21.2.2 解一元二次方程--公式法 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
21.2.2 解一元二次方程--公式法
人教版九年级上册
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式 .
ax2+bx+c=0(a≠0)
2.用配方法解方程2x2+3x+1=0.
解：移项，得 2x2+3x=﹣1
系数化1，得 x2+x=
配方，得 x2+x+=
开平方，得 x+=
∴ x1=，x2=﹣1
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1.移项；
2.二次项系数化1；
3.配方；
4.开平方；
5.定解.
教学目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.能够利用根的判别式判断根的情况和运用公式法解一元二次方程.
新知探究
对于一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，请你尝试用配方法来解此方程？
解：移项，得 ，
系数化1，得 ,
配方，得 ,
ax2+bx=﹣c
x2+x=
x2+x+
,
问题：接下来能用直接开平方解吗？
新知探究
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有 情况：
三种
(1)
<0
(2)
=0
(3)
>0
方程无实数根．
(1)
<0
0
方程有两个相等的实数根．
(2)
=0
0
新知探究
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有三种情况：
方程有两个不相等的实数根．
(3)
>0
>0
,
新知小结
∵a≠0 ∴4a2＞0，∴b2-4ac有三种情况：
（1）b2-4ac＞0
（2）b2-4ac=0
（3）b2-4ac＜0
方程无实数根
新知小结
一般地，式子 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ＝b2 4ac．
知识点1
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有三种情况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根．
注意：一元二次方程有实根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根这两种情况，此时 Δ ≥ 0，不要漏掉等号．
新知小结
判断方程根的情况的方法：
1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；
2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相等的实数根；
3．当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判断根的情况．
新知探究
一元二次方程根的判别式的应用：
1．不解方程，判断方程根的情况；
2．根据方程根的情况，确定方程中的字母的取值范围；
3．应用判别式证明方程根的情况．
新知典例
例1 若关于 x 的一元二次方程 kx2 4x+2=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ．
k<2且k 0
解：因为关于 x 的一元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
所以 k≠0且Δ＞0，即 (-4)2-4×k×2＞0，
解得 k＜2且 k≠0，
所以k的取值范围为 k＜2且 k≠0．
新知练习
1.若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范围是( )
D
A． a＜1 B． a＞1
C． a≤1 D． a≥1
解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a有实数根，
方程转化为（x-2) 2+1= a ，要使方程成立，即a-1≥0，
解得a≥1 ，所以a的取值范围为 a≥1 ．
新知典例
例2 若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1＝0没有实数解，求ax+3＞0的解集（用含a的式子表示）.
解：
∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1＝0没有实数根.
∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)＝4a2-4a2+4a+8＜0，
∴a＜-2，
∵ax+3＞0即ax＞-3，∴ ，
∴所求不等式的解集为
新知练习
3. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等实数根，求的解集（用含a的式子表示）.
解：
∵b2－4a=0,
∴b2=4a,
b2－4ac
Δ
两个不相等
两个相等
没有
有两个不相
等的实数根
课堂总结
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac．
判别式的情况 根的情况
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
两个不相等的实根
两个相等的实根
无实根
课堂练习
1.利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)；
两个不相等的实根
两个相等的实根
Δ=
Δ=
(2) 25x2-20x+4=0．
2.方程2x2＋3x＝1中，b2－4ac的值为( )
A.1　　　 B.－1　　　
C.17　　　 D.－17
3.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A.4x2－5x＋2＝0 B.x2－6x＋9＝0
C.5x2－4x－1＝0 D.3x2－4x＋1＝0
课堂练习
C
A
课堂练习
4.关于 x 的方程 m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 ．
解：因为a=m 2 ，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根，
所以Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4m2=1+4m＞0，
所以m＞．
又因为二次项系数不为0，
所以m≠0，
即m＞ 且m≠0．
课堂练习
5.关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.
解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，
∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0，解得m≤1，
∵m为正整数，∴m＝1，
∴x2－2x＋1＝0，则(x－1)2＝0，解得x1＝x2＝1.
课堂练习
6.若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A.k≤ B.k＞
C.k＜且k≠1 D.k≤且k≠1
D
课堂练习
k>-3
C
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin