高中数学信息题选编[下学期]

高中数学信息给予题选编
1．一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f (x)的值域为（－1，1）；
乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；
丙：若规定对任意恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过
个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①；②
③；④其中是一阶格点函数的有 ①②④（填上所有满足题
的序号）
3若判断框内填入则下面的程序框图输出的结果为132
4. 给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是
第一个数是1，
第二数比第一个数大1，
第三个数比第二个数大2，
第四个数比第三个数大3，……
以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题
的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行
框②处应分别填入（ ）
A．i≤30?；p = p + i－1
B．i≤29?；p = p + i + 1
C．i≤31?；p = p + i
D．i≤30?；p = p + i
5. 观察等式：，和
,…，由此得出以下推广命题不正确的是 ①
①；
②；
③；
④.
6．定义域为D的函数和，若对于任意的总有那么称可被替代（通常≠）.
（1）试找出一个可以替代函数的函数，且≠；
（2）试判断函数是否可被一次函数替代，并说明理由.
解：（1）由定义解得，取即可.
（2），
令，则.
令，
当上是减数函数；
当，所以在（4，6）上是增函数.
的极小值是，又，，
，

7．有一种波，其波形为函数的图象，若其在区间[0，]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数的最小值是 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知函数，给出下列四个命题：
①为奇函数的充要条件是；
②的图象关于点对称；
③当时，方程的解集一定非空；
④方程的解的个数一定不超过2个。
其中正确命题的序号是 ①②③ 。（写出所有正确命题的序号）
9．若,则有①②;③;.现设双曲正弦函数,双曲余弦函数,类比上述三个结论,可得到与的关系式正确的为 ② (只要写 出对应的序号).
10．在北京召开的国际数学大会会标如图所示，它是
由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一
个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方
形的面积是1，小正方形面积是，则
的值为
11．已知集合A=，B=，若中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的顶点，则正数的值
12． 对于函数y=()( D，D为函数定义域)，若同时满足下列条件：
① f()在定义域内单调递增或单调递减；
存在区间[a ，b]，使()在[a ，b]上的值域是[a ，b]。
那么把 = ()(x称为闭函数．
(Ⅰ)?求闭函数 = –3符合条件②的区间[a，b]；
(Ⅱ)判定函数()= 是否为闭函数？并说明理由；
(Ⅲ) 若=是闭函数，求实数的取值范围
解 (Ⅰ)由=3在[a ，b]上为减函数，
得 可得a = –1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[–1，1]．
(Ⅱ)取1 = 1 ， 2 = 10，可得()不是减函数；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．
(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a ，b]，则
故a ， b是方程=的两个实根，命题等价于
有两个不等实根．
当k时，解得：，∴ ；
当时，这时无解．
所以 k的取值范围是．
13.定义的数表平方运算规则是：
，则_________.
14、下列四个命题：是否需要在“ ”处添加一个条件才能构成真命题？如需要，请填写这个条件，如不需要，请把“ ”用“/”划掉（全部正确得5分，漏一个或错一个得0分）
①； ②；
③；
④
14、① ②（或与垂直） ③/ ④（4，0）
15．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图2所示产的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中有白色地砖 4n+2 块.
16．给出下列五个命题，其中所有正确命题的序号是 ③④
①若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称。
②x<2是|x|<2的充分非必要条件；
③在ΔABC中，A>B是的充要条件；
④函数为奇函数的充要条件是=0；
17．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示. 据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于6.25毫克时，治疗疾病有效.则服药一次治疗该 疾病有效的时间为( )
A．4小时 B。小时 C。小时 D。5小时
18．定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=
｛｝，则集合A⊙B的所有元素之和为
A．1 B。0 C。 D。
19.同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足，则 , （结论用数学式子表示）.
，
20．对于任意函数，可按如图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据，经过数列发生器输出；
②若，则数列发生器结束工作；
若，则将反馈回输入端，再输
出，依此类推。
现给出，D=（0，1000）。若输入，则发生器结束工作时，输出数
据的总个数为
A．8 B．9 C．10 D．11
21．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：
(a，b) = (c，d)，当且仅当a = c，b = d时成立.
运算“”为：，
运算“”为：
现设= （2，0）
22．已知是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n∈（0，
+∞））满足
（1）求；
（2）若，解不等式；
（3）求证：.
解：（1）令m=n=1，由，得
∴
（2）∵， ∴
又在（0，+∞）上单调递增，
∴0（3）∵在（0，+∞）上单调递增，
∴
又
∴
∵ ∴
∴， ∴
又∵
∴ ∴
4b－b2－2=a2，考虑到0∴
∴
天星教育网(www.tesoon.com) 版权所有
23．已知△ABC中满足()2＝·＋·＋·，a、b、c分别是△ABC的三边．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状并求sinA＋sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，对任意的a、b、c都成立，求k的取值范围．
解：（Ⅰ）∵()2＝·＋·＋·，
()2＝·(＋)＋· 即()2＝·＋·，
即·＝0，△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形，
∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ，
∴sinA＋sinB的取值范围为．
（Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA．
若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，对任意的a、b、c都成立，
则有≥k，对任意的a、b、c都成立，
∵ 
＝[c2sin2A(ccosA＋c)＋c2cos2A(csinA＋c)＋c2(csinA＋ccosA)]
＝[ sin2AcosA＋cos2A sinA＋1＋cosA＋sinA]
＝cosA＋sinA＋
令t＝sinA＋cosA，t∈，
设f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1．
f(t)＝t－1＋＋1，当t－1∈ 上时 f(t)为单调递减函数，
∴当t＝时取得最小值，最小值为2＋3，即k≤2＋3，
所以k的取值范围为（－∞，2＋3]．
24.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数的图象恰好通过个格点,则称函数为阶格点函数.下列函数:①;②;③;④,其中是一阶格点函数的有__①②④
25．在网络游戏《变形》中，主人公每过一关都以的概率变形（即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”），若将主人公过n关不变形的概率计为Pn，则
A．P5>P4 B．P8P16
26．现有一块正三棱锥形石料，其三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长为1m，若要将这块石料打磨成一个石球，则所得石球的最大半径约为
A．0.18m　　 　 B．0.21m　 　C．0.24m　 D．0.29m
27.关于数列3，9，…，729，以下结论正确的是
A.此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列
B.此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列
C.此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列
D.此数列能构成等差数列，也能构成等比数列
28，烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染. 已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比.（比例系数为k）.若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y.
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓
度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，，可得BC=20-x；
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：
，
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得
；
令，得；
又，∴.
∵当时，；当时，，
∴当时，y取最小值.
故存在点C，当时，该点的烟尘浓度最低.
29．如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线交于点P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；
（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：
“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，
则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请
问：此命题是否正确？试证明你的判断；
（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并
证明其真假.（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据）
注：椭圆和双曲线的准线所满足的条件为：曲线上任意一点到一个焦点的距离和到这个焦点所对应的准线的距离的比等于曲线的离心率.
解：（Ⅰ）过F作l的垂线交l于K，以KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p，则可得该该抛物线的
方程为 .
（Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：
如图2，设PQ中点为M，P、Q、M在抛物线
准线l上的射影分别为A、B、D，
∵PQ是抛物线过焦点F的弦，
∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB
的中位线，
∴ .
∵M是以PQ为直径的圆的圆心，∴圆M与l相切.
（注：也可利用方程及坐标证明）. ……………8分
（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为：
“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，
则以PQ为直径的圆一定与椭圆相应的准线l相离”.
此命题为真命题，证明如下：
证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，
则0∵，∴； 同理得 .
∵|MD|是梯形APQB的中位线，
∴.
∴圆M与准线l相离.
选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：
“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与双曲线相应的准线l相交”. 此命题为真命题，证明如下：……………………11分
证明：设PQ中点为M，双曲线的离心率为e，则e>1，P、Q、M在相应准线l上的 射影分别为A、B、D，
∵，∴； 同理得 .
∵|MD|是梯形APQB的中位线，
∴.
∴圆M与准线l相交.
30．有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：① 骰子出现1点时，不翻动硬币；② 出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③ 出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上. 按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为Pn.
（Ⅰ）求证：，点（Pn ，Pn+1）恒在过定点（，），斜率为的直线上；
（Ⅱ）求数列{Pn}的通项公式Pn；
（Ⅲ）用记号表示数列{}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列，，…，，… 的前n项和Tn.
解：（Ⅰ）设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1，此时有两种情况：
① 第n次硬币正面朝上，其概率为Pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为；因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为.
② 第n次硬币反面朝上，其概率为1-Pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为； 因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为.
∴，变形得 .
∴点（Pn ，Pn+1）恒在过定点（，），斜率为的直线上.
（Ⅱ），，又由（Ⅰ）知：，
∴{}是首项为，公比为的等比数列，
∴，故所求通项公式为.
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{}是首项为，公比为的等比数列，又
∵（）是常数，
∴，，…，，…，也成等比数列，
且
从而 .
解法二：++…+
.
31．对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为，其中，若一个99项的数列的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为( )
A．991 B.992 C.993 D.999
32．定义一种运算“”对于正整数满足以下运算性质：
（1）；（2）,则的值是
33.关于函数，（是常数且＞0）。对于下列命题：
①函数的最小值是 -1；②函数在每一点处都连续；③函数在R上存在反函数；④函数在处可导；⑤对任意且，恒有。其中正确命题的序号是 ①②⑤
34．已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程．
（2）设直线与抛物线交于两点，且
，是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，得到和；按此方法继续下去．
解决下列问题：
 求证：；
 计算的面积；
 根据的面积的计算结果，写出
的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图
形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．
解：（1）由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离，得，
所以抛物线的方程为．
（只要得到抛物线方程，都得4分）
（2）由，得，（或）
当，即且时，
（或）
①由，即，得，
所以．
②由①知，中点的坐标为，点，
．-
③由问题②知，的面积值仅与有关，由于
，所以与的面积
，设
由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积
看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，
所以
即，
因此，所求封闭图形的面积为．
35．已知等比数列的首项为16，是其前项的和，某同学经计算得，，后来该同学发现，其中一个值错了，则该值为
（A） （B） （C） （D）
36．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝则数列{an}的前2007项的和为
A．5×22008－2008 B．3×22007－5020 C．6×22006－5020 D．6×21003－5020
37已知函数的定义域为，导数满足0＜＜2 且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根．（Ⅰ）若对任意，存在，使等式成立．试问：方程有几个实数根；（Ⅱ）求证：当时，总有成立；（Ⅲ）对任意，若满足，求证：。
解：（I）假设方程有异于的实根m，即．则有成立 ．因为，所以必有，但这与≠1矛盾，因此方程不存在异于c1的实数根．∴方程只有一个实数根．
（II）令，∴函数为减函数．又，
∴当时，，即成立．
（III）不妨设，为增函数，即．又，∴函数为减函数即．，即．，．
38．已知直线某学生作了如下变形：由
消去y后得到形如的方程，当A=0时，该方程有一解；当A≠0时，恒成立.假设学生的演算过程是正确的，则实数m的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
39．对于函数
，令集合，则集合M为 （ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
40 已知次多项式，如果在一种计算中，计算的值需要次乘法。计算的值共需要次运算（次乘法，次加法），那么计算的值共需要_ __________次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：，利用该算法，计算的值共需要次运算，计算的值共需要 _2n _____次运算。
41. 已知集合M＝{x|1≤x≤10，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以(－1)k再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是 2560 ．
42．7．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数的图象
与的图象关于 对称，则函数= .
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
(①x轴， ②y轴，)③原点， ④直线
43. 设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数。（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。
解：（1），。
（2）∵，∴函数的定义域为，令，则，，
∴，
∵时，，又时，递减，∴单调递增，
∴，即函数的值域为。
（3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则，
∵，则，要满足值域为，则要满足，
由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，
∴，
又在上是增函数，在上是减函数，∴，
综上，得 。
44．据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内。
年龄（岁）
30
35
40
45
50
55
60
65
……
收缩压
（水银柱/毫米）
110
115
120
125
130
135
（140）
145
……
舒张压
（水银柱/毫米）
70
73
75
78
80
73
85
（88）
……
45、已知函数（为正整数），若存在正整数满足：
，那么我们将叫做关于n的“对整数”．当[1，100]时，则“对整数”的个数为_______5_____个．
46设是由符合以下性质的函数组成的集合：对任意的０，(1,4]，且在[0，+∞)上是减函数.
（1）判断函数＝２－　及　＝１＋３(（）是否属于集合？并简要说明理由.
（2） 把（1）中你认为是集合中的一个函数记为，若不等式对于任意的０总成立，求实数的取值范围.
解： 1）∵f=2-=-5(1,4]
∴f不在集合A中
又∵x≥0, ∴0＜(≤1 ∴0＜3·(≤3 从而1＜1+3·(≤4 5分
∴f(x)∈(1,4]又f(x)=1+3·(在[0，+∞)上为减函数
∴f(x)=1+3·(在集合A中.
（2）当x≥0时，f(x)+f(x+2)=2+·(≤-
又由已知f(x)+f(x+2) ≤k对于任意的x≥0总成立,
∴k≥
因此所求实数k的取值范围是[,+∞)分
47设向量， (n为正整数)，函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列满足：
．
求证：．
求的表达式．
若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．
（注：与表示意义相同）
(1)证：对称轴， 所以在[0，1]上为增函数 -
(2)、解.由，得，
= 两式相减，
得-

(3)由(1)与（2）得
设存在自然数，使对，恒成立-
当时，
当时，， 当时，
当时，，当时，
所以存在正整数，使对任意正整数，均有

48．我们将一系列值域相同的函数称为“同值函数”，已知，，试写出的一个“同值函数”（除一次、二次函数外）___（1）_____________。
49 为了研究“两个定义在上的单调增函数经过运算以后的单调性”这一问题，
（1）、取 （），（），
计算，，判断其单调性，并将结论用数学语言表述。
（2）、由（1）得出的关于单调性的结论，对上的单调增函数都成立吗？若成立，给出证明；若不成立，举出反例；
（3）、请运用上述研究方法继续研究上的单调增函数经过其它某一种运算后的单调性。（只需要得出一个正确结论）
解（1） 为单调增函数。 1分
为单调减函数。 1分
结论：定义在上的两个单调递增函数之和为单调增函数，两个单调递增函数之差为单调减函数。 2分
（2）“定义在上的单调增函数之和为单调增函数”为真命题。1分
设
则
在上单调增，
即
↗ 3分
“定义在上的增函数之差为减函数”为假命题 1分
如，
则↗ 1分
（3）（本题为开放题，下面只提供了一种答案，其他结论请对照给分）
设上的增函数，若，则为增函数。
1分
设
=
为上的增函数，
又，
为上的增函数。 3分
或由也可以得出。
50．已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小1。
（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；
（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：
①过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由；
②研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。
解（1）到定点的距离等于到定直线的距离
轨迹为抛物线； 2分
轨迹方程为。 2分
（2）①设，
由 得， 2分
同理 2分
因此方程为
即 2分
令 得
2分
②设点为上一定点，则 1分
过作互相垂直的弦
设，，则，，

化简得即（*） 2分
假设过定点，则有
即化简得（**） 2分
比较（*）、（**）得，
过定点 1分
（如用其它方法，请对照给分）
51已知数列，， （），数列前项之和，（）.
（1）求证成等差数列； （2）求，通项公式；
（3）设，请你构造数列，（）使它前项之和 对任意恒成立，且恰好存在一个，使 .
解、（1）
是公差为2的等差数列。 3分
（2）
3分

当时， 3分
当时，也满足 1分
（3） 1分
要使恒成立，只要的最小值的最大值，
先求的最大值，由 1分
即得 1分
最大值 1分
构造且当且仅当时， 2分
当时， ，当时，
2分
52．对于实数，用表示不超过的最大整数，如，．
若为正整数，，为数列的前项和，则_____________．
52．我们用和分别表示实数中的最小者和最大者．
（1）设，，，函数的值域为，函数的值域为，求；
（2）数学课上老师提出了下面的问题：设，，…，为实数，，求函数
（）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值．
学生甲得出的结论是：，且无最大值．
学生乙得出的结论是：，且无最小值．
请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；
（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．
解（1），，∴ ．
（2）若选择学生甲的结论，则说明如下，
，于是在区间上是减函数，在上
是减函数，在上是增函数，在上是增函数。
所以函数的最小值是，且函数没有最大值．（10分）
若选择学生乙的结论，则说明如下，
，于是在区间上是增函数，在上是
增函数，在上是减函数，在上是减函数
所以函数的最大值是，且函数没有最小值．（10 分）（3）结论：
若，则；
若，则；
若，则，


以第一个结论为例证明如下：
∵ ，∴ 当时，
，是减函数，
当时，
，是增函数
当时，函数的图像是以点，，…，
为端点的一系列互相连接的折线所组成，
所以有．