第一章 直角三角形的边角关系 回顾与思考 第1课时教学设计 北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 第一章 直角三角形的边角关系 回顾与思考 第1课时教学设计 北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 906.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-24 10:43:12 | ||
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文档简介
直角三角形的边角关系
回顾与思考（第1课时）
一、教学内容
北师大版《义务教育教科书·数学》九年级下册第一章回顾与思考第一课时。
二、教材分析
（一）教材的地位与作用
本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“转化思想、数形结合思想、方程思想、从特殊到一般的思想、数学的建模思想。”加深学生对本章知识的理解，提升学生应用本章知识的能力。
（二）教学目标
1、以问题的形式梳理本章的内容，进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。进一步会运用三角函数知识解直角三角形，并能解决与直角三角形有关的实际问题。
2、在练习过程中，进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
3、通过本节课的学习，在熟练掌握知识的基础上提升解决实际问题能力，培养学习数学的兴趣。
（三）教学重点、难点
教学重点：能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题。
突出策略：通过例题讲解和练习的分析与知识归纳，加深学生对本章知识的理解。
教学难点：能将实际问题转化为数学问题，及时地把有关知识上升为数学经验。
突破策略：通过例题及练习的思考与分析提升学生的能力。
（四）教材处理
（1）为能更好地体现知识结构的完整性和系统性，本节课分为知识梳理、考点讲练以及总结归纳这样三部分。
（2）针对九年级学生的知识结构和心理特征，始终突出学生的主体地位。根据思维导图，以问题串、考点分类的形式对本章的知识要点进行回顾和思考，更深入的理解直角三角形的边角关系，掌握特殊角的三角函数值，并能用三角函数解直角三角形，能把简单的实际问题转化为数学问题。使学生真正成为知识的梳理者、问题的解决者、愉快的收获者。整个教学过程遵循学生的认知规律和思想规律和的和谐统一。
总之，教材处理力求在深挖直角三角形边角关系的内涵与外延；深化练习效用的过程中达到培养学生创新意识、实践能力，同时让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活。
三、教学方法与手段
（1）本节课在教法上体现教师的“启发引导”，帮助学生进行知识梳理；在学法上突出学生的“分类归纳”，帮助学生进行方法总结。
（2）借助多媒体课件，使师生之间具备更好的交互性。数学理论的表述往往是抽象的，而图形则以其生动、直观的形象展现于学生的面前，以帮助理解、记忆抽象的数学内容。
（3）通过微课，将利用直角三角函数测高问题从静态方案变为动态模拟，实现有形、有变化过程的“活”的图形的数形结合。抽象变为形象，使探索过程更形象、更逼真，以此激发学生的学习兴趣，激励学生探究。不仅改进了问题的呈现方式，更使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，更好的实现教学目标。
四、教学程序
本节课设计了四个教学环节：知识梳理——考点讲练——归纳总结——布置作业。
第一环节 知识梳理
设计内容：总结归纳直角三角形的边、角相关系，以及本章基础知识点。
1、直角三角形三边的关系: 勾股定理.
2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余.
3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
4、互余两角之间的三角函数关系:
同角之间的三角函数关系:
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值。
6、解直角三角形。
7、三角函数的应用。
思维导图：
设计意图：通过知识归纳总结，让学生对本章知识点有了更全面、更清晰的认识和理解，通过微课，将利用直角三角函数应用的测高问题从静态方案变为动态模拟，为下一环节的教学打下了基础，更使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，更好的实现教学目标。
第二环节 考点讲练
设计内容：
考点1：特殊角的三角函数值及其相关计算
1、cos30°的值等于（ ）
2、在△ABC中，若∠A、∠B满足 ，则∠C的大小是 （ ）
3、计算：
设计意图：通过做几道练习题，巩固特殊角的三角函数值的基础目标，熟练应用三角函数值及其对应的锐角度数间的互换。
考点2：直角三角形的边角关系
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3， 则sinB=（ ）
5、如图，A,B,C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
6、在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA= ,则tanB=（ ）
7、在△ABC中，BC=12,tanA= ,∠B=30°,求AC和AB的长。
设计意图：巩固基本解题能力，熟练应用直角三角形的边角关系求解，渗透数形结合思想、转化思想。
考点3：锐角三角形的实际应用
类型一：“背对背”型（在三角形内作高）
8、如果货船在A岛南偏东60°的B处由东向西直线航行80海里，到达了该岛的南偏西45 的G处，问航行中离该岛最近的距离是多少？
9、如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°，45°，如果无人机距地面高度CD为 米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是多米？
类型二：“母子型”（在三角形外作高）
10、如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78米，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数，tan48°≈1.11，tan58°≈1.60）.
11、为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．
设计意图： 通过对三角函数的应用进行分类的方式让学生明晰本章的重点内容。增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转化为数学问题能力，使学生的解题能力都能到了巩固和提高，渗透“数形结合思想、转化思想、方程思想、”等思想方法。
第三环节 归纳与总结
设计内容：师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系，一起构建本章知识框架图。
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深学生对“直角三角形的边角关系”的认识和理解。通过框架图不断完善，清晰展现本章知识点之间的内在联系。明确解题中需要把实际问题转化为数学问题，数形结合思想、转化思想。对整个课堂的学习过程进行反思，促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环。培养学生自我反馈、自主发展的意识。
第四环节 作业布置
设计内容：A组 复习题3、6、9、12、16题
B组 复习题3、6、9、12、19题
C组 复习题3、6、9、11、16题、选作题
1、在Rt△ABC中， ∠C=90°，如果sinA，cosB是方程 的两实根，求m的值和∠A的度数是多少？
2、如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．
桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
设计意图；在布置练习题时，坚持 “不同学生有不同的学习需要”的原则，设计三层次练习题，使每个学生都能得到相应的提升，体现了因材施教的教学原则。使每一个教学环节都严格的遵循课程标准，加强学生对三角函数与其他运算公式结合的的运算能力，巩固利用三角函数解决楼高的实际问题。
五、设计说明
1．切合学生认知水平，练习提升适度
通过对考点进行由浅入深整合，这可以让不同层次的学生都有不同的学习机会，绝大部分学生都能学到自己需要的知识。而且练习题难度层层深入，让学生容易接受，是他们逐步进入学习状态。教学过程环环相扣，整节课围绕教学目标，达到了较好的学习效果。
2．坚持练习和知识点归纳的相结合复习方式
单元复习课要注意练习和知识归纳兼顾。在这节课里，我先和学生一起把本章的知识框架图呈现出来；接着按照对考点进行分类的方式让学生巩固基础（考点1、考点2）。在三角函数的实际应用问题（考点3）中，同样采取归纳分类的方式，层次结构明晰，课堂衔接平滑，学生容易接受。最后再对本章内容进行全面的概述并完善知识框架图，使学生对本章知识有了系统的认识。
总而言之，本节课体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。突破了的传统教学模式，利用多媒体课件和微课的方式改进了问题的呈现方式，更使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，更好的实现教学目标，实现了“以生为本教育”。
回顾与思考（第1课时）
一、教学内容
北师大版《义务教育教科书·数学》九年级下册第一章回顾与思考第一课时。
二、教材分析
（一）教材的地位与作用
本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“转化思想、数形结合思想、方程思想、从特殊到一般的思想、数学的建模思想。”加深学生对本章知识的理解，提升学生应用本章知识的能力。
（二）教学目标
1、以问题的形式梳理本章的内容，进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。进一步会运用三角函数知识解直角三角形，并能解决与直角三角形有关的实际问题。
2、在练习过程中，进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
3、通过本节课的学习，在熟练掌握知识的基础上提升解决实际问题能力，培养学习数学的兴趣。
（三）教学重点、难点
教学重点：能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题。
突出策略：通过例题讲解和练习的分析与知识归纳，加深学生对本章知识的理解。
教学难点：能将实际问题转化为数学问题，及时地把有关知识上升为数学经验。
突破策略：通过例题及练习的思考与分析提升学生的能力。
（四）教材处理
（1）为能更好地体现知识结构的完整性和系统性，本节课分为知识梳理、考点讲练以及总结归纳这样三部分。
（2）针对九年级学生的知识结构和心理特征，始终突出学生的主体地位。根据思维导图，以问题串、考点分类的形式对本章的知识要点进行回顾和思考，更深入的理解直角三角形的边角关系，掌握特殊角的三角函数值，并能用三角函数解直角三角形，能把简单的实际问题转化为数学问题。使学生真正成为知识的梳理者、问题的解决者、愉快的收获者。整个教学过程遵循学生的认知规律和思想规律和的和谐统一。
总之，教材处理力求在深挖直角三角形边角关系的内涵与外延；深化练习效用的过程中达到培养学生创新意识、实践能力，同时让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活。
三、教学方法与手段
（1）本节课在教法上体现教师的“启发引导”，帮助学生进行知识梳理；在学法上突出学生的“分类归纳”，帮助学生进行方法总结。
（2）借助多媒体课件，使师生之间具备更好的交互性。数学理论的表述往往是抽象的，而图形则以其生动、直观的形象展现于学生的面前，以帮助理解、记忆抽象的数学内容。
（3）通过微课，将利用直角三角函数测高问题从静态方案变为动态模拟，实现有形、有变化过程的“活”的图形的数形结合。抽象变为形象，使探索过程更形象、更逼真，以此激发学生的学习兴趣，激励学生探究。不仅改进了问题的呈现方式，更使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，更好的实现教学目标。
四、教学程序
本节课设计了四个教学环节：知识梳理——考点讲练——归纳总结——布置作业。
第一环节 知识梳理
设计内容：总结归纳直角三角形的边、角相关系，以及本章基础知识点。
1、直角三角形三边的关系: 勾股定理.
2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余.
3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
4、互余两角之间的三角函数关系:
同角之间的三角函数关系:
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值。
6、解直角三角形。
7、三角函数的应用。
思维导图：
设计意图：通过知识归纳总结，让学生对本章知识点有了更全面、更清晰的认识和理解，通过微课，将利用直角三角函数应用的测高问题从静态方案变为动态模拟，为下一环节的教学打下了基础，更使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，更好的实现教学目标。
第二环节 考点讲练
设计内容：
考点1：特殊角的三角函数值及其相关计算
1、cos30°的值等于（ ）
2、在△ABC中，若∠A、∠B满足 ，则∠C的大小是 （ ）
3、计算：
设计意图：通过做几道练习题，巩固特殊角的三角函数值的基础目标，熟练应用三角函数值及其对应的锐角度数间的互换。
考点2：直角三角形的边角关系
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3， 则sinB=（ ）
5、如图，A,B,C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
6、在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA= ,则tanB=（ ）
7、在△ABC中，BC=12,tanA= ,∠B=30°,求AC和AB的长。
设计意图：巩固基本解题能力，熟练应用直角三角形的边角关系求解，渗透数形结合思想、转化思想。
考点3：锐角三角形的实际应用
类型一：“背对背”型（在三角形内作高）
8、如果货船在A岛南偏东60°的B处由东向西直线航行80海里，到达了该岛的南偏西45 的G处，问航行中离该岛最近的距离是多少？
9、如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°，45°，如果无人机距地面高度CD为 米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是多米？
类型二：“母子型”（在三角形外作高）
10、如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78米，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数，tan48°≈1.11，tan58°≈1.60）.
11、为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．
设计意图： 通过对三角函数的应用进行分类的方式让学生明晰本章的重点内容。增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转化为数学问题能力，使学生的解题能力都能到了巩固和提高，渗透“数形结合思想、转化思想、方程思想、”等思想方法。
第三环节 归纳与总结
设计内容：师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系，一起构建本章知识框架图。
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深学生对“直角三角形的边角关系”的认识和理解。通过框架图不断完善，清晰展现本章知识点之间的内在联系。明确解题中需要把实际问题转化为数学问题，数形结合思想、转化思想。对整个课堂的学习过程进行反思，促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环。培养学生自我反馈、自主发展的意识。
第四环节 作业布置
设计内容：A组 复习题3、6、9、12、16题
B组 复习题3、6、9、12、19题
C组 复习题3、6、9、11、16题、选作题
1、在Rt△ABC中， ∠C=90°，如果sinA，cosB是方程 的两实根，求m的值和∠A的度数是多少？
2、如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．
桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
设计意图；在布置练习题时，坚持 “不同学生有不同的学习需要”的原则，设计三层次练习题，使每个学生都能得到相应的提升，体现了因材施教的教学原则。使每一个教学环节都严格的遵循课程标准，加强学生对三角函数与其他运算公式结合的的运算能力，巩固利用三角函数解决楼高的实际问题。
五、设计说明
1．切合学生认知水平，练习提升适度
通过对考点进行由浅入深整合，这可以让不同层次的学生都有不同的学习机会，绝大部分学生都能学到自己需要的知识。而且练习题难度层层深入，让学生容易接受，是他们逐步进入学习状态。教学过程环环相扣，整节课围绕教学目标，达到了较好的学习效果。
2．坚持练习和知识点归纳的相结合复习方式
单元复习课要注意练习和知识归纳兼顾。在这节课里，我先和学生一起把本章的知识框架图呈现出来；接着按照对考点进行分类的方式让学生巩固基础（考点1、考点2）。在三角函数的实际应用问题（考点3）中，同样采取归纳分类的方式，层次结构明晰，课堂衔接平滑，学生容易接受。最后再对本章内容进行全面的概述并完善知识框架图，使学生对本章知识有了系统的认识。
总而言之，本节课体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。突破了的传统教学模式，利用多媒体课件和微课的方式改进了问题的呈现方式，更使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，更好的实现教学目标，实现了“以生为本教育”。