第 4页
{#{QQABDYwUgggAABBAAABCAwGSCAGQkgGAAIgGwBAUIEABSAFABAA=}#}秘密★启用前
滕州市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段检测
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题．（本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列说法正确的是（ ）
A．三个点可以确定一个平面 B．若直线a在平面α外，则a与α无公共点
C．用平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形
2．如果从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是红球” B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位临湘市居民，他们的幸福感指数为7，3，5，6，7，4，8，9，5，10．则这组数据的80%分位数是（ ）
A．8.5 B．8 C．9 D．7.5
4．如图是函数（，，）的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
6．AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球心O到平面ABC的距离为2，则球O的内接正方体的棱长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．求值：（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题．（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得零分）
9．已知复数：满足，则（ ）
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．z是方程的一个根
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则有（ ）
A． B． C． D．
11．若向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，同向，则
B．与垂直的单位向量一定是
C．若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量），则
D．若与所成角为锐角，则n的取值范围是
12．已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，如图所示，将沿MN折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．当四棱锥的体积最大时，二面角为直二面角
B．在折起过程中，存在某位置使平面
C．当四棱锥体积的最大时，直线与平面MNCB所成角的正切值为
D．当二面角的余弦值为时，的面积最大
三、填空题．（本题共4小题．每小题5分，共20分）
13．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为______．
14．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．
15．甲，乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76，方差为96；乙班的平均成绩为85，方差为60．那么甲，乙两班全部90名学生成绩的方差是______．
16．在中，若，，则面积的最大值为______．
四、解答题．（共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（本题10分）已知平面向量、满足，，与的夹角为45°．
（1）求的值；
（2）若向量与平行，求实数的值．
18．（本题12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，．
（1）求证：直线平面PAC；
（2）求直线PB与平面PAD所成角的正切值．
19．（本题12分）我校在2023年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；
（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
20．（本题12分）为普及国防科学知识，某学校组织知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲，乙胜出的概率分别为，．甲乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
21．（本题12分）如图所示，现有一张边长为10cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形，，（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩形，，折起，构成一个以为底面的无盖正三棱柱．
（1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；
（2）求所折成的正三棱柱的表面积为，求该三棱柱的体积．
22．（本题12分）锐角的三个内角是A、B、C，满足．
（1）求角A的大小及角B的取值范围；
（2）若的外接圆的圆心为O，且，求的取值范围．
