2022-2023学年北京市海淀区高二（下）开学考试数学试卷(PDF版含解析）

北京市海淀区 2022-2023 学年高二（下）开学考试数学试卷
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 10 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 当 2 < < 1 + 2时，复数 = 2 在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 垂直于向量(2,1)，并且经过点 (3, 2)的直线方程为( )
A. 2 + 4 = 0 B. 2 + + 4 = 0 C. 2 4 = 0 D. 2 + 4 = 0
3. 若直线|的一个方向向量为 = (1, 2, 1)，平面 的一个法向量为 = ( 2,4,2)，则( )
A. B. |// C. ⊥ D. |// 或
4. 1已知抛物线 2 = 上的点 ( 2 , 0)到其焦点的距离是 1，那么实数 的值为( )
A. 14 B.
1
2 C. 1 D. 2
5. 在平行六面体 1 1 1 1中，点 满足 2 = .若 1 1 = ， 1 1 = ， 1 = ，
则下列向量中与 1 相等的是( )
A. 12
1
2
+ B. 1 + 1 2 2 +
C. 12 +
1 + D. 12 2
1
2 +
6. 已知直线 ： = + ，⊙ ： 2 + 2 = 1，则“| | < 1”是“直线 与⊙ 相交”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知斜四棱柱 1 1 1 1的各棱长均为 2，∠ = 60 1 ，∠ = 90 ，平
面 1 1 ⊥平面 ，则异面直线 1与 1所成的角的余弦值为 ( )
A. 3 B. 13 C. 39 D. 3
4 4 13 4
8. 已知 ， (异于坐标原点)是圆( 2)2 + ( 1)2 = 5 与坐标轴的两个交点，则下列点
中，使得△ 为钝角三角形的是( )
A. (0,0) B. (4, 3 22 ) C. (2,1 5) D. (1,2 2)
2 29. 已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 1)的左焦点为 ，上顶点为 ，平行于直线 的直线
交椭圆 于 、 两点，若线段 的中点坐标为(2, 1)， 为椭圆 上任意一点，| |的最大
值为 4 + 2 2，则椭圆 的长轴长为( )
A. 8 B. 4 C. 2 2 D. 4 2
10. 如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1中， ，
分别为 1， 1 1的中点， 为正方体 1 1 1 1
表面上的动点．下列叙述正确的是( )
A. 当点 在侧面 1 1 上运动时，直线 与平面 所成

角的最大值为2
B. 当点 为棱 1 1的中点时， / /平面
C. 当点 在棱 1上时，点 到平面 的距离的最小值为 66
D. 当点 时，满足 ⊥平面 的点 共有 2个
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 5 小题，共 20 分）
11. 已知复数 1+ 满足 = ，则| | =
12. 已知直线 1： + 2 = 0，直线 2： ( + 1) 1 = 0.若 1 ⊥ 2，则实数 = ．
13. 4已知双曲线 的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为 =± 3 ，请写出双
曲线 的一个离心率
2 2
14. 已知 1， 2分别为椭圆 + 2 = 1 的左、右焦点，以 2为圆心且过椭圆左顶点的圆与9
直线 3 + 8 = 0 相切. 为椭圆上一点， 为△ 1 2的内心，且 △ 1 = △ 1 2 △ 2，
则 的值为 ．
15. 数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线 在平面直角坐标系 中的方
程为 3 + 3 3 = 0.当 = 1 时，给出下列四个结论：
①曲线 不经过第三象限；
②曲线 关于直线 = 轴对称；
③对任意 ∈ ，曲线 与直线 = + 一定有公共点；
④对任意 ∈ ，曲线 与直线 = 一定有公共点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题 10分)
已知直线 1： = 1 与直线 2： = 2交于点 ，点 关于坐标原点的对称点为 ，点 在直
线 1上，点 在直线 2上．
(1)当 = 1 时，求 点的坐标；
(2)当四边形 为菱形时，求 的值．
17. (本小题 10分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)，满足下列三个条件中的一个： ①抛物线 上一动点 到焦点
的距离比到直线 : = 1 的距离大 1; ②点 (2,3)到焦点 与到准线 : = 2的距离之和等
于 7; ③该抛物线 被直线 : 2 = 0 所截得弦长为 16.请选择其中一个条件解答下列问
题．
(1)求抛物线 的标准方程;
(2) 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，
当 1 2 = 4时，求△ 的面积的最小值．
18. (本小题 10分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，△ 是等腰三角形，且 = = 3；
在梯形 中， / / ， ⊥ ， = 5， = 4， = 3．
(1)求证： //面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)请问棱 上是否存在点 到面 的距离为 10，若存在，求出 的值，若不存在，说明10
理由．
19. (本小题 10分)
:
2
+
2
已知椭圆 2 2 = 1 > > 0 的短轴长为 2 2， 2, 1 是椭圆 上一点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 ,0 ( 为常数，且 ≠± 2)的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，与 轴相交于
点 ，已知 = 1 ， = 2 ，试问 1 + 2
2 4 是否为定值？若是，请求出该
值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.
= 2 1 + 2+ 【解析】计算可得 5 5 ，
因为 ∈ ( 2, 12 )
2 1
，所以 5 < 0,
2+
5 > 0，
故复数 在复平面内的对应点位于第二象限，故选 ．
2.
【解析】∵直线垂直于向量(2,1)，
∴直线的斜率为 = 2．
又直线经过点 (3, 2)，
∴直线的方程为： + 2 = 2( 3)，化为 2 + 4 = 0，故选 A．
3.
【解析】因为 = (1, 2, 1)， = ( 2,4,2)，则 = 2 ，即 / / ，
因此， ⊥ ．故选： ．
4.

【解析】由抛物线方程知：抛物线焦点为 ( 4 , 0)( > 0)，准线为 = 4，
1
由抛物线定义知：| | = 2 + 4 = 1，解得： = 2，故选： ．
5.
【解析】平行六面体 1 1 1 1中，点 满足 2 = .若 1 1 = ， 1 1 = ， 1 = ，
= + = + 1所以 1 1 2 ( +
) = 12 +
1
2 + ．故选： ．
6.
【解析】⊙ ： 2 + 2 = 1，
则⊙ 的圆心为(0,0)，半径为 1，
| |
圆心到直线 的距离为
2
，
+1
| |
当| | < 1时， < 12 ，故直线 与⊙ 相交，充分性成立， +1
| |
当直线 与⊙ 相交，则 < 1 22 ，即| | < + 1，必要性不成立， +1
故“| | < 1”是“直线 与⊙ 相交”的充分而不必要条件，故 A 正确．故选： ．
7.
【解析】∵ 1/ / 1，
∴ ∠ 1 (或其补角)是异面直线 1与 1所成的角，
∵ 1 = 2， = 2 + 2 = 2 2，
在菱形 1 1中，∵ ∠ 1 = 60°，
∴ ∠ 1 1 = 120°，
∵ 1 1 = 1 = 2，∴由余弦定理求得 1 = 2 3，
又 ⊥ ，平面 1 1 ⊥平面 ，
平面 1 1 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 1 1，又∵ 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1,
∴ 1 = 2 + 21 = 4，
∴在△ cos∠ = 16+4 8 31 中， 1 2×4×2 = 4．故选： ．
8.
【解析】对于圆( 2)2 + ( 1)2 = 5，
令 = 0，解得 = 0，2；
令 = 0，解得 = 0，4．
不妨取 (4,0)， (0,2)，
可得直线 的方程：4 + 2 = 1，即 + 2 4 = 0．
圆心 (2,1)满足直线 的方程，
下列点 中，使得△ 为钝角三角形，则点 必须在⊙ 的内部．
经过验证(0,0)，(2,1 5)在⊙ 上，点(4, 3 2 )在⊙ 的外部，只有点 (1,2 2)在圆的内部，2
故选： ．
9.
【解析】设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 的中点(2, 1)，
2 2 2 21 1 2 2 1 2 1+ 22
2 + 2 = 1， 2 + 2 = 1，两式相减可得 = ，1 2 1+ 2 2
2×( 1) 1
2
即 ，即 2 = 2 = 2 + 2，2×2 = 2 = 2 × ( 1)
∴ = ， = 2 ，
∵ | |的最大值为 4 + 2 2，∴ + = 4 + 2 2，∴ = 4，
则椭圆 的长轴长为 8，故选： ．
10.

【解析】对于 ，假设直线 与平面 所成角为2，即 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，由正方体的结构，显然不成立，故假设错误，A 错误；
对于 ，取 中点 ，易得平面 即平面 1 ，令上底面 1 1 1 1中心为 ，连接 ，
显然 // ，但 与平面 1 不平行，所以 与平面 1 不平行，B 错误；
对于 ，考虑四面体 ， = 5， = 3， = 2，2 2 2
所以 2 = 2 + 2，所以 △ =
1
2 ×
2
2 ×
3
2 =
6，
8
设点 到平面 的距离为 ，由等体积法， 1 6 1 1 = ，所以 ，3 × 8 × = 3 × △ × 2
所以 = 4 △ 6 ，因为点 在棱 1上，当点 位于点 1时，三角形 的底边 上的高线最小，
又 1为定值，即三角形 的面积此时最小，最小为4，所以 的最小值为
6，C 正确；
6
对于 ，如图，取 1中点 ， 1中点 ，连接 1 ，
易得， ⊥ 1 ，又 ⊥ ， 1 与 为平面 1 1内两相交直线，所以 ⊥平面 1 1，
将平面 1 1向下平移得到平面 ，平面 经过 1与 1的靠近下方的四等分点 与 ，
此时平面 经过点 ，且 ⊥平面 ，故点 只能位于正方体表面与平面 的交线上，
设交线为 ，为一长方形边界，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
以线段 为直径作球 ，则点 位于球 的表面，球心 为线段 中点，球的半径为 2，
4
易得，球 的表面与交线 的交点共两个，一个为正方形 1 1 的中心，一个位于线段 上，故
满足条件的点 只有一个，为正方形 1 1 的中心，D 错误．
故选： ．
11. 2
= 1+ (1+ ) +
2
【解析】 ，则 ．
= 2 = 1 = 1 | | = 1 + 1 = 2
12. 12
【解析】∵直线 1： + 2 = 0，直线 2： ( + 1) 1 = 0，且 1 ⊥ 2，
∴ 1 × + 1 × ( + 1) = 0，
∴ = 1 12，故答案为： 2．
13.53 (
5
或4 )
4
【解析】由于双曲线 的渐近线方程为 =± 3 ，
可设双曲线 的方程为 16 2 9 2 = ( ≠ 0)，
+
当 > 0时，双曲线 的离心率 = 16 9 = 5； 3
4
+
当 < 0时，双曲线的离心率 = 16 9 5． = 4
3
5 ( 5故答案为：3 或4 ).
14.32
2 2
【解析】设椭圆 + 2 = 1 的右焦点 2( , 0)( > 0)，以 2为圆心且过椭圆左顶点的圆方程为 9
2 + 2 = 3+ 2与直线 3 + 8 = 0 +8相切.则 2 = 3 + ，解得 = 2,
设△ 1 2的内切圆半径为 ，
则 ， △ 2 =
1
2 | 2| ，
∵ △ 1 + △ 2 = △ 1 2，
∴ 12 | 1| +
1
2 | 2| =
1
2 | 1 2| ，
可得| 1| + | 2| = | 1 2|.
∴ 2 = ·2 ，
3
解得： = 2．
15.①②④
【解析】当 = 1 时，方程为 3 + 3 3 = 0，
当 ， < 0 时， 3 + 3 3 < 0，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确；
将点( , )代入曲线方程，得 3 + 3 3 = 0，故曲线关于直线 = 对称，②正确；
3 3
= 1 + 3 = 0当 ，联立 3 + = 1 ，其中 +
3 3 = ( + )( 2 + 2 ) 3 = 0，
将 + = 1代入，得 ( + )2 = 0，即 + = 0，则方程组无解，
故曲线 与直线 + = 1无公共点，③错误；
3 + 3 3 = 0
联立 3 3 = ，可得 + 3 = 0 有解，
设 ( ) = 3 + 3 3 ，
当 > 0 时，则 ′( ) = 3 2 3 = 3( )( + )，
( )在( ∞, ), ( , + ∞)单调递增，
( , )单调递减，值域为 ，所以存在 ( ) = 0 成立，
当 = 0 时， (0) = 0 成立；
当 < 0 时， ′( ) = 3 2 3 > 0， ( )单调递增，
( ) = 3 + 3 + 3 2 = 3 2 > 0， ( ) = 3 + 3 3 2 = 2(2 3) < 0，
所以 0 ∈ ( , )， ( 0) = 0 成立，
所以曲线 与直线 = 一定有公共点，故④选项正确．
故答案为：①②④．
16.解：(1)当 = 1 时，直线 2： = 2，又直线 1： = 1，
∴可得 为(3,1)，∴ 为( 3, 1)；
= 1
(2) 3联立 = 2，可得 ( , 1)，
设 ( , 2)，又四边形 为菱形，
∴ ( , 2 )，且 = 1，又 在直线 1： = 1上，
2 = 1
∴ 1 2 = 1，解得 =± 3，3

∴ 的值为± 3．
17.解：(1)选 ①抛物线 上一动点 到焦点 的距离比到直线 : = 1的距离大 1，
可得抛物线 上一动点 到焦点 的距离与到直线 : = 2的距离相等，
所以直线 = 2为抛物线的准线方程，可得 2 = 2，即 = 4，
所以抛物线的方程为 2 = 8 :
选 ②点 (2,3)

到焦点 与到准线 : = 2的距离之和等于 7，
由 ( 2 , 0)

，可得 (2 22 ) + 9 + 2 +

2 = 7，即有(2 2 )
2 + 9 = (5 )22 ，
解得 = 4，
所以抛物线的方程为 2 = 8 :
选 ③该抛物线 被直线 : 2 = 0 所截得弦长为 16．
2 = 2
由 2 = 0消去 ，可得
2 (4 + 2 ) + 4 = 0，
= (4 + 2 )2 16 = 4 2 + 16 > 0，
设弦的端点的横坐标分别为 1， 2，
则 1 + 2 = 4 + 2 ， 1 2 = 4，
所以 2 ( 1 + 22) 4 1 2 = 2 (4 + 2 )2 16 = 16，
解得 = 4，
所以抛物线的方程为 2 = 8 ；
(2)设 : = +
因为 与抛物线 相交于 、
所以将 : = + 代 2 = 8 消去 得： 2 8 8 = 0，
= 64 2 + 64 > 0
设 ( 1, 1)、 ( 2, 2)
1 + 2 = 8 ; 1 2 = 8
= 1 2由题意可知 1 ， 2 =1 2
· = 1 2 1 2 64 64所以 1 2 = 2 2 =1 2 1 2
= = 4
. 1 2
8
8 8
所以 = 2
所以△ 1的面积 = 2 × 2 × | 1 2| = | 1 2| = 64
2 + 64 ≥ 8(当且仅当 = 0 时取得)
所以△ 的面积的最小值为 8．
18.解：(1)证明：∵ // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)在梯形 中， / / ， ⊥ ， = 5， = 4， = 3，
故 BC= 2 + 2 = 2 5，
∵平面 ⊥平面 ，△ 是等腰三角形，且 = = 3，
∴由面面垂直的性质可得 到平面 的距离即为 到 的距离，易得为 2．
以 为原点，以 ， ，及平面 过 的垂线为坐标轴建立空间坐标系，
如图所示：
∴ (4,0,0)， (4,5,0)， (0,3,0)， (2,4,2)，
∴ = (2,1, 2)， = (0,5,0)， = (4,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
则 = 0 , = 0
= 0
,
= 0
2 1 + 1 2 1 = 0 2 ∴ , 2
+ 2 2 2 = 0
5 1 = 0 4 2 + 2 = 0
,
2
令 1 = 1， 2 = 1 可得 = (1,0,1)， = (1, 2,0)，
∴ cos , = = 1 = 10 2 5 10 ．
由图形可知二面角 为锐二面角，
∴二面角 的余弦值为 10．
10
(3)假设棱 上存在点 到面 的距离为 10，
10
设 = = (4,2,0) = (4 , 2 , 0)，
∴ (4 , 2 + 3,0)，∴ = (4 4,2 + 3,0)，
∴点 到平面 |4 4| 10 5的距离 = 2 = 10 , ∴ |4 4| = ，5 ∴ = 1
5，
20
∴棱 上存在点 到面 | | 5的距离为 10，| | = 1 20．10
19.解：(1)因为椭圆 的短轴长为 2 2，所以 = 2．
又 ( 2, 1)是椭圆 上一点，
2 1
所以 2 + 2 = 1，解得 = 2，
2 2
所以椭圆 的方程为 ．
4 + 2 = 1
(2)由题可知，直线 的斜率一定存在，
可设 的方程为 = ( )， ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 (0, )，
= ( 1, 1 + )， = ( 1, 1)，
= ( 2, 2 + )， = ( 2, 2).
= ( ),
联立方程组 2 + 2 2 4 = 0,
整理得(1 + 2 2) 2 4 2 + 2 2 2 4 = 0，
则△= 16 2 4 (4 + 8 2)(2 2 2 4) = 32 2 8 2 2 + 16 > 0，
2 2 2
1 +
4 2 4
2 = ， ．1+2 2 1 2 = 1+2 2
因为 = ， = 1 ，2
1 2
所以 =1 ， =2 ，1 2
则 + =
1 2
1 2 +1 2
= ( 1+ 2) 2 1 2 8 2 ( =1+ 2)+ 1 2 2 4，
故( + ) ( 2 4)1 2 为定值，且定值为 8．