2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）6月检测数学试卷（PDF版含答案）

2022-2023 学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）6 月检测试卷
数学试题
一、选择题（本大题共 12小题，共 60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数 ，则 在 处的导数是 ( )
A. B. C. D.
2. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 下列命题中正确的为( )
散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；
经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
样本相关系数 的绝对值越接近于 ，表明两个变量线性相关性越弱；
同一组样本数据中，决定系数 越大的模型拟合效果越好
A. B. C. D.
4. 某班将 名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，
则甲社区恰好分配 名同学共有种不同的方法．( )
A. B. C. D.
5. 某市 年至 年新能源汽车年销量 单位：千台 与年份代号 的数据如下表：
年份
年份代号
年销量
若根据表中的数据用最小二乘法求得 关于 的经验回归直线方程为 ，则表中 的
值为 ( )
A. B. C. D.
6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，
问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的 倍，已知她 天共织
布 尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对
于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出 尺布．两人第一天都织出一尺，
以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的 倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，
则两人完成织布任务至少需要( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
7. 芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形 生产芯片的原材料中可能会存在坏
点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材
料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良
切割得到的无坏点的芯片数
率．产品良率 在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积
切割得到的所有芯片数
为上一代的 图 是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有 个坏点，若将其按照图 的方式
切割成 个大小相同的正方形，得到 块第 代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料
切割得到第 代芯片的产品良率为 若将这块原材料切割成 个大小相同的正方形，得到
块第 代芯片，则由这块原材料切割得到第 代芯片的产品良率为( )
A. B. C. D.
8. 已知空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且 ， 为
中点，则 等于 ( )
A. B.
C. D.
9. 若二项式 展开式中含有常数项，则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
10. 设 ，随机变量的分布列为：
则当 在 上增大时( )
A. 单调递增，最大值为 B. 先增后减，最大值为
C. 单调递减，最小值为 D. 先减后增，最小值为
11. 已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，过双曲线
右焦点 的直线 与双曲线 相交于 ， 两点，弦 的中点为 ，点 是双曲线 右支
上的动点，点 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点，点 是圆 上的
动点，则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
12. 若存在 ，使不等式
成立，则 的取值范围是
( )
A. B. C.
D.
二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分）
13. 在等比数列 中， ， ，则 等于 ．
14. 一个篮球运动员投篮一次得 分的概率为 ，得 分的概率为 ，不得分的概率为 ，
，且 ，已知他投篮一次得分的数学期望为 ，则 的最小值
为 ．
15. 如图，在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之
和，若第 行中的三个连续的数之比是 ，则 的值是 ．
16. 已知函数 若 关于 的方程 恰好
．
有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 分
某校用随机抽样的方法调查学生参加校外补习情况，得到的数据如下表：
不及格 及格 良好 优秀
学生人数
参加校外补习人数
从中任取一名学生，记 “该生参加了校外补习”， “该生成绩为优秀” 求 及 ；
能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关？
附：
，其中 ．
18. 本小题 分
已知函数 ，若 在点 处的切线方程为 ．
求 ， 的值；
求函数 在 上的最大值．
19. 本小题 分
进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，
具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事 为了普及垃圾分类
知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率
都为 ，乙同学答对每题的概率都为 ，且在考试中每人各题答题结果互不影响 已知
每题甲，乙同时答对的概率为 ，恰有一人答对的概率为 ．
求 和 的值；
试求两人共答对 道题的概率．
20. 本小题 分
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ．
Ⅰ 求证： 平面 ；
Ⅱ 求点 到平面 的距离；
Ⅲ 求平面 与平面 的夹角．
21. 本小题 分
随着现代化进程的不断推进，作为可持续发展代表之一的新能源汽车行业在近几年飞速崛
起．某新能源汽车零部件工厂统计了某天甲、乙两组工人 每组 人 生产 型工件的个数，如
表所示：
甲组
乙组
若分别从甲、乙两组工人中各抽取一人，求被抽取到的两人这天生产 型工件个数均不低
于 的概率；
从这天甲、乙两组工人生产 型工件个数不低于 的工人中随机抽出 人进行质量评估，
记这 人中乙组工人数为 ，求 的分布列和数学期望．
22. 本小题 分
已知函数 ．
讨论函数 的单调性；
若 有两个极值点 ， ，且 ，当 时，求 的取值范围．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17.解： 由给定的数表得 ， ， ，
所以 ；
由已知得 列联表：
不参加校外补
参加校外补习 合计
习
成绩优秀或良好
成绩不为优秀且良好
合计
零假设为
：学生成绩优秀或良好与校外补习无关联．
，
根据小概率值 的 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，所以可以认为 成立，即
认为学生成绩优秀或良好与校外补习无关．
18.解： ，
由题意得 ，
所以 ， ；
由 得 ， ，
因为 ，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，当
时， ，函数单调递增，
故当 时，函数取得极大值
，
又 ， ，
故函数 在 上的最大值为 ．
19.解： 设 甲同学答对第一题 ， 乙同学答对第一题 ，
则 ， ，
设 甲、乙二人均答对第一题 ， 甲、乙二人恰有一人答对第一题 ，
则 ， ，
二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
与 相互独立， 与 相互互斥，
，
，
由题意得： ，
解得 或 ，
， ， ．
设 甲同学答对了 道题 ， 乙同学答对了 道题 ， ， ， ，
由题意得：
，
，
， ，
设 甲乙二人共答对 道题 ，则 ，
，
甲乙两人共答对 道题的概率为 ．
20.解： Ⅰ 由已知可得： ， ，
如图以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设
，则由 ， ，
可得方程组 ，解得 ．
可得 由于 ，可得 ．
所以 ，
因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由
，即
取 ，得平面 的法向量是 ，
，
故 EF 平面 ．
Ⅱ 设点 到平面 的距离为 ，
由 ， ．
点 到平面 的距离是 ．
Ⅲ 由于 ，
，
设平面 的法向量为 ，
由 即
取 ，可得平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，则
故平面 与平面 的夹角为 ．
21.解： 设事件 为“被抽取到的两人这天生产 型工件个数
均不低于 ”，
则由表格可得，甲、乙组工人 每组 人 中，生产 型工件个
数均不低于 的人数分别为 和 ，
，
故被抽取到的两人这天生产 型工件个数均不低于 的概率为 ；
依题意，甲、乙组工人 每组 人 中，生产 型工件个数均不低于 的人数分别为 和 ，所
以 所有可能的取值为 ， ， ， ，
则
，
，
，
，
所以 的分布列为
所以 ．
22.解： 的定义域为 ，
，令 该函数与 同号 ，
当 ，即 时， 在 上恒成立，故此时 是增函数；
当 ，即 时， 有两个正根，
，或
，显然 ，
此时 的单调递增区间为 ， ，单调递减期间为 ；
同理当 时， 在 上恒成立，故此时 是增函数；
综上可知：当 时， 是增函数； 时， 的两根为： ，或
，
此时 的单调递增区间为 ， ，单调递减期间为
由 知， ，再令
当 ， 的两个极值点为 的两个互异实根 ， ，
且 ， ，则 ，即 ，
显然 ，由 整理得 ，解得 ，且 ，
而
，
将 代入上式整理得
，再将 代入
上式得：
， ，且 ，
令 ， ，
在 上恒成立，故 在 上单调递减，
， ，且 ，
即 的取值范围为