2022-2023学年安徽省蚌埠市怀远实验教育集团九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省蚌埠市怀远实验教育集团九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 函数的图象中，在每个象限内随增大而增大，则可能为( )
A. B. C. D.
4. 已知一个扇形的半径为，弧长为，则这个扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
5. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 点的坐标为
C. 当时，随的增大而减小
D. 图象的对称轴为直线
6. 如图，是的直径，垂直弦于点，的延长线交于点若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，四边形内接于，连接若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，点是上一点，连接若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形中，，，点、分别为、的中点，、相交于点，过点作，交于点，则线段的长度是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与，重合，连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 已知二次函数的图象开口向下，则的值是______ ．
12. 如图，圆的半径为，内接于圆若，，则 ______ ．
13. 如图，，是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为______．
14. 在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．
______用含的式子表示；
若将该抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线仍经过，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：．
16. 本小题分
一个二次函数，当时，函数的最小值为，它的图象经过点，求这个二次函数的表达式．
17. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
18. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
将绕点顺时针旋转得到，请画出，并求出点经过的路径长；
以为位似中心，将放大倍得到，请直接写出的坐标．
19. 本小题分
如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
求步道的长度精确到个位；
点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点请计算说明他走哪一条路较近？
参考数据：，
20. 本小题分
如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
21. 本小题分
如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，：：．
求反比例函数的表达式；
点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标．
22. 本小题分
如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．
求证：；
若，于点，，，求的值．
23. 本小题分
为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用元与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元．
当时，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时．
如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用元最少？最少是多少元？
受投入资金的限制，种植总费用不超过元，请直接写出甲种花卉种植面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转度后与原图重合，即可解题．
此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由，得．
故选：．
利用合比性质解答．
考查了比例的性质，此题比较简单，熟记合比性质即可解题．
3.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象中，在每个象限内随增大而增大，
，
解得：．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设这个扇形的圆心角为，
则，
解得，，
故选：．
根据弧长公式列式计算，得到答案．
本题考查了弧长的计算，弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．
5.【答案】
【解析】解：二次函数的图象开口方向向上，
，
故A错误，
图象对称轴为直线，且过，
点的坐标为，
故B错误，D正确，
由图象知，当时，由图象可知随的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：．
因为图象开口方向向上，所以，故A错误，因为图象对称轴为直线，且过，所以点坐标为，故B错误，D正确，当时，由图象可知随的增大先减小后增大，故C错误，即选D．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
由垂径定理可知，点是的中点，则是的中位线，所以，设，则，，，在中，由勾股定理可得，即，求出的值即可得出结论．
【解答】
解：是的直径，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，且，
设，则，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得．
．
故选：．
【点评】
本题主要考查垂径定理，中位线的性质与判定，勾股定理等知识，设出参数，根据勾股定理得出方程是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是圆内接四边形，
．
故选B．
根据，得到，然后利用圆内接四边形的性质得到结果．
本题考查圆周角定理，以及圆内接四边形的性质．
8.【答案】
【解析】解：过点作于，
，，
，，
，
在中，，，
，
解得，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作于，由锐角三角函数的定义可得，再解直角三角形可求得的长，利用勾股定理可求解的长，进而求解的长．
本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，
点、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
∽，
，
，
解得：，
故选：．
根据矩形的性质得出，，，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接，
点和关于对称，
，
在以圆心，为半径的圆上，
当，，三点共线时，最短，
，，
，
故选：．
当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可．
本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点在以为圆心，为半径的圆上．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次函数的定义可得及开口向下时即可解答．
本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是，没有考虑开口向下时的性质．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
连接，，由三角形内角和可得出，再根据圆周角定理可得，即是等腰直角三角形，又知道圆半径为，可得出结论．
【解答】
解：如图，连接，，
在中，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：为的中点，的面积为，
的面积为，
双曲线的解析式为：，
将代入可得
解得：．
故答案为：．
应用的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中的几何意义，关键是利用的面积转化为的面积．
14.【答案】；
．
【解析】
【分析】
本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是用含的代数式表示平移后抛物线的顶点坐标．
由点在抛物线上，即可得；
将该抛物线向右平移个单位得，而平移后的抛物线仍经过，可解得，故平移后抛物线为，顶点为，由可得，根据二次函数性质可得答案．
【解答】
解：点在抛物线上，
，
；
故答案为：；
由得，
抛物线为，
将该抛物线向右平移个单位得，
平移后的抛物线仍经过，
，
解得舍去或，
平移后抛物线为，顶点为，
令
是关于的二次函数
，
，即，
时，平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为，
故答案为：．
15.【答案】解：原式
．
【解析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：由题意，设，
把代入，得，
解得，
这个二次函数的表达式为．
【解析】设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解．
本题考查求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
17.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
；
二次函数图象的对称轴为直线，
抛物线与轴两个交点关于直线对称，
由图可知抛物线与轴一个交点为，
另一个交点为，
一元二次方程的解为，．
【解析】由即可列不等式得到答案；
根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案．
本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
18.【答案】解：如图，为所作，
，
所以点经过的路径长；
如图，为所作，或．

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，从而得到，然后利用弧长公式计算点经过的路径长；
延长到使或反向延长到使，从而得到的坐标．
本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．也考查了旋转变换．
19.【答案】解：过作于，如图：
由已知可得四边形是矩形，
米，
点在点的北偏东，即，
是等腰直角三角形，
米；
由知是等腰直角三角形，米，
米，
点在点的北偏东，即，
，
米，
米，米，
米，
经过点到达点路程为米，
米，
米，
米，
经过点到达点路程为米，
，
经过点到达点较近．
【解析】过作于，由已知可得四边形是矩形，则米，根据点在点的北偏东，即得米；
由是等腰直角三角形，米，可得米，而，即得米，米，又米，即可得经过点到达点路程为米，米，从而可得经过点到达点路程为米，即可得答案．
本题考查解直角三角形方向角问题，解题的关键是掌握含、角的直角三角形三边的关系．
20.【答案】证明：连接，
为直径，
，
又点是的中点
，，
在和中
≌，
，
又，
；
解：≌，，
，，
，，
又四边形内接于圆，
，
又，
，
又，
∽，
，
即：，
解得：，
．
【解析】连接，通过证明≌，利用全等三角形的性质分析推理；
通过证明∽，利用相似三角形的性质分析计算．
本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
21.【答案】解：如图，过点作轴于点，
轴，
∽，
：：：：．
，，
，
，，
，
．
点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为：．
由题意可知，，
直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
则，
．
的面积为：
．
，
时，的面积的最大值为，此时
【解析】根据正切函数的定义可得出长，过点作轴于点，则∽，由相似比可得出和的长，进而可得出点的坐标，代入反比例函数可得出的值，进而可得结论；
由可得直线的解析式．设点的横坐标为，由此可表达点，的坐标，根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得结论．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，得出与函数关系式是解题的关键．
22.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
解：，，
∽，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，即．
【解析】如图，连接，先根据切线的性质和同圆的半径相等，及等边对等角可得：，从而得结论；
证明∽，得，再证明∽，列比例式可得结论．
此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，第二问证明∽列比例式计算的长是解本题的关键．
23.【答案】解：当时，；
当时，
设函数关系式为，
线段过点，，
，
，
，
即；
甲种花卉种植面积不少于，
，
乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍，
，
，
即；
当时，
由知，，
乙种花卉种植费用为元．
，
，随的增大而增大，
当时，；
当时，
由知，，
，
，对称轴为直线，
在范围内，随的增大而增大，在时，随的增大而减小；
当时，，
，
种植甲种花卉，乙种花卉时，种植的总费用最少，最少为元；
的范围为或．
【解析】分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
先求出的范围；
分两段建立与的函数关系，即可求出各自的的最小值，最后比较，即可求出答案案；
分两段利用，建立不等式求解，即可求出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．
见答案；
见答案；
当时，
由知，，
种植总费用不超过元，
，
，
即满足条件的的范围为，
当时，
由知，，
令，则，
解得：，．
种植总费用不超过元，即，
由与的函数图象可知不符合题意，舍去或，
即满足条件的的范围为，
综上，满足条件的的范围为或．
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