正方形[下学期]
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课件26张PPT。13.9 正方形李如平 4.64.6复习：（1）什么叫平行四边形？ 答：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（2）什么叫矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（3）什么叫菱形？答：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 一组邻 边相等？一个角是直角？？有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角⒈正方形定义：注意：
正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形 .它也是特殊的平行四边形. 因此，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质. 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.有一组邻边相等，思考：如何判定正方形呢？（1）从平行四边形出发需添加什么条件可证明它是正方形？（2）从矩形出发需添加什么条件可证明它是正方形？（3）从菱形出发需添加什么条件可证明它是正方形？（4）从对角线考虑需要什么条件可证明它是正方形？有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角2. 正方形的判定方法：1）正方形的定义2）一组邻边相等的矩形是正方形3）有一个角是直角的菱形是正方形4）既是矩形又是菱形它一定是正方形总结：（1）什么叫矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（2）什么叫菱形？答：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。答：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形.（3）什么叫正方形？ （1）矩形 菱形 正方形都是特殊的平行四边形。 （2）正方形还是特殊的矩形，特殊的菱形。平行四边形矩形菱形正方形用集合表示：正方形的性质定理1：正方形的性质定理 2：3. 正方形的性质：正方形的四个角都是直角.正方形的两条对角线相等.正方形的四条边都相等.正方形的两条对角线互相垂直平分.正方形的每条对角线平分一组对角.正方形：
1.正方形定义:
3.正方形性质对边平行四边相等对角线相等 互相垂直平分每条对角线平分一组对角四个角相等且都是直角⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形） ⑵并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）2.判别方法正方形（有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形）有一组邻边相等的矩形叫做正方形。∴ △ABO 、△BCO 、△CDO 、 △DAO 都是等 腰直角三角形
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：四边形ABCD是正方形，证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴ AC=BD，
AC⊥BD，AO=CO=BO=DOB例⒈（正方形的两条对角线相等，
并且互相垂直平分）求证：△ABO、△BCO、△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.∴ △AA ′D ′≌△BB ′A ′≌△CC ′B ′≌△DD ′C ′∴ 四边形 A′B′C′D′是菱形 ∵ ∠ D′A′B′= 1800－( ∠1 + ∠ 3)=900 ∴ 四边形 A′B′C′D′ 是正方形例2：已知：如图，点A′B′C′D′分别是正方形
ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′
求证：四边形A′B′C′D′是正方形又 ∠2 =∠ 3 ， ∠ 1 +∠ 2=900∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA（正方形的四条边都相等）又 AA′=BB′=CC′ =DD ′∴ D ′ A = A ′B = B ′C = C ′D∵∠A =∠B =∠C =∠D=900( 正方形的四个角都是直角）证明： ∴ D ′ A ′ =A ′ B ′ =B ′ C ′ =C ′ D ′（四条边相等的四边形是菱形）∴ ∠1 + ∠ 3=900（有一个角是直角的菱形是正方形）例3：AC为正方形ABCD的对角线，AB=AE， EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FB┌证明： ∵ 四边形ABCD是正方形
∴∠B=900 ∠ACB=450
∵∠AEF=900 AB=AE
∴△ABF≌△AFE（HL）
∴BF=EF
450450 又∵∠FEC=900
∴∠EFC=450
∴EC=EF（等角对等边）∴BF=EF=EC如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
1.填空： （1）已知正方形的一条边长为4cm ，则这个正方形的周长为_____ ，对角线的长为_________，面积为______ . （2）正方形的对角线和它的边所成的角是_____度. （3）如果菱形的两条对角线相等，则它一定是_______.（4）如果矩形的两条对角线互相垂直，则它一定是________.16cm 16cm245正方形正方形巩固练习：1、正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.
求证：OE = OF
2、如图，正方形ABCD中，AC交BD于O，点M、N分别在AC、BD上，且OM=ON，
求证：BM=CN。3、已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。
4、已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的处长线于E。AC和CE相等吗？为什么？ 5、如图，ABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，求△DCE的周长。
6、如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AC、BD分别交于E、F。试说明四边形AFCE是菱形。 7、如图，在ABCD中，AC、BD分别相交于O，AB⊥AC，∠DAC=45°，AC=2，求BD的长。 8、正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E是OB延长线上一点,∠ECB=150,求证:EC=BD
正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形 .它也是特殊的平行四边形. 因此，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质. 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.有一组邻边相等，思考：如何判定正方形呢？（1）从平行四边形出发需添加什么条件可证明它是正方形？（2）从矩形出发需添加什么条件可证明它是正方形？（3）从菱形出发需添加什么条件可证明它是正方形？（4）从对角线考虑需要什么条件可证明它是正方形？有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角2. 正方形的判定方法：1）正方形的定义2）一组邻边相等的矩形是正方形3）有一个角是直角的菱形是正方形4）既是矩形又是菱形它一定是正方形总结：（1）什么叫矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（2）什么叫菱形？答：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。答：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形.（3）什么叫正方形？ （1）矩形 菱形 正方形都是特殊的平行四边形。 （2）正方形还是特殊的矩形，特殊的菱形。平行四边形矩形菱形正方形用集合表示：正方形的性质定理1：正方形的性质定理 2：3. 正方形的性质：正方形的四个角都是直角.正方形的两条对角线相等.正方形的四条边都相等.正方形的两条对角线互相垂直平分.正方形的每条对角线平分一组对角.正方形：
1.正方形定义:
3.正方形性质对边平行四边相等对角线相等 互相垂直平分每条对角线平分一组对角四个角相等且都是直角⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形） ⑵并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）2.判别方法正方形（有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形）有一组邻边相等的矩形叫做正方形。∴ △ABO 、△BCO 、△CDO 、 △DAO 都是等 腰直角三角形
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：四边形ABCD是正方形，证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴ AC=BD，
AC⊥BD，AO=CO=BO=DOB例⒈（正方形的两条对角线相等，
并且互相垂直平分）求证：△ABO、△BCO、△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.∴ △AA ′D ′≌△BB ′A ′≌△CC ′B ′≌△DD ′C ′∴ 四边形 A′B′C′D′是菱形 ∵ ∠ D′A′B′= 1800－( ∠1 + ∠ 3)=900 ∴ 四边形 A′B′C′D′ 是正方形例2：已知：如图，点A′B′C′D′分别是正方形
ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′
求证：四边形A′B′C′D′是正方形又 ∠2 =∠ 3 ， ∠ 1 +∠ 2=900∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA（正方形的四条边都相等）又 AA′=BB′=CC′ =DD ′∴ D ′ A = A ′B = B ′C = C ′D∵∠A =∠B =∠C =∠D=900( 正方形的四个角都是直角）证明： ∴ D ′ A ′ =A ′ B ′ =B ′ C ′ =C ′ D ′（四条边相等的四边形是菱形）∴ ∠1 + ∠ 3=900（有一个角是直角的菱形是正方形）例3：AC为正方形ABCD的对角线，AB=AE， EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FB┌证明： ∵ 四边形ABCD是正方形
∴∠B=900 ∠ACB=450
∵∠AEF=900 AB=AE
∴△ABF≌△AFE（HL）
∴BF=EF
450450 又∵∠FEC=900
∴∠EFC=450
∴EC=EF（等角对等边）∴BF=EF=EC如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
1.填空： （1）已知正方形的一条边长为4cm ，则这个正方形的周长为_____ ，对角线的长为_________，面积为______ . （2）正方形的对角线和它的边所成的角是_____度. （3）如果菱形的两条对角线相等，则它一定是_______.（4）如果矩形的两条对角线互相垂直，则它一定是________.16cm 16cm245正方形正方形巩固练习：1、正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.
求证：OE = OF
2、如图，正方形ABCD中，AC交BD于O，点M、N分别在AC、BD上，且OM=ON，
求证：BM=CN。3、已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。
4、已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的处长线于E。AC和CE相等吗？为什么？ 5、如图，ABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，求△DCE的周长。
6、如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AC、BD分别交于E、F。试说明四边形AFCE是菱形。 7、如图，在ABCD中，AC、BD分别相交于O，AB⊥AC，∠DAC=45°，AC=2，求BD的长。 8、正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E是OB延长线上一点,∠ECB=150,求证:EC=BD