11.2.1 三角形的内角 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第十一章 三角形
人教版数学教材 八年级上
学习目标
1.了解三角形内角和的证明思路.
2.会用三角形的内角和定理解决简单的实际问题.
重点：三角形的内角和定理及其应用.
难点：三角形的内角和证明及其应用.
课前预习
阅读课本P11-14页内容，了解本节主要内容.
180°
直角三角形
互余
新课导入
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。
A
C
B
图1
B
A
C
图2
BA
C
图3
BAC
图4
小学时用的证明方法
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
三角形的内角和定理的证明
一
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
新知讲解
验证结论
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
三角形的内角和定理的运用
二
新知讲解
北
.
A
D
北
.
C
B
东
E
例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
东
E
问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
直角三角形的两个锐角互余
三
问题引导
新知讲解
问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC ．
总结归纳
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
例3（1）如图 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A
与∠D有什么关系？
图
典例分析
问题3：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形
四
新知讲解
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
归纳总结
例4 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
典例分析
1.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
随堂练习
2.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.
90°
3.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=________.
52°
第2题图
第3题图
4.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.
直角三角形
5. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数．
解：∵∠A +∠ADE = 180°，
∴ AB∥DE.
∴∠CED =∠B = 78°.
又∵∠C = 60°，
∴∠EDC = 180° - (∠CED +∠C )
= 180° - (78°+ 60°) = 42°.
6. 如图，在△ABC 中，∠B = 42°，∠C = 78°，AD 平分∠BAC．求∠ADC 的度数.
解：∵∠B = 42°，∠C = 78°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°.
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠CAD = ∠BAC = 30°.
∴∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 72°.
7.如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB.
（1）若∠A = 60°，求∠BPC 的度数．
解：在△ABC 中，∵∠A = 60°，
∴∠ABC +∠ACB = 120°．
∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，
∴∠PBC +∠PCB = (∠ABC +∠ACB) = 60°．
∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°，
∴∠BPC = 180° - 60° = 120°．
(2) 你能直接写出∠BPC 与∠A 之间的数量关系吗？
解：∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，
∴∠PBC +∠PCB = (∠ABC +∠ACB)．
∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°，
∴∠BPC = 180° - (∠ABC +∠ACB)
= 180° - (180° - ∠A）
= 90° + ∠A．
三角形的内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
直角三角形的性质与判定
性质
判定
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
课堂小结
本课结束
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