正方形0、[下学期]
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课件11张PPT。正方形正方形的定义可知：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1)： 矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。 由 从图(1)中可以知道，平行四边形包含了矩形、菱形、正方形、而正 方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一个四边形是正方形，可以 从两步来着手，一步先判定四边形是矩形，再一步判定这个矩形又是菱 形；
或者：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。
范例精讲 例1：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD
的边AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。 分析（1）你能证明四边形是矩形吗？
（2）你能证明四边形是菱形吗？？
（3）你能证明四边形是正方形吗？？ 请大家完成证明证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴AD＝AB＝BC， ∠A＝∠B＝90° 又∵AD‘＝AD AA’＝A‘B＝AB BB’＝BC ∴AD’＝AA’＝A‘B＝BB’ ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°
∴∠D‘A’B‘＝180°－∠1－∠3＝180°－45°－45°＝90° 同理：∠A’B‘C’＝90° ∠B‘C’D‘＝90° ∴四边形A’B‘C’D‘是矩形
在△D’AA‘和△A’BB‘中
∴△D'AA'≌△A'BB'(SAS) ∴A'D'＝A'B' ∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 学习如逆水行舟不进则退 练习：求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线
AC、BD相交于点O，且AC＝BD，
AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD。
求证：四边形ABCD是正方形。 请大家先根据题意，画出图形然后写出已知，求证，求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线
证明：
∵AO＝CO,BO＝DO ∴四边形ABCD是平行四边形
又AC＝BD ∴平行四边形ABCD是矩形 又∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是正方形 解题小结： 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形。因而得到这个四边形是正方形。事实上，我们可以把本例作为正方形的一个判定定理：即：即角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO，AC⊥BD。 求证：四边形ABCD是正方形。
例2．已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D 的平分线组成四边形A'B'C'D'，
分析：
判定一个四边形是正方形可以选择：
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。下面请大家进行证明。 (1)先证明它是矩形，再证它有一组邻 边相等； (2)先证明它是菱形，再证它有一个角等于90°已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的 平分线组成四边形A'B'C'D'，
证明：在四边形ABCD中
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。 又∵AB‘＝BD’ 且AA‘＝BA’(已证) AB'－AA'＝BD'－BA' A'B'＝A'D' ∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
∵AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA ∴∠B'＝∠D'＝90°∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45° AD＝BC ∴△AB'D≌△BD'C (ASA) ∴AB'＝BD'＝CD'＝DB' 同理可证：∠D'A'B'＝∠D'C'B'＝90且AA'＝BA'＝CC'＝DC' ∴四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形) 1．四个内角都相等的四边形一定是： A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是 正 方形的是： A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD 3 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是： A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 练习：1：（C）2：（A）3：（A）请大家说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系？ 掌握正方形的判定的方法。 正方形中，课本上没有给出明显的判定定理，它只告诉我们，要判定一个四边形是正方形，分两个步骤：
平行四边形它包含了矩形、菱形、正方形；而正方形又包含在矩形和 菱形中。 第一步先判定四边形是矩形，再 判定这个矫形又是菱形；或者：
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形，即可判定它是正方形。
作业：
159页第12题、第14题同学们再见
或者：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。
范例精讲 例1：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD
的边AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。 分析（1）你能证明四边形是矩形吗？
（2）你能证明四边形是菱形吗？？
（3）你能证明四边形是正方形吗？？ 请大家完成证明证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴AD＝AB＝BC， ∠A＝∠B＝90° 又∵AD‘＝AD AA’＝A‘B＝AB BB’＝BC ∴AD’＝AA’＝A‘B＝BB’ ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°
∴∠D‘A’B‘＝180°－∠1－∠3＝180°－45°－45°＝90° 同理：∠A’B‘C’＝90° ∠B‘C’D‘＝90° ∴四边形A’B‘C’D‘是矩形
在△D’AA‘和△A’BB‘中
∴△D'AA'≌△A'BB'(SAS) ∴A'D'＝A'B' ∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 学习如逆水行舟不进则退 练习：求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线
AC、BD相交于点O，且AC＝BD，
AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD。
求证：四边形ABCD是正方形。 请大家先根据题意，画出图形然后写出已知，求证，求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线
证明：
∵AO＝CO,BO＝DO ∴四边形ABCD是平行四边形
又AC＝BD ∴平行四边形ABCD是矩形 又∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是正方形 解题小结： 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形。因而得到这个四边形是正方形。事实上，我们可以把本例作为正方形的一个判定定理：即：即角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO，AC⊥BD。 求证：四边形ABCD是正方形。
例2．已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D 的平分线组成四边形A'B'C'D'，
分析：
判定一个四边形是正方形可以选择：
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。下面请大家进行证明。 (1)先证明它是矩形，再证它有一组邻 边相等； (2)先证明它是菱形，再证它有一个角等于90°已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的 平分线组成四边形A'B'C'D'，
证明：在四边形ABCD中
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。 又∵AB‘＝BD’ 且AA‘＝BA’(已证) AB'－AA'＝BD'－BA' A'B'＝A'D' ∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
∵AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA ∴∠B'＝∠D'＝90°∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45° AD＝BC ∴△AB'D≌△BD'C (ASA) ∴AB'＝BD'＝CD'＝DB' 同理可证：∠D'A'B'＝∠D'C'B'＝90且AA'＝BA'＝CC'＝DC' ∴四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形) 1．四个内角都相等的四边形一定是： A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是 正 方形的是： A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD 3 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是： A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 练习：1：（C）2：（A）3：（A）请大家说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系？ 掌握正方形的判定的方法。 正方形中，课本上没有给出明显的判定定理，它只告诉我们，要判定一个四边形是正方形，分两个步骤：
平行四边形它包含了矩形、菱形、正方形；而正方形又包含在矩形和 菱形中。 第一步先判定四边形是矩形，再 判定这个矫形又是菱形；或者：
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形，即可判定它是正方形。
作业：
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