2023年春期高二期末考试
数学（文史类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i为虚数单位，则
A． B． C． D．
2．已知函数的图象如右图所示，那么函数的导函数的图象最有可能的是下图中的
A．B．C． D．
3．在我市举办的“讲述抗疫精神，弘扬中国文化”书画活动中，甲乙丙三位同学把他们的书信（每人一封）随机投递到，号信箱中，若每个信箱都被投递，则甲投号箱的概率为
A． B． C． D．
4．已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为
A． B． C． D．1
5．已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
6．已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为
A． B． C． D．
7．“”的充分不必要条件是
A． B． C． D．
8．甲 乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则
A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差
9．设椭圆（，）的一个焦点为（，），离心率为，则
A． B．
C． D．
10．两圆与的公共弦长等于
A．4 B． C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于
A． B． C． D．
12．已知函数，则方程的根的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________.
14．若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________.
15．已知命题P：,，命题q：“R，”，若命题“p∧q”是真命题，则实数的取值范围是_____________________；
16．已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
18．（12分）司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
(2)从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.
参考公式附：其中.
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
19．（12分）如图，直三棱柱中，，且，为线段上动点.
（1）证明：；
（2）判断点到面的距离是否为定值，并说明理由，若是定值，请求出该定值.
20．（12分）已知函数．
（1）时，求的极值；
（2）若，求的取值范围．
21．（12分）已知椭圆的右焦点为且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)直线与曲线交于两点，点，求的值.
23．（选修4-5 不等式选讲）
设函数.
（1）证明；
（2）若当时，关于实数x的不等式恒成立，求实数t的取值范围.
(
4
)2023年春期高二期末考试
数学（文史类）参考答案
1．B 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．C
13． 14．8 15． 16．
17．解：（1）函数的定义域为，,由解得，
由，可得，所以函数增区间是，
由，可得，所以函数减区间是.
（2）
1
0
由上表可知：，.
18．(1)
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数 40 15 55
女性司机人数 20 25 45
合计 60 40 100
所以，
故有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.
(2)由（1）知：6名司机中4名男性，2名女性，
所以6名司机中随机的抽取3名司机中至少有2名男司机的概率为.
19．解：（1）连，，四边形为正方形，
又，直棱柱中，，，面，
面，
又，
面，
面，
（2）点到面的距离为定值.
，面，
面，
点到面的距离即为到面的距离，可转化为点到面的距离
令，则，
又面，面，，，
，面，为点到面的距离
在等腰中，，
到面的距离为定值，且定值为
20．解：（1）时，，，则，
可知为的增函数，且，
当，，单调递减；当，，单调递增，
所以时，取得极小值，无极大值．
（2）由题知，，，
可知在区间上单调递增，
且当时，，当时，，
所以，存在，使得，即，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，，
即，由，得，即，
所以，即，
由于为的单调递增函数，且，
则有，因为，，所以为上的增函数，则当时，，所以的取值范围为．
21．解：（1）由，
又原点到直线的距离为，，
又，故椭圆方程为.
（2）显然当直线与轴垂直时不可能满足条件,
故可设存在满足条件的直线的方程为，带入椭圆的方程得
,
因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为
,
因为，即,
所以即,
所以，解得,
因为为不同的两点，所以
,
所以 ,故,所以存在满足条件的直线，且其方程为.
22．解：（1）将直线的参数方程消去参数得，
所以直线的普通方程为，
因为曲线的极坐标方程是，又，，，所以曲线的直角坐标方程为；
（2）将直线的参数方程（t为参数），代入曲线的直角坐标方程中，并整理得，
设两点对应的参数分别为，由韦达定理得，，
.
23．证明：.
当且仅当且等号成立
（2）当时.
当时，；当时，；当时，，
∴.若恒成立.
则只需，解得.
综上所述实数t的取值范围是.
(
2
)
