宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（理工类）参考答案
1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．C 8．D 9．A 10．C 11．B 12．D
13．72 14． 15． 16．1
17．解：（1）
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，减区间为；当时，不是单调函数.
（2）∵，∴，解得，∴
又
要在区间上单调递增，只需在上恒成立，
即在上恒成立，即，又在上∴.
18．解：（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，
所以估计240人中有人实测答对第5题．
（2）的可能取值是0,1,2，
；；．
的分布列为：
0 1 2
．
（3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．
定义统计量，
其中为第题的预估难度.
并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．
.因为，
所以该次测试的难度预估是合理的．
19．解：（1）因为，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以.
（2）因为，，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过E作于点O，则O是的中点，
因为平面平面，平面，
所以平面，
以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
所以平面的一个法向量，
，设平面的法向量为
则，即，取，则，
同理可求得平面的一个法向量为，
所以，解得或，
当时，，
可判断二面角的平面角为锐角且向量夹角与二面角相等，故舍去，
所以，此时，,所以.
20．解：（1）由题得，当点，四点共线且点在中间时，取得最小值，
最小值为，又，解得，
所以的方程为.
（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立得，
则，所以，又，
所以，所以，
解得或（舍去），即，所以，
所以，
又，
所以为定值.
21．解：（1）因为，且，故是函数的极值点，
因为，所以，故，
又因当时，，且，
故在上增函数，在上减函数，故，故；
（2）因为，则，设，则，
故在上增函数，在上减函数，
所以，，因为，所以，
设，则，因为，所以，
故函数在上减函数，在上增函数，所以，
又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，故，所以实数的取值范围是．
22．解：（1）由曲线的参数方程为 (为参数)，
消去参数，可得普通方程为，即，
又由，代入可得曲线的极坐标方程为，
设点的极坐标为，点点的极坐标为，则，
因为，所以，即，即，所以曲线的极坐标方程为.
（2）由题意，可得,则，
即，当，可得的最小值为2.
23．(1)解：因为，所以，
因为，所以当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得，综上可得原不等式的解集为；
(2)解：因为函数图象如下所示：
由函数图象可得，若的解集不为空
集，只需满足即可，故的取值范围为.宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z＝i2019+i2020，则z的共轭复数
A．﹣1+i B．1﹣i C．1+i D．﹣1﹣i
2．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为
A．8 B．6 C．4 D．3
3．已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是
A．1 B．2 C．3 D．
4．已知两个随机变量满足，且，则依次
A．，2 B．，1 C．，1 D．，2
5．已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若曲线C 的方程为：，则该曲线
A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为
C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点
7．已知双曲线的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=
A． B． C． D．2
8．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有
A．105种 B．144种 C．150种 D．210种
9．已知抛物线的准线为，且点在抛物线上，则点A到准线的距离为
A．5 B．4 C．3 D．2
10．将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为
A． B． C． D．
11．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则
A．1 B．2 C．4 D．5
12．函数在内存在零点，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知样本5，6，7，a，b的平均数为7，方差为2，则_________．
14．曲线在点处的切线方程为______.
15．已知+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为____.
16．已知函数是在R上连续的奇函数，其导函数为．当x＞0时，，且，则函数的零点个数为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的图像在点处的切线斜率为，设，若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围.
18．（12分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号 1 2 3 4 5
考前预估难度
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号 1 2 3 4 5
实测答对人数 16 16 14 14 14
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
19．（12分）图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．
（1）设平面平面，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求长．
20．（12分）已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为.
(1)求的方程；
(2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值.
21．（12分）已知函数，且对恒成立．
（1）求的值；
（2）若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上且满足点的轨迹为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.
23．（选修4-5 不等式选讲）
已知函数．
(1)求解不等式
(2)若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围
