河南省新郑市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段测试数学试题（含解析）

新郑市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段测试
数学试题 2023.6
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，D是AB边上的一点，若，则( )
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点在直线上，则( )
A．1 B．i C．-i D．
3．如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱与底面垂直，且分别是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
5．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
①样本数据落在区间的频率为0．45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③估计样本的中位数为480万元．
其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90
7．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
8．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A．
B．b在a方向上的投影向量为
C．与b垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与向量共线，则
10．若复数z满足，则( )
A．
B．
C．在复平面内对应的点在直线上
D．的虚部为-8
11．已知正方体，则( )
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面ABCD所成的角为
12．2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重（单位：kg）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A．这2000头生猪体重的众数为160kg
B．这2000头生猪中体重不低于200kg的有80头
C．这2000头生猪体重的中位数落在区间内
D．这2000头生猪体重的平均数为152．8kg
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在中，点E在边AB上，且将射线CB绕着点C逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点D，使得连接DE，则的面积为___________．
14．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则__________．
15．如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是上一点，且，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为________．
16．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边BC上，AD平分，，且，求a．
18．（12分）如图1，在梯形中，，点E在线段上， ，将沿翻折至的位置，连接，点F为中点，连接，如图2．
(I)在线段上是否存在一点Q，使平面平面 若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由;
(Ⅱ)当平面平面时，求三棱锥的体积．
19．（12分）在三棱锥中，点D在以AB为直径的半圆弧上，且平面平面ABC，，．
（1）证明：平面BCD；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求三棱锥的表面积．
20．（12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：min），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．
（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）假设上学所需时间不少于1 h的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．
21．（12分）某校社团活动开展得有声有色，深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入，极大地推动了学生的全面发展．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加心理社团，现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加心理社团的概率；
(2)求从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率．
22．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
参考答案
1．答案：B
解析：由，得，即，所以．
2．答案：B
解析：复平面内，复数对应的点为，
又在直线上，所以，解得，
所以，
则．
故选：B．
3．答案：D
解析：如图，取的中点G，连接，则，且为异面直线与所成的角．又F是的中点，．又三棱柱的侧棱与底面垂直，平面．
在中，，故选D．
4．答案：A
解析：如图，对于选项A，在正方体中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，又，所以，又易知，，从而平面，又平面，所以平面平面，故选项A正确；对于选项B，因为平面平面，所以由选项A知，平面平面不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线与直线必相交，故平面与平面不平行，故选项C错误；对于选项D，连接，，易知平面平面，又平面与平面有公共点，所以平面与平面不平行，故选项D错误．故选A．
5．答案：D
解析：由，得，
所以数据在区间的频率为，①正确；
数据在区间的频率为，②正确；
数据在区间的频率为0．3，数据在区间的频率为0．55，故估计中位数为，③正确．故选D．
6．答案：C
解析：依题意，将该小组所有数学成绩从小到大列出：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87．
7．答案：A
解析：根据对立事件和互斥事件的概念，可知对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件但不一定是对立事件．故选A．
8．答案：A
解析：2名男生记为，，2名女生记为，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有，，，，，，，，，，，这12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，这4种情况，则所求概率．故选A．
9．答案：AD
解析：选项A：由题意知，，，则，A正确；
选项B：b在a方向上的投影向量为，B错误；
选项C：与b垂直的单位向量的坐标为或，C错误；
选项D：因为向量与向量共线，所以若存在，使得，则，
所以，D正确．
10．答案：BCD
解析：设，则，由得，，整理得，所以解得，，则，所以，A错误；，则，B正确；在复平面内对应的点为，显然在直线上，C正确；，所以的虚部为-8，D正确．故选BCD．
11．答案：ABD
解析：A项，如图，易证，显然，所以，故A项正确；
B项，因为，，所以平面，从而，故B项正确；
C项，如图，设，则，，所以平面，
从而即为直线与平面所成的角，易证为正三角形，O为的中点，所以，故C项错误；
D项，显然即为直线与平面ABCD所成的角，且，故D项正确．
12．答案：BCD
解析：由频率分布直方图可知，这一组的数据对应的小长方形最高，所以这2000头生猪的体重的众数为150kg，A错误；这2000头生猪中体重不低于200kg的有(头)，B正确；因为生猪的体重在内的频率为在内的频率为，且，所以这2000头生猪体重的中位数落在区间内，C正确；这2000头生猪体重的平均数为
，D正确．故选BCD．
13．答案：
解析：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形．在中，由余弦定理得得解得在中，由正弦定理知所以又因为所以所以在中，由正弦定理知所以因为所以．
14．答案：
解析：由题意可得，，．
所以，．
故答案为：．
15．答案：
解析：设，如图，取PC的中点E，连接DE，AE，易得，所以异面直线AD与BC所成的角为．
又，所以平面PAC．
又 平面PAC，所以，所以．
又，
所以在中，．
16．答案：
解析：由题意可知抛掷一枚骰子，基本事件的个数共有6个，则“不大于4的偶数点出现”的概率，“小于5的点数出现”的概率，则，因为A与互斥，所以．
17．答案：（1）
（2）3
解析：（1）因为，即
化简可得，由余弦定理可得，
所以，且，则
（2）由（1）知，由余弦定理可得，将代入，
化简可得，
又因为AD平分，由角平分线定理可得，即，且，所以，
又因为，
则，结合余弦定理可得
，解得，所以，
则．
18．答案：(I)存在
(Ⅱ)
解析：(I)当Q是的中点时，平面平面，证明如下:
如图，连接．
依题意得，且，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为平面平面，所以平面．
因为分别为的中点，
所以．
因为平面平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
(Ⅱ)依题意由
得为边长为2的等边三角形．
取的中点M，连接，
因为，
所以由余弦定理得．
在中，因为，
所以．
因为平面平面，平面平面平面，所以平面．
因为F为的中点，
所以F到平面的距离，
所以．
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：因为平面平面ABC，
平面平面，，
所以平面ABD．
又平面ABD，
所以．
又点D在以AB为直径的半圆弧上，
所以．
因为，BD，平面BCD，
所以平面BCD．
（2）过点D作AB的垂线DO交AB于点O．
因为平面平面ABC，平面平面，
所以平面ABC，
所以当点O为AB的中点时，三棱锥的体积取得最大值，
则．
因为平面ABD，平面ABD，
所以．
在中，．
由（1）知平面BCD，平面BCD，
所以．
，，
，
，
所以此时三棱锥的表面积为
．
20．答案：（1）0．0125（2）72（3）33．6 min
解析：（1）由频率分布直方图可得，解得．
（2）新生上学时间不少于1 h的频率为，
因为，
所以600名新生中约有72名学生可以申请住宿．
（3）由题可知．
故该校新生上学所需时间的平均值约为33．6 min．
21．答案：(1)概率
(2)概率
解析：(1)由题知，该班60名同学中共有6名同学参加心理社团，
所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社团的概率．
(2)设A，B，C，D表示参加心理社团的男同学，a，b表示参加心理社团的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：
，
其中至少有1名女同学的结果有9种：，
根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率．
22．答案：(1)概率的估计值为0．6
(2)概率的估计值为0．8
解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为．
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0．6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，
则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温不低于25，测，所以，利润Y的所有可能值为-100，300，900．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为．
因此Y大于零的90概率的估计值为0．8．