(共20张PPT)
二次根式的乘法
√a(a≥0)是非负数
√ab=√ab(a≥0，b≥0)
二次根式
(Wa)2=a(a≥0)
√alal
二次根式的除法
a
Vb
(a≥0，b>0)
二次根式的化简：化成最简二次根
式（被开方数不含分母，被开方数
不含能开得尽方的因数或因式)
二次根式的加减：合并同类二次根式
●
●
●
●
●
●
1.数形结合思想
实数“在数轴上的位置如图所示，则
√/(a-3)2+√(a-10)2化简后的结果为
》
4
A.7
B.-7
C.2a-15
D.无法确定
2.分类讨论思想
已知a|=3,√b2=5,且ab>0,则a+b的
值为
)
A.-2
B.8
C.-2或2
D.-8或8
b=5,此时a+b=3+5=8;当a=-3时，
b=-5,此时0+b=-3-5=-8.综合可知
a+b的值为8或-8.故选D.
3.整体思想
已知a-b=23-1,ab=V3,则(a+1)
(b-1)的值为
)
A.-3
B.33
C.22
D.-2√/2
【解析)(a+1)(b-1)=ab-a+b-1=
b-(a-b)-1=3-(2V3-1)-1=
√3-2√3+1-1=-√3.故选A.
4.转化思想
(1)若式子1
有意义，则a的取值范
Wa+2-2
围是
(2)计算：
5
1.(2022西双版纳期末)下列运算中，正确的
是
A.2×V5=√10
3
B
16
4
C.(-x2)3=x6
D.(-x)2+x
x
2.(2021昭通期末)下列二次根式是最简二次
根式的是
)
A.8
B.
D.22
2
3.使等式3
3
成立的x的取值范
W/x+1
Vx+l
围在数轴上表示为
4.下列运算正确的是
(
)
A.√5+W6=11
B.3+3=3/3
C.√(-4)×(-9)=6D.16
6
2
N2
=2√2
5.(2022昭通名校月考)下列二次根式中，可
与√12进行合并的二次根式为
A.√6
B.32
C./18
D.
6.（2022昭通名校月考)若√80n是整数，则正
整数n的最小值是
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
7.已知二次根式√x的值为3，那么x等于
A.3
B.9
C.-3
D.3或-3
8设a-626-3-1=期a
c之间的大小关系是
)
A.c>6>a
B.a>c>6
C.b>a>c
D.a>6>c
【解析)2>1，W2b=V2(3-1)=v6-
2->义0<16-(3
-1)=6)2=c6>6综合可知43
2
b>C.故选D.(共18张PPT)
1.一般地，我们把形如
的式子
叫做二次根式，“√”称为二次根号.
注意：二次根式概念的要点：(1)从形式上看，二
次根式必须含有二次根号“√”；(2)被开方数
●
●
●
●
●
●
2.当u≥0时，√a既表示一个二次根式，又表示
非负数u的算术平方根.也就是说，√a有意
义时，具有“双重非负性”，即a
0
1.(2022昆明市官渡区期末)下列式子一定是
二次根式的是
A.W/-5
B.3
C.
D./a
2.有下列式子
(x>0),V2,y+1(y=
-2),√-2x(x<0),3,√2+1，x+y,其
中二次根式的个数有
(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.要使二次根式√a-4有意义，a的值可以为
(
)
A.-4
B.0
C.1
D.4
4.若式子
有意义，则x的取值范围是
Vx-4
5.若Vx-1+Vx+y=0,则x220+y2021
的值
为
(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
6.己知实数m,n满足n-2+m+1=0.
则m+2n的值为
1.有下列式子，其中二次根式的个数有
②√-3；③-2+1；④8：
前-：01-1)@7
A.2
B.3个
C.4个
D.5个
2.(2021玉溪市红塔区期末)要使
x-2
有意
100
义，则x的取值范围是
(
A.x≠100B.x>2
C.x≥2
D.x≤2
3.若√2x-1+√1-2x+1在实数范围内有意
义，则x满足的条件是
4.下列说法正确的是
A.带根号的式子一定是二次根式
B.式子√4a+1一定是二次根式
C.式子√m2+2一定是二次根式
D.二次根式的值必定是无理数
5.如果式子√2x+6有意义，那么x的取值范
围在数轴上表示正确的是
_3
-3
A
B
-3
C
7.(2021昆明市五华区期末)下列二次根式有
意义的范围为x≥-4的是
)
A./x-4
B.
-4
D./x+4
X+4
8.若一个正方体的表面积为12dm2,则这个正
方体的棱长为
)
A.1 dm
B.2 dm
C.√6dm
D.3 dm
9.下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次
根式中的被开方数：
(1)/15;(2)√-22；
(3)10;(4)√-3(x≥3)；
(5)√-y-1(y>-1);(6)W(x+1)2;
(7)V-x2-3;(8)j(xy>0).
解：二次根式分别是15，被开方数是15；
x-3(x≥3)，被开方数是x-3;
/(x+1)2,被开方数是(x+1)2;
Y(y>0),被开方数是(共17张PPT)
1.(Va)2=
(a≥0).
(a>0)
(a=0),
(a<0).
3.用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开
方)把
或
连接起来
的式子，叫做代数式.
●
●
●
●
●
●
1.(2021德宏期末)下列各式中，计算正确的
是
A.√9=3
B.W4=±2
C./22=4
D.(3)2=9
2.(2022安宁期末)如果√/(2a-1)2=1-2a,
侧α的取值范围是
.<2
B.u≤
2
1
1
C.a>
D.a≥
2
2
3.已知a2=4,则a的值为
(
)
A.±4
B.±2
C.4
D.2
4.计算：
(1)N4=
2--
二
(3)(√3)2+1=
5.下列式子中，属于代数式的个数有(
)
①0；②-u;③
x+5;⑤b=7;
2
⑥x<8;⑦Wx2+7;⑧x≠-9.
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
6.用代数式表示：
(1)把b本书平均分给若干名学生，若每人
分6本，还余4本，则学生人数为
1.(2021昆明市西山区期末)下列等式成立的
是
(
)
A.W8=4
B.√(-3)2=-3
C.4=±2
D./-27=-3
2.若x<1,则化简√(x-2)2+4-x的结果
是
A.2
B.-2
C.6
D.6-2x
3.(2021德宏期末)已知/20-n是整数，则自
然数n所有可能取的值有
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4.(2022昆明市五华区期末)实数山，b在数轴
上的位置如图所示，则化简√a2-√b2
√(a-b)的结果是
5.(2022昭通名校月考)若√/a2=-a,则实数
a在数轴上的对应点一定在
A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
6.计算（√11）2+√(-13)2的结果是
7.把下列非负数写成一个非负数的平方的
形式
(1)2020=
(2)5.1=
(3)
;
(4)a=
(a≥0)
9.计算下列各式的值：
(1)√/0.22；
2-3
(3)√5-
(4)N(1-3)
解：根据三角形三边关系，得
a+b+c>0,b+c-a>0,c-b-a<0
.√(a+b+c)2-W(b+c-a)2+
√(c-b-a)2
=(a+b+c)-(b+c-a)-(c-b-a)
=a+b+c-b-c+a-c+b+a
=3a+b-c.
11.已知△ABC的三边长分别为a,1,3,则化
简9-2a-√9-12a+4a2的结果是
(
)
A.12-4u
B.4a-12
C.12
D.-12(共16张PPT)
1.二次根式的混合运算顺序：先算
再算
,最后算
.有括号的，
先算括号内的：
注意：二次根式的混合运算类似于整式的混合运
算，可以用乘法公式和乘法法则进行计算.
●●
●
●
●
●
●
●
2.常见的乘法公式和法则：
(1)m(a+b+c)=
●
(2)(x+0)(x+b)=
;
(3)(a+b)(a-b)=
(4)(a±b)2=
1.(2020昆明市盘龙区期末)下列计算正确的
是
)
A.√2+√3=√5
B.35-5=3
C.5×
/1
D.√12÷3=2
2h计20-年)×6
的值应在(
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
3.(2022昆明市盘龙区期末)计算：
248-63)3.
4.下列各数与2-√3相乘，结果是1的数是
A.√3
B.2-/3
C.-2+W3
D.2+√/3
5.计算(2√3-3√2)的结果是
A.-6
B.30+6√6
C.30-126
D.6
6.(2022昆明市五华区期末)计算：(7+4√3)
(7-43)-(25-1)2.
解：原式=7-(43)-[(25)2-4v5+1]
=49-48-20+4W/5-1
=4W5-20.
2.下列计算：
①(V2)2=2;②W(-2)2=2;③(-2V3)
=12:④（√2+√3）(2-√3)=-1.
其中正确的个数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.计算（√5-√6）220·（√5+√6）221的结果是
)
A.√5+W6
B.√6-V5
C.√5-√6
D.-√5-√6
4.【核心素养·数学运算】(2021曲靖期末)下
图是一个简单的数值运算程序，当输入x的
值为√6时，则输出的值为
输入x
X
/3
+√8
输出
5名=52=5则++y的值
为
解：原式=4√3÷2√3+6√6÷2√3+√2·2
-√2
=2+32+2-W2
=4+2W2.
解：原式=(43)2-(32-65×方
62×W6
=48-18-3+12/3
=27+12/3.
(2).a=5+2,b=V5-2,
∴.a+b=√5+2+5-2=25.
.'a2 b2-ab a2 2ab b2-3ab
=
(a+b)2-3ab=(2/5)2-3×1=17.
9.若x为实数，在“（√3+1） x”的“□”中添
上运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）
后，其运算的结果为有理数，则x不可能是
A./3+1
B.W3-1
C.2√/3
D.1-/3(共16张PPT)
1.二次根式的乘法法测：√a·√仍=
(a≥0，b≥0).即两个二次根式相乘，把
相乘，根指数不变
注意：根据二次根式的乘法法则，类似可得√α
d
(u≥0，b≥0，c≥0，d≥0).
●
●
●
●
●
●
2.等式x+1·√x-1=√x2-1成立的条件
是
A.X≥1
B.X≥-1
C.-1≤x≤1
D.x≥1或x≤-1
3.计算：W5·10=
4.化简二次根式√(-4)2×2的值为(
)
A.4√2
B.-4/2
C.±42
D.2/3
5.若3=a,√5=b,则45可以表示为(
)
A.va2b
B.a√b
C.a"b
D.ab
1.下列计算正确的是
)
A.2×√3=√5
B./5×6=/30
C.2√2×3=6
D.√/(-3)2=-3
2.(2022安宁期末)下列无理数中，与√24相
乘积为有理数的是
(
A.V2
B.3
C.5
D.6
3.有下列四个解答过程：
①√/(-25)×(-16)=√/-25×√/-16
(-5)×(-4)=20;
4
2
=4×
4
2
4
2×
3
3
③W(-25)×(-16)=√/25×W/16=5×4
=20;
④/52-42=5-4=1.
其中运算正确的个数有
)
4.下列各等式成立的是
(
)
A.4W5×3W5=125
B.5√W3×4√2=20W5
C.43×3√2=7/5
D.53×4/2=20/6
5.(2022昭通名校月考)若一个长方体的长为
2√6cm,宽为√3cm,高为√8cm,则它的体
积为
A.√/21cm
B./24cm3
C.21 cm'
D.24 cm'
6.使式子√a-3·√a-5=0成立的a的值
为
7.(2022昆明市盘龙区期末)比较大小：2√3
3√2（填“>”“<”或“=”）.
8.若计算√/12×m的结果为正整数，则无理数
m的值可以是
(写出
一个符合条件的即可).
9.计算：
(1)√28×7；
:a
8-2小26
U
b
二
a6=
ab
b
-a2b ab
0训芬-50
×2V5×2V5.
4式--5、需×25D
2
=(-5)2×
X
X
2
二
X
X
X
3
=50.
(1)请将上述解答过程补充完整；
(2)上述解答过程中，第①步运用了公式
,第②步运用了公
式
,第③步运用了
公式
(3)根据上述过程，请完成下列计算：
205×刘
23
-2高×(共15张PPT)
1.可以合并的二次根式应满足：
(1)是最简二次根式；
(2)被开方数相同，
2.一般地，二次根式加减时，可以先将二次根
式化成
,再将
的二次根式进行合并.
●
●
●
●
●
●
注意：二次根式的加减与整式的加减，分别是合
并同类二次根式（被开方数相同的最简二次根
式)和合并同类项，
●《●
1.(2021昆明市西山区期末)下列式子中，化
简后能与√2合并的是
A./12
B./24
c
D.4
8
2.下列各组二次根式中，可以进行合并的一组
是
A./12与/72
B.63与J/28
C.√8e3与√e3
D.√3与6
3.√27与最简二次根式√m-1可以合并，则
m
4.(2022红河期末)下列运算正确的是(
A.√2+V5=√7
B.52-3/2=3
C.√/15-/10=W5
D.2/3+3/3=5W3
5.(2022安宁期末)计算：√18-√8
1.若最简二次根式√2x+1和√4x-3能合并，
则x的值可能是
1
3
A.x
B.x
2
4
C.x=2
D.X=5
2.对于无理数√3，添加关联的数或者运算符号
组成新的式子，其运算结果能成为有理数的
是
A.23-3√W2
B.3+√3
C.(3)3
D.0×√3
3.(2022昆明市盘龙区期末)下列运算正确的
是
(
A.2+√3=W5
B.3√7-√7=3
C.2×V5=√/10
D.√/(-3)2=-3
4.(2022昆明市西山区期末)估计√5+1的值
在
)
A.2到3之间
B.3到4之间
C.4到5之间
D.5到6之间
5.下列根式中，化成最简二次根式后不能与
√ab(a>0,b>0)合并的是
ab
b
A.
B
4
C.a2b
ab
6.(2021昆明市五华区期末)已知√75-√3
m√3-√3=n3,则
mn
7.已知三角形的三边长分别为√/45cm,√80cm,
√125cm,则这个三角形的周长为
cm.
8.计算：
(1)(2022昆明市五华区期末)√80-√8+
45+√/32；
解：·√5的整数部分为2，
.7+5=9+a,7-5=4+b,
即a=v5-2,b=3-5.
.ab-a+4b-3=(V5-2)(3-5)-
(5-2)+4(3-5)-3
=-11+55+2-5+12-45-3
=0.
10.（2022昭通名校月考)在进行二次根式的
化简时，我们有时会遇到形如
2
这样的式子，其实我们还可以将其进
√3+1
一步化简：(共17张PPT)
1.二次根式的除法法则：a
(u≥0，
b>0).
2.高的算术平方根的性质：、6
(u≥0
b>0).
●
●
●
●
●
●
3.最简二次根式应满足：
(1)被开方数不含
●
(2)被开方数中不含能开得尽方的
注意：在二次根式运算中，一般要把结果化为最
简二次根式·
1.计算√8÷W2的结果为
)
A.√6
B.2
C.3
D.√2
2.下列计算正确的是
A./50÷W5=10
B./10÷2N5=2W2
C.√125÷V5=W5
D./27÷3=3
3.计算
3
的结果是
(
)
A.√3
B.√6
C./10
D.√5
4.下列式子正确的是
(
)
3
一
5
7-5
A.
B
5
5
-6
1
/-7
3
5.化简：
(1)
-3
-25
25:
4
6.(2022昆明市盘龙区期末)下列二次根式
中，是最简二次根式的是
2
A.
B.√8
C.√2
D./0.5
V 3
7.把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)√1.25；
2,:
(323
8
1.（2022昭通抽测)二次根式
√30，√11x2,√2-y2中，属于最简二次根
式的个数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.(2021昆明市五华区期末)下列计算正确的
是
5
=2√3
B.3√5×2V3=6W15
C.(22)2=16
3
D
3
3.如果ab>0,a+b<0,那么下列式子：
=1;
3
ab
÷
-b.
其中正确的是
(
)
A.①②③
B.①③
②③
D.
.(2022红河期末)化简：2
3
5.计算3÷3×1
的结果为
3
6.若二次根式√/5+3是最简二次根式，则最
小的正整数a的值为
7.（教材改编)若长方形的宽是32，面积是
186,则它的长是
父
8.若使等式
成立，则x的取值
Nx-2
x-2
范围是
9.对于任意不相等的两个实数a,b(a>b)定
义一种新运算a※b=
va+b
如3※2=
va-b
/3+2
那么12※4=
3-2
解：3
污×专阿号
6
1
6×
64
×10
900
15
64
4
解析】由于两个根式都是最简二次根式，
因此被开方数的幂指数均为1，即
m+3=1,
解得
'm=
2m-n+1=1.
北。装卷亲季
-2，-4.
5
12.已知
va-5
7-
,且a为偶数，求(a+
7-a
a2-5a+4
1)
a2-1
的值
