安徽省滁州市定远重点中学2022-2023学年第二学期高二6月第二次阶段性检测数学试卷（PDF版含解析））

2022-2023学年第二学期高二 6月第二次阶段性检测试卷
数学试题
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 研究变量 ， 得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法不正确的个数是 ( )
残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
散点图中，点越接近某一条直线，线性相关性越强，相关系数越大
在线性回归方程 中，当变量 每增加 个单位时，变量 就增加 个单位
残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
A. B. C. D.
2. 对于无穷常数列 ，下列说法正确的是 ( )
A. 该数列既不是等差数列也不是等比数列 B. 该数列是等差数列但不是等比数列
C. 该数列是等比数列但不是等差数列 D. 该数列既是等差数列又是等比数列
3. 设函数 有两个极值点 ， ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 在数列 中，若 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
5. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、
谷雨、立夏、小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当
日日影长为 尺，立夏当日日影长为 尺，则春分当日日影长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
6. 体育强国的建设是 年我国发展的总体目标之一 某学校安排每天一小时课外活动时
间，现统计得小明同学 周的课外体育运动时间 单位：小时 ： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，则下列说法不正确的是( )
A. 小明同学 周的课外体育运动时间平均每天不少于 小时
B. 小明同学 周的课外体育运动时间的中位数为
C. 以这 周数据估计小明同学一周课外体育运动时间大于 小时的概率为
D. 若这组数据同时增加 ，则增加后的 个数据的极差、标准差与原数据的极差、标准差
相比均无变化
7. 已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则使 的 的最大值为
( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不等式一定成立的为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4小题，共 20分。在每小题有多项符合题目要求。选全对的得 5分，
对不全对的得 2分）
9. 以下说法正确的有( )
A. 经验回归直线 至少经过样本点数据中的一个点
B. 某医院住院的 位新冠患者的潜伏天数分别为 ， ， ， ， ， ， ， ，则该样本数据
的第三四分位数为
C. 已知 ， ， ，则
D. 若随机变量 ～ ，则 取最大值的充分不必要条件是
10. 已知数列 的前 项和为 且满足 ， ，下列命题中正确
的是( )
A. 是等差数列 B.
C. D. 是等比数列
11. 设函数 ，则( )
A. 是奇函数 B. 当 时， 有最小值
C. 在区间 上单调递减 D. 有两个极值点
12. 设函数 ， ，则下列说法正确的有( )
A. 不等式 的解集为
B. 函数 在 单调递增，在 单调递减
C. 当 时，总有 恒成立
D. 若函数 有两个极值点，则实数
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13. 我们比较熟悉的网络新词，有“ ”、“内卷”、“躺平”等，定义方程 的实
数根 叫做函数 的“躺平点” 若函数 ， ， 的“躺
平点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为______ ．
14. 函数 的单调减区间为______．
15. 已知数列 的通项公式是 ，其前 项的和为 设
，若数列
是严格增数列，则实数 的取值范围是______ ．
16. 设数列 满足 ，且
， ，设 ，
若 ，则整数 ．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 分
旅游承载着人们对美好生活的向往 随着近些年人们收入和消费水平不断提高 对品质生活的
需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代 某旅游景区为吸引旅客，提供了 、 两条
路线方案，该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价 “好”或“一般” ，对
名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
路线 路线
合计
好 一般 好 一般
男
女
合计
填补上面的统计表中的空缺数据 并依据小概率值 的独立性检验，能否认为有 ，
两条路线的选择与性别有关？
某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三
条评价 评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考 ，若评价为“好”的计 分，评价为“一
般”的计 分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路？请用计算说明理由．
附： ，其中 ．
18. 本小题 分
已知函数 ， ．
若 为 上的增函数，求 的取值范围；
若 在 内恒成立， ，求 的最大值．
19. 本小题 分
数列 ， 满足 ， ， ．
求证： 是常数列；
设 ， ，求 的最大项．
20. 本小题 分
设数列 的前 项和为 ，_____．
从 数列 是公比为 的等比数列， ， ， 成等差数列； ；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
求数列 的通项公式；
若
，求数列 的前 项和 ．
21. 本小题 分
已知函数 ．
求曲线 在点 处的切线方程；
当 时，求证： ．
22. 本小题 分
已知函数 ．
若函数 在 时取得极值，求 的值；
在第一问的条件下，求证：函数 有最小值；
当 时，过点 与曲线 相切的直线有几条，并说明理由 注：不用求出具
体的切线方程，只需说明切线条数的理由
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17.解： 补全统计表如下，
路线 路线
合计
好 一般 好 一般
男
女
合计
将数据整理，得到 列联表如下，
路线 路线 合计
男
女
合计
，
依据小概率值 的独立性检验，能认为 ， 两条路线的选择与性别有关；
设 、 两条路线的得分分别为 ， ，
则 ， 的可能取值都为 ， ， ， ，
， ，
，
，
，
， ，
， ，
，
， 选择 线路．
18.解： ， ．
，
为 上的增函数，
在 上恒成立，
．
令 ， ，
，
令 ，解得 ，
可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
时，函数 取得极小值即最小值， ，
，
的取值范围是 ．
在 内恒成立， 在 内恒成立，
化为 ，
，
令 ， ， ，
， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增， 时， 时，不符合题意，
舍去；
当 时，令 ，解得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
时，函数 取得极小值即最小值，
，
令 ，则 ，
，
令 ，解得 ．
可得 时，函数 取得极大值即最大值， ，
的最大值为 ．
19.解： ，
， ，
， ，
． ，
所以，数列 是常数列．
， ， ．
由 知： ，
，又 ， ．
又
， 又 ， ．
，即 ，
所以，数列 是递减数列．
故数列的最大项为 ．
20.解：选 时，数列 是公比为 的等比数列， ， ， 成等差数列；
所以 ，
则 ，
解得 ，
所以 ．
选 时， ；
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
整理得： 常数 ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以
；
选 时， ， 时，
，
当 时， ．
检验 时， 成立，
所以
．
，
所以 ，
，
所以 得： ，
，
所以 ．
21.解： ， ， ，
则所求切线方程为 ，即 ．
证明：令 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，且 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值为 ， ，
即 ．
22.解： 已知 ，函数定义域为 ，
可得 ，
若函数 在 时取得极值，
此时 ，
解得 ，
当 时， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 是极大值点，满足条件，
综上所述， ；
证明：由 知，函数 在 处取得极小值，且 ，
而 ，
当 时， 恒成立，
故 在 处取得最小值，最小值为 ；
当 时， ，
此时点 不在函数 的图象上，
不妨设过 的切线的切点为 ，
可得
，
因为 ，
所以
，
又
，
整理得
，
要求过点 与曲线 相切的直线有几条，
即求关于 的一元三次方程
的实数根的个数问题，
不妨设 ，
因为 ， ， ， ，
所以 在 ， ， 内各有一个实数根，
又因为
在实数范围内最多有三个根，
则 有三个不相同的实数根，
所以过点 与曲线 相切的直线有 条．