2023年春期高二期末考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i为虚数单位，则
A． B． C． D．
2．已知函数的图象如右图所示，那么函数的导函数的图象最有可能的是下图中的
A．B．C． D．
3．已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为
A． B． C． D．1
4．两圆与的公共弦长等于
A．4 B． C． D．
5．已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
6．的展开式中的常数项等于
A． B． C． D．
7．设则是“”成立的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
8．曲线和曲线围成的图形面积是
A． B． C． D．
9．安排4名男生和3名女生参与完成3项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式种数为（ ）
A．432 B．144 C．216 D．1296
10．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左 右焦点分别为，，过C的左焦点作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若且，则C的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数，则方程的根的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________.
14．已知命题P：[0,1],，命题q：“R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是_____________________；
15．已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是_______.
16．如图，在长方体中，，动点分别在线段和上．给出下列四个结论：
①存在点，使得是等边三角形；
②三棱锥的体积为定值；
③设直线与所成角为，则；
④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
18．（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，．底面，且
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．（12分）高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.
（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；
（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望.
20.（12分）已知椭圆的右焦点为且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数.
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
（2）求证：≥0恒成立的充要条件是；
（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）（选修4-4 极坐标与参数方程）
在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)直线与曲线交于两点，点，求的值.
23．（10分）（选修4-5 不等式选讲）
设函数.
（1）证明；
（2）若当时，关于实数x的不等式恒成立，求实数t的取值范围.
(
4
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数学（理工类）参考答案
1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A 9．C 10．D 11．A 12．C
13． 14． 15． 16．②④
17．解：（1）函数的定义域为，,
由解得，
由，可得，所以函数增区间是，
由，可得，所以函数减区间是.
（2）
1
0
由上表可知：，.
18．解：（1）取的三等分点，且，连结，，
如图所示：
又因为，所以．
因为，所以，
所以四边形是平行四边形．所以，
又直线平面，平面，所以平面．
（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，．
，，设平面的法向量为，
则，即.，，
设平面的法向量为，则，即．
所以，由图可知，二面角的余弦值为．
19．解：（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率
（2）的概率分布列为
X 1 2 3 4 5
P
所以.
21．解：（1）由，
又原点到直线的距离为，，
又，故椭圆方程为.
（2）显然当直线与轴垂直时不可能满足条件,
故可设存在满足条件的直线的方程为，带入椭圆的方程得
,
因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为
,
因为，即,
所以即,
所以，
解得, 因为为不同的两点，所以
,所以 ,故,
所以存在满足条件的直线，且其方程为.
21．解：（1）因为，所以，所以曲线在处的切线的斜率为.
因为曲线在处的切线的方程为，所以，解得：.
（2）①充分性：当时，.
所以当x>1时, ,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,当0②必要性
（i）当时，恒成立，所以函数f(x)在（0，+∞）上是增函数．而.所以当时，，与恒成立相矛盾，所以不满足题意.
（ii）当时，因为当时，，所以函数f(x)在（a，+∞）上是增函数；
当时，，所以函数f(x)在（0，a）上是减函数.
所以.
因为.所以当时，，此时与恒成立相矛盾，所以.
综上所述，恒成立的充要条件是a=1.
（3）由（2）可知：当a<0时，函数f(x)在上是增函数，又函数在是减函数．
不妨设，则.
所以等价于，即.
设
则等价于在区间上是减函数.
因为，所以在时恒成立，
即在时恒成立，即.
而在区间上是增函数，所以的最大值为-3，所以又，所以.
22．解：（1）将直线的参数方程消去参数得，
所以直线的普通方程为，
因为曲线的极坐标方程是，又，，，所以曲线的直角坐标方程为；
（2）将直线的参数方程（t为参数），代入曲线的直角坐标方程中，并整理得，
设两点对应的参数分别为，由韦达定理得，，
.
23．证明：.
当且仅当且等号成立
（2）当时.
当时，；当时，；当时，，
∴.若恒成立.
则只需，解得.
综上所述实数t的取值范围是.
(
2
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