九年级数学上册试题 4.6 利用相似三角形测高 -北师大版（含答案）

4.6 利用相似三角形测高
第一课时
一、单选题
1．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B． C．相似比为 D．相似比为
4．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米
5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
8．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果的三边长分别是3、4、5，与其相似的的最长边为15，那么的周长是______.
10．已知 ∽，它们的面积比为，则对应角的角平分线的比等于______．
11．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为______米．
12．如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝_____．
13．如图，点E是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点F，若，则_______．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________．
三、解答题
15．如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为12，求△DEF的边EF上的高和面积．
16．如图，在和中，G，H分别是边和的中点，已知．
（1）中线与的比是多少？
（2）与的面积比是多少？
17．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．
18．如图，与相似，AD，BE是的高，，是的高，求证．
19．如图，在中，点D，E分别在边和上，且．
（1）若，则等于多少？
（2）若，则，各等于多少？
第二课时
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，CE平分OB，且与AB交于点E．若F为CE中点，则△BEF的周长是（ ）
A．＋2 B．2＋2 C．2＋2 D．6
2．如图，在中，点、分别在、上，，点在的延长线上，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图所示，、分别是的边、上的点，且，、相交于点．若，则与的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
5．如图，已知在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，交中点.若，若，求点到线段的距离（　　　）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A．AE=2DE B． C． D．
7．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边做正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米．
10．如图，平行四边形中，对角线、交于点，且，，、分别为、上两点，且，连接、，则与的面积比为_______．
11．如图，菱形中，，点为边上一点，连接，，交对角线于点．若，，则______．
12．如图，正方形中，，点在边上，点在边上，，的延长线与射线相交于点，设，则的长为__________．
13．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．
14．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
三、解答题
15．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，PC＝PD，∠CPD＝70°，且△ACP∽△APB．
(1)求证：△ACP∽△PDB
(2)求∠APB的度数；
(3)若AC＝4，CD＝5，BD＝9，求△PCD的周长．
16．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
17．已知：如图，在四边形中，，、相交于点，
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
18．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且．
求证：（1）；
（2）．
19．如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点．
(1)求证：∽；
(2)当时，求的长；
(3)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
20．如图①，在四边形中，，，于点，作于点．
（1）求证：；
（2）连接，交于点（如图②），
①若，求的值；
②求证：．
21．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
第一课时答案
一、单选题
A．C．D.B.A．B.D．D．
二、填空题
9．36.
10．
11．10．
12．．
13．．
14．
三、解答题
15．解：在和中，
∵，，
∴．
又，
∴，与的相似比为．
∵的边BC上的高为6，面积为，
∴的边EF上的高为，面积为．
16．解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴△BAC∽△EDF，
∴∠B=∠E，，
∵G，H分别是边和的中点，
∴BC=2BG，EF=2EH，
∴，
∴△ABG∽△DEH，
∴，即中线与的比是2∶1；
（2）∵△BAC∽△EDF，
∴，即与的面积比是4∶1．
17．解：设PQ＝xm，
由题意可知QR∥ST，
∴△PQR∽△PST
∴．
∴，
解得：x＝120．
∴PQ的长为120m．
18．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，
∴∠ABD=∠A′B′D′，
∵AD和A′D′是高，
∴∠ADB=∠A′D′B′，
∴△ABD∽△A′B′D，
∴，
同理可得，
∴．
19．解：（1）∵DE//BC，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
第二课时答案
一、单选题
C．C．C．C．C．C．B．C
二、填空题
9．5.4．
10．．
11．．
12．
13．．
14．，．
三、解答题
15．（1）
解：∵△ACP∽△APB
∴∠APC＝∠B
∵PC＝PD
∴∠PCD＝∠PDC
∵∠PCD＋∠ACP＝180°，∠PDC＋∠PDB＝180°
∴∠ACP＝∠PDB
∴△ACP∽△PDB
（2）
解：∵∠CPD＝70°
∴∠PCD＝∠PDC＝55°
∴∠A＋∠APC＝55°
∵∠APC＝∠B
∴∠A＋∠B＝55°
∴∠APB＝180°－(∠A＋∠B)=125°
（3）
解：∵△ACP∽△PDB
∴
∵PC＝PD
∴PC2＝AC×BD
∵AC＝4，BD＝9，
∴PC＝PD＝6
∴PC＋PD ＋CD＝17
∴△PCD的周长为17
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
17．证明：（1）
∵两个三角形有一公共角∠BAC
∴．
（2）
为等腰三角形为等腰三角形
．
18．证明：（1）∵
∴
∵∠BFD=∠AFE
∴△AFE∽△BFD
∴∠FDB=∠AEF，
∴180°-∠FDB=180°-∠AEF，
即
（2）∵
∴180°-∠ADC-∠C=180°-∠BED-∠C
即∠DAC=∠EBC
∵BE=CE,
∴∠C=∠DAC=∠EBC
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD
∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠ABD=∠ABE+∠EBC，
∴∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC
∵∠AEB=∠C+∠EBC
∴∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC
∴△AEF∽△CBA，
∴
∴
∵∠C=∠DAC
∴CD=AD
∵AB=AD
∴AB=CD
∴．
19．（1）
证明：四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
∽；
（2）
解：在中，，，
，
，
，
，
，
∴∠APE=600 ,
中，，
；
（3）
解：假设存在满足条件的点，
设，则，
∽，
根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为，
，即，
解得，
，
．
20．（1）证明：∵，∴．
∵，∴，
∴．
又∵，
∴；
（2）①解：如解图①，过点作交的延长线于点．
∵，，
∴是等边三角形，．
∵，
∴，．
∴，．
设的边长为，∵，
∴，，，
∴．
∵，，∴，
∴，
∴，即；
图①
②证明：如解图②，过点作交于点，则．
∵，∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，则．
又∵，∴，，
∴，
∴．
图②
21．（1）
解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）
解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．