北师大版九年级数学上册试题 1.3 正方形的性质与判定北师大版（含答案）

1.3 正方形的性质与判定
一、单选题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　）
A．四个角都相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．如图，已知正方形ABCD的边长为5，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为 ( )
A．cm B．2cm C．5 cm D．10 cm
3．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（　　）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是 ( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．如图，边长分别为和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则
A． B． C．2 D．1
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1-S2+S3+S4等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．下列命题中正确的是( )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
C．一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
D．对角线相等的四边形是矩形
10．如图，在正方形中，点、分别在，上，且，连接，，则下列结论中不一定正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
11．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为6，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．8
12．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，AC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
13．如图，四边形是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），，直线过A、C两点，P是上一动点，当的值最大时，P点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
14．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝48；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．如图，正方形ABCD，CEGF，且B．C．E三点共线，M为AG的中点．若AB＝3，CE＝1，则CM的长为（ ）
A．2.5 B． C． D．2
16．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，连接AP并延长交CD于点F，过点P作PE⊥AF交BC于点E，连接AE；若，则AE的长为（ ）
A．10 B． C． D．
二、填空题
1．若正方形的边长为a，则它的对角线长为__________．
2．如图所示，已知四边形ABCD是菱形，则只需补充条件：________(用字母表示)就可以判定四边形ABCD是正方形．(填一个即可)
3．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．
4．在中，已知、为对角线，现有以下四个条件：①；② ；③；④．从中选取两个条件，可以判定为正方形的是_________．（写出一组即可）
5．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为___．
6．作正方形中对角线的平行线，点E在直线上，且四边形是菱形，则 _______．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，以AB为一条边向三角形外部作正方形ABDE，P为DE上一点，则四边形ACBP的面积为_____．
8．如图，正方形的边长为，点是中点，将沿翻折至，延长交边于点，则的长为______．
9．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且点C，E，F三点共线，BE＝2，则阴影部分的面积是 _____．
10．如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AC 上一点，连接 EB、ED，延长 BE交 AD 于 F．当∠BED＝120°时，则∠ABF 的度数为__________°．
11．如图，C为AB上任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作正方形ACDE、正方形BCFG，设∠AFC=α，则∠BDC为_________（用含α的代数式表示）．
12．如图，正方形ABCD的边长为15，P为BC边上一点，PB＝2PC，把△PAB沿PA边翻折，点B落在B1处，设PB1的延长线交CD于Q，则PQ＝_______．
13．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为______．
三、解答题
1．如图，若四边形的对角线与相交于点O，且，则四边形是正方形吗？
2．如图，在正方形ABCD中，，，，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴进行交流．
3．如图，M、N分别是正方形的边的中点，与交于点P，连结，求证：．
4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
5．如图，正方形ABCD中，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，且，则_______．
6.如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、．
（1）求证：；
（2）求的度数．
7.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
　　 　　
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
答案
一、单选题
D．D.A．D．C．C.B．B.B．A．C．C．B．B．B．C．
二、填空题
1.
2.答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD等
3.22.5°．
4.①③或①④或②③或②④．
5.196．
6.或
7.14
8.．
9.．
10.15．
11.90°-α．
12.13
13.．
三、解答题
1.
解：四边形ABCD是正方形，
理由是：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
2.图中，，分别有一个角为正方形的内角，是直角；
是正方形，
,
，
,，
也是直角三角形
故图中共有个直角三角形．
3.证明：延长交于Q，
在正方形中，AD=DC=CB，∠D=∠NCB=90°，
∵M、N分别是正方形的边的中点，
∴DM=AM=，CN=
∴DM=CN，
在△DMC和△CNB中，
，
∴△DMC≌△CNB（SAS），
∴∠DCM=∠CBN，
∵∠DCM+∠PCB=90°
∴∠CBP+∠PCB=∠DCM+∠PCB=90°，
∴∠BPC=180°-∠PCB-∠CBP=180°-（∠PCB+∠CBP）=90°
在△CDM和△QAM中
，
∴△CDM≌△QAM（AAS），
∴CD=QA，
在Rt△QBP中，AP为斜边中线，
∴AP==AB．
4.解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵，
∴△CBE△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
5.(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴（SAS）；
(2)
证明：由（1）可知，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
(3)
解：连接DE，如图所示：
由（2）可知，
∵，
∴由勾股定理得：，
∵AD=DC=AB=6，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：，
∴；
故答案为：．
6.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:
，
∴．
(2)∵AB=AD，且AD=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，
∴由三角形内角和定理可知：
∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．
故答案为：15°．
7.(1)
解：
(2)
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
∴∠MBQ=∠CBQ
②
(3)
当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当当点Q在点F的上方时，如图，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．