28.1《锐角三角函数》教学设计人教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 28.1《锐角三角函数》教学设计人教版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 146.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-24 10:37:53 | ||
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文档简介
《锐角三角函数》教学设计
教学目标：
1，使学生经历探索锐角三角函数概念的过程，体会定义的“合理性”；
2，构建探求锐角的正弦的定义方法，理解锐角的正弦概念；
3，会求锐角的正弦值；
4，构建建模的数学思想 ；
5，体会从特殊到一般的研究方法.
教学重点：
1，正弦概念的提出；
2，探索锐角的正弦的定义方法；
3，会求锐角的正弦值.
教学难点：
1，正弦概念的提出；
2，直角三角形中锐角的对边与斜边的比为定值的证明.
学生分析：
掌握三角函数的正弦内容的合理性，对学生来说比较具有挑战性，特别是教学过程中， 得到的结论“当A 的度数一定时，它的对边与斜边的比都等于一个固定值”是学生难以接受的，所以本节课循序渐进，先利用实际生活引入，再由特殊到一般、最后用信息技术手段去验证，让问题迎刃而解，学生也更容易接受.
教学内容分析：
前面我们已经研究过直角三角形中的边与边之间的关系（勾股定理）、角与角之间的关系（两锐角互余）.本章主要是引入锐角三角函数建立直角三角形中的边角关系，并利用相关知识解决与直角三角形有关的度量问题.
教学媒体与资源的选择与应用：
本节课主要利用的媒体资源是计算机、几何画板.教师利用多媒体课件创设情境，帮助学生思考，为学生观猜想创造条件，利用几何画板验证结论.
教学实施过程：
1，创设情境，导入新课
师：通过比萨斜塔的背景材料提出问题：
问 1：你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？ 问 2：上述问题可以抽象出什么几何图形？转化为什么数学问题？
（已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数）
师：对于直角三角形，我们已经知道了三边之间的关系和两个锐角之间的关系，那它 们边、角又有什么关系呢？
板书：从实际需要看，边、角的关系从数学角度，边、角的关系
本章我们将通过锐角三角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角 函数等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题.
2，探究发现，形成概念
问题 如图，为了绿化荒山，市绿化办打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡的坡角为 30°，为使出水口的高度为 35m,需要准备多长的水管？
问 3：这个问题可以抽象为什么数学问题呢？如何解决这个问题？
这个问题可以归结为： 在 RtABC 中， C 90 , A 30 , BC 35m ，求 AB .
（在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）
问 4：在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 如果出水口的高度为 a m, 那么需要准备多长的水管？
思考 1：由这些结果，你能得到什么结论？
思考 2：任意画一个 RtABC ，使C 90 , A 45 ，计算A 的对边与斜边的比.
A的对边 BC 2
斜边 AB 2
思考 3：任意画一个 RtABC ，使C 90 , A 60 ，计算A 的对边与斜边的比.
A的对边 BC 3
斜边
列表:
AB 2
A 30° 45° 60° ……
A的对边斜边 1 2 2 2 3 2 ……
猜想：由上述结论可知，在 RtABC 中， C 90 , 当A 的度数是特殊值时，它的对边与斜边的比都等于一个固定值；当锐角 A 的度数一定时，你能猜想出什么结论呢？
（在《几何画板》软件平台中演示、验证猜想的特殊情况）
证明：任意画 RtABC
和 RtA/ B /C / ，使得
C C /
90, A A/ , 那么
BC B /C /
与
AB A/ B /
有什么关系？你能解释一下吗？
（师引导学生将上述猜想用数学符号语言表示并画图，并且提出找到证明猜想的方法）
B/
A/ C /
板书：在 RtABC 中， C 90 , 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 正弦，即
sin A A的对边 a
斜边 c
（ sin A 的值随着A 的变化而变化） sin A 叫做A 的正弦函数. 问 5：当A 30 时， A 的正弦为多少？当A 45 呢？
（稍微强调sin A ， sin 30 ， sin DEF 的书写）
3，例题示范，理解概念
应用：比萨斜塔的塔顶中心点偏离垂直中心线 2.1m,塔高 54.5m.求塔身中心线与垂直中心线所成的角 的正弦值. 2.1m
例 1 ，如图，在在 RtABC 中， C 90 , 求sin A 和sin B 的值.
（1） （2）
54.5m
问题：在 RtABC 中，已知
C 90 , A 30 , BC 35m
，求 AB .
变式：在 RtABC 中，已知
C 90 , sin A 2 , AB 10 ，求 BC .
5
结论：在sin A
一个量.
A的对边斜边
a 中，如果三个量中知道其中两个量，可以求出另外
c
4，了解三角函数的相关数学史
5，课堂总结，
本节课我们学习了哪些知识？
研究锐角正弦的思路是如何构建的？
6，课堂练习，提升能力课本第 64 页练习题
教学评价与反思：
本节课主要是利用比萨斜塔的背景资料引出主题，在引入时，为了避免学生对课本中一些词语理解的障碍，所以教师简化了背景的叙述，同时也为学生抽象直角三角形作出铺垫； 然后教师通过提问从实际需要和数学内部的需要引入课题，激发学生的求知欲，这两个过程
也让学生体会了数学建模的思想，让学生学会把实际问题转化为数学问题；在得到结论之前， 教师利用三个思考题进行追问，让学生通过类比的思想，强化“对边与斜边的比”的关注， 为最后的结论作铺垫；本节课，让学生进行大胆的猜测，为学生自主探究提供了空间；最后利用计算机技术手段进行验证，让学生体会“猜想-验证-证明”的学习方法；通过一系列问题，让学生经历从特殊到一般的学生方式；教学过程中有两个个问题：1，一直是老师在引导，没有发挥学生的主动意识；2，有个学生在解决比萨斜塔的问题时，大胆预测倾斜角小于 45°，老师没有给予肯定.在以后的教学中，应该提前预测学生的问题，并且老师应该要有前瞻性，比如这节课所学的内容与高中的知识有联系，教师可以在学生疑惑时予以点拨， 给出正确的方向.
三角函数相关数学史：
三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元 1600 年，实际导源于希腊文 trigono (三角)和 metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份， 后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
西方的发展
三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约 150 年，早在公元前 300 年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前 600 年左右古希腊学者泰勒斯，利用相似三角形的原理测出金字塔的高， 成为西方三角测量的肇始。公元前 2 世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea） 为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了“三角学之父” 的称谓。
公元 2 世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13 卷，包括从 0°到 90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
中国的发展
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。 据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为“重差术”。1631 西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653 年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以“三角”取代“大测”，确立了“三角”名称。1877 年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。
现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展 于 20 世纪中。正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783） 在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为 60；印度人阿耶波多（约 476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径
600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为 107。因此，当时的三角函数实际上是定
圆内的一些线段的长。
意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称 AB 为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下图）， 而利提克斯却把它称为∠AOB 的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆 O 成为从属地位了。
A
(
B
D
)0 P
C
到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为 1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
教学目标：
1，使学生经历探索锐角三角函数概念的过程，体会定义的“合理性”；
2，构建探求锐角的正弦的定义方法，理解锐角的正弦概念；
3，会求锐角的正弦值；
4，构建建模的数学思想 ；
5，体会从特殊到一般的研究方法.
教学重点：
1，正弦概念的提出；
2，探索锐角的正弦的定义方法；
3，会求锐角的正弦值.
教学难点：
1，正弦概念的提出；
2，直角三角形中锐角的对边与斜边的比为定值的证明.
学生分析：
掌握三角函数的正弦内容的合理性，对学生来说比较具有挑战性，特别是教学过程中， 得到的结论“当A 的度数一定时，它的对边与斜边的比都等于一个固定值”是学生难以接受的，所以本节课循序渐进，先利用实际生活引入，再由特殊到一般、最后用信息技术手段去验证，让问题迎刃而解，学生也更容易接受.
教学内容分析：
前面我们已经研究过直角三角形中的边与边之间的关系（勾股定理）、角与角之间的关系（两锐角互余）.本章主要是引入锐角三角函数建立直角三角形中的边角关系，并利用相关知识解决与直角三角形有关的度量问题.
教学媒体与资源的选择与应用：
本节课主要利用的媒体资源是计算机、几何画板.教师利用多媒体课件创设情境，帮助学生思考，为学生观猜想创造条件，利用几何画板验证结论.
教学实施过程：
1，创设情境，导入新课
师：通过比萨斜塔的背景材料提出问题：
问 1：你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？ 问 2：上述问题可以抽象出什么几何图形？转化为什么数学问题？
（已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数）
师：对于直角三角形，我们已经知道了三边之间的关系和两个锐角之间的关系，那它 们边、角又有什么关系呢？
板书：从实际需要看，边、角的关系从数学角度，边、角的关系
本章我们将通过锐角三角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角 函数等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题.
2，探究发现，形成概念
问题 如图，为了绿化荒山，市绿化办打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡的坡角为 30°，为使出水口的高度为 35m,需要准备多长的水管？
问 3：这个问题可以抽象为什么数学问题呢？如何解决这个问题？
这个问题可以归结为： 在 RtABC 中， C 90 , A 30 , BC 35m ，求 AB .
（在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）
问 4：在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 如果出水口的高度为 a m, 那么需要准备多长的水管？
思考 1：由这些结果，你能得到什么结论？
思考 2：任意画一个 RtABC ，使C 90 , A 45 ，计算A 的对边与斜边的比.
A的对边 BC 2
斜边 AB 2
思考 3：任意画一个 RtABC ，使C 90 , A 60 ，计算A 的对边与斜边的比.
A的对边 BC 3
斜边
列表:
AB 2
A 30° 45° 60° ……
A的对边斜边 1 2 2 2 3 2 ……
猜想：由上述结论可知，在 RtABC 中， C 90 , 当A 的度数是特殊值时，它的对边与斜边的比都等于一个固定值；当锐角 A 的度数一定时，你能猜想出什么结论呢？
（在《几何画板》软件平台中演示、验证猜想的特殊情况）
证明：任意画 RtABC
和 RtA/ B /C / ，使得
C C /
90, A A/ , 那么
BC B /C /
与
AB A/ B /
有什么关系？你能解释一下吗？
（师引导学生将上述猜想用数学符号语言表示并画图，并且提出找到证明猜想的方法）
B/
A/ C /
板书：在 RtABC 中， C 90 , 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 正弦，即
sin A A的对边 a
斜边 c
（ sin A 的值随着A 的变化而变化） sin A 叫做A 的正弦函数. 问 5：当A 30 时， A 的正弦为多少？当A 45 呢？
（稍微强调sin A ， sin 30 ， sin DEF 的书写）
3，例题示范，理解概念
应用：比萨斜塔的塔顶中心点偏离垂直中心线 2.1m,塔高 54.5m.求塔身中心线与垂直中心线所成的角 的正弦值. 2.1m
例 1 ，如图，在在 RtABC 中， C 90 , 求sin A 和sin B 的值.
（1） （2）
54.5m
问题：在 RtABC 中，已知
C 90 , A 30 , BC 35m
，求 AB .
变式：在 RtABC 中，已知
C 90 , sin A 2 , AB 10 ，求 BC .
5
结论：在sin A
一个量.
A的对边斜边
a 中，如果三个量中知道其中两个量，可以求出另外
c
4，了解三角函数的相关数学史
5，课堂总结，
本节课我们学习了哪些知识？
研究锐角正弦的思路是如何构建的？
6，课堂练习，提升能力课本第 64 页练习题
教学评价与反思：
本节课主要是利用比萨斜塔的背景资料引出主题，在引入时，为了避免学生对课本中一些词语理解的障碍，所以教师简化了背景的叙述，同时也为学生抽象直角三角形作出铺垫； 然后教师通过提问从实际需要和数学内部的需要引入课题，激发学生的求知欲，这两个过程
也让学生体会了数学建模的思想，让学生学会把实际问题转化为数学问题；在得到结论之前， 教师利用三个思考题进行追问，让学生通过类比的思想，强化“对边与斜边的比”的关注， 为最后的结论作铺垫；本节课，让学生进行大胆的猜测，为学生自主探究提供了空间；最后利用计算机技术手段进行验证，让学生体会“猜想-验证-证明”的学习方法；通过一系列问题，让学生经历从特殊到一般的学生方式；教学过程中有两个个问题：1，一直是老师在引导，没有发挥学生的主动意识；2，有个学生在解决比萨斜塔的问题时，大胆预测倾斜角小于 45°，老师没有给予肯定.在以后的教学中，应该提前预测学生的问题，并且老师应该要有前瞻性，比如这节课所学的内容与高中的知识有联系，教师可以在学生疑惑时予以点拨， 给出正确的方向.
三角函数相关数学史：
三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元 1600 年，实际导源于希腊文 trigono (三角)和 metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份， 后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
西方的发展
三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约 150 年，早在公元前 300 年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前 600 年左右古希腊学者泰勒斯，利用相似三角形的原理测出金字塔的高， 成为西方三角测量的肇始。公元前 2 世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea） 为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了“三角学之父” 的称谓。
公元 2 世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13 卷，包括从 0°到 90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
中国的发展
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。 据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为“重差术”。1631 西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653 年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以“三角”取代“大测”，确立了“三角”名称。1877 年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。
现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展 于 20 世纪中。正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783） 在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为 60；印度人阿耶波多（约 476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径
600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为 107。因此，当时的三角函数实际上是定
圆内的一些线段的长。
意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称 AB 为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下图）， 而利提克斯却把它称为∠AOB 的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆 O 成为从属地位了。
A
(
B
D
)0 P
C
到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为 1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。