10.1.2事件的关系和运算 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
10.1.2　事件的关系和运算
课标定位
素养阐释
1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义.
2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.学会用集合的关系与运算探究事件的关系与运算.
4.提升数学抽象、逻辑推理和数据分析素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
事件的关系和运算
1.某班学生数学建模课分成5个小组(编号为1,2,3,4,5),采用合作学习的方式进行,课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示.
(1)请写出这一试验的样本空间.
提示:样本空间Ω={1,2,3,4,5}.
(2)请用集合的形式表示下列事件:C=“选择第1组”,D=“选择第1组或第2组”,E=“选择第1组或第3组”,F=“选择第1组或第2组或第3组”,G=“选择第4组或第5组”.
提示:C={1},D={1,2},E={1,3},F={1,2,3},G={4,5}.
(3)请用集合的关系和运算回答下列问题:①C与D有什么关系 ②D∪E与哪个集合相等 ③D∩E与哪个集合相等 ④E与G有公共元素吗 F与G呢 ⑤用集合的形式怎样表示E∩G,F∩G,F∪G
提示:①C包含于D;②D∪E=F;③D∩E=C;④没有;没有;
⑤E∩G= ,F∩G= ,F∪G=Ω.
2.
特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等,记作A=B.
3.(1)同时抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,朝上的面都是正面为事件M,朝上的面至少有一枚是正面为事件N,则有(　　)
A.M N B.M N C.M=N D.M(2)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,设事件P=“朝上的点数是1”,Q=“朝上的点数是3或4”,M=“朝上的点数是1或3”,用集合的形式表示事件P∪Q=　　　　　,M∩Q=　　　　　.
解析:(1)因为事件M={(正面,正面)},
N={(正面,反面),(反面,正面),(正面,正面)},
当事件M发生时,事件N一定发生.
所以有M N.
(2)因为事件P={1},Q={3,4},M={1,3},
所以P∪Q={1,3,4},M∩Q={3}.
答案:(1)A　(2){1,3,4}　{3}
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何一个随机事件都包含于样本空间Ω.( √ )
(2)事件A与事件B至少有一个发生用AB表示.( × )
(3)事件A+B发生包含两层意思:事件A发生B不发生,事件A不发生B发生.( × )
(4)互斥的事件一定是对立事件.( × )
(5)事件A的对立事件 ,相当于集合A在全集Ω中的补集 ΩA.
( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一 事件的关系与运算
分析:根据集合间的包含、交、并、补,来判断事件间的关系和运算.
【例1】 掷一枚骰子,观察它朝上的面的点数.设事件A=“点数为1”,B=“点数为偶数”,C=“点数小于3”,D=“点数大于2”, E=“点数是3的倍数”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)事件A与C,C与D,D与E之间各有什么关系
解:(1)因为掷一枚骰子,落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.
(2)因为A C,所以事件C包含事件A;
因为C∩D= ,C∪D=Ω,所以事件C与事件D互为对立事件;
因为D E,所以事件D包含事件E.
1.事件间的运算:
2.进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是写出试验的样本空间及各事件的集合表示,利用集合间的运算判断事件间的运算,必要时可利用Venn图判断.
提醒:在一些比较简单的题目中,可以根据集合间的关系来判断事件之间的关系,但对于比较复杂的题目,就得严格按照事件间的关系的定义来推理.
【变式训练1】 盒子里有大小和质地完全相同的6个红球、3个白球,现从中任取3个球,设事件A=“取出的3个球中有1个红球、2个白球”,B=“取出的3个球中有2个红球、1个白球”, C=“取出的3个球中至少有1个红球”,D=“取出的3个球中既有红球又有白球”.
问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系
(2)事件C与A的交事件是什么事件
解:(1)对于事件D,可能的结果有“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果有“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”“3个红球”,故C∩A=A.
探究二 互斥事件与对立事件的判断
【例2】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A=“只订甲报”,B=“至少订一种报纸”,C=“至多订一种报纸”,D=“一种报纸也不订”.判断下列事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与D;(3)B与C;(4)A与D.
分析:要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断;或把事件用集合表示,利用集合的关系来判断.
解:(方法一:概念法)
(1)由于事件C=“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B=“至少订一种报纸”与事件D=“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与D是互斥事件;由于在任何一次试验中,事件B与事件D两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一,故B与D是对立事件.
(3)事件B=“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报” “订甲、乙两种报”.事件C=“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(4)事件A=“只订甲报”与事件D=“一种报纸也不订”不可能同时发生,故A与D是互斥事件.但在一次试验中,事件A与事件D有可能都不发生,故A与D不是对立事件.所以A与D是互斥事件,但不是对立事件.
(方法二:集合法)分别用x1,x2表示甲、乙两种报纸的订阅情况,用数组(x1,x2)表示可能的结果,以1表示订阅报纸,0表示不订阅报纸,则样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.
A={(1,0)},B={(1,1),(1,0),(0,1)},
C={(1,0),(0,1),(0,0)},D={(0,0)}.
(1)因为A∩C={(1,0)},所以A与C不是互斥事件.
(2)因为B∩D= ,B∪D=Ω,所以B与D是互斥事件,且还是对立事件.
(3)因为B∩C={(1,0),(0,1)},所以B与C不是互斥事件.
(4)因为A∩D= ,A∪D≠Ω,所以A与D是互斥事件,但不是对立事件.
互斥事件与对立事件的判断方法:
(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必有一个发生.
(2)利用集合的观点:设事件A,B所包含的样本点组成的集合表示分别是A,B.
①事件A与B互斥,即A∩B= ;
②事件A与B对立,即A∩B= ,且A∪B=Ω(Ω为样本空间),也即A= ΩB或B= ΩA.
特别提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.
【变式训练2】 一名射击手进行一次射击.
事件A=“命中的环数大于7环”;
事件B=“命中的环数为10环”;
事件C=“命中的环数小于6环”;
事件D=“命中的环数为6,7,8,9,10环”.
判断下列各对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)事件A与B;(2)事件A与C;(3)事件C与D.
解:试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={8,9,10},B={10},C={0,1,2,3,4,5},D={6,7,8,9,10}.
(1)不是互斥事件,理由:A∩B={10}≠ .
(2)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:A∩C= ,但A∪C={0,1,2,3,4,5,8,9,10}≠Ω.
(3)是互斥事件,也是对立事件.理由:C∩D= ,且C∪D=Ω.
探究三 多个事件运算的表示
【例3】 设一随机试验有A,B,C三个事件,用A,B,C的运算表示以下事件:
(1)A,B,C至少有一个发生;
(2)A,B,C同时发生;
(3)A,B,C都不发生;
(4)仅A发生;
(5)A,B,C仅有一个发生.
分析:按照事件的和、积、对立的定义表示.
解:(1)因为A∪B表示事件A,B至少有一个发生,所以事件A,B,C至少有一个发生,用A∪B∪C(或A+B+C)表示;
(2)因为A∩B表示事件A,B同时发生,所以事件A,B,C同时发生,用A∩B∩C(或ABC)表示;
1.表示多个事件的运算时,要紧扣运算的定义,常用的定义有: (1)事件A不发生用 表示;(2)并(和)事件表示至少有一个发生; (3)交(积)事件表示同时发生.
2.出现“至少”“至多”“恰有”等名词,注意分情况讨论.
【变式训练3】 甲、乙、丙三人各投一次篮,分别记事件A= “甲投中”,B=“乙投中”,C=“丙投中”,试用A,B,C表示下列事件:
(1)甲、乙投中但丙没投中;
(2)甲、乙、丙都投中;
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中;
(4)只有乙投中.
易 错 辨 析
对立事件的概念模糊致错
【典例】 从一批产品中随机取出三件产品,设事件A=“三件产品全是次品”,则事件A的对立事件 =　　　　　　　.
错解:“三件产品全是正品”或“三件产品全不是次品”.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
正解:从一批产品中取出三件产品,试验的所有可能结果有4种:三件正品,二件正品一件次品,一件正品二件次品,三件次品.故“三件产品全是次品”的对立事件是“三件产品不全是次品”.
答案:“三件产品不全是次品”或“三件产品中至少有一件正品”
【变式训练】 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是　 .
解析:连续射击两次共有4种可能结果:第一次中靶第二次没中靶,第一次没中靶第二次中靶,两次都中靶,两次都没中靶.故“至少有一次中靶”的对立事件为“两次都没中靶”.
答案:“两次都没中靶”
随 堂 练 习
1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得1张,那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
(　　)
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.必然事件 D.不可能事件
解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,所以它们是互斥事件.又因为甲、乙可能都分不到红牌,即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生,所以它们不是对立事件.
答案:B
2.(多选题)对空中飞行的目标连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A=“两次都击中目标”,B=“两次都没击中目标”,C=“恰有一枚炮弹击中目标”,D=“至少有一枚炮弹击中目标”,则下列关系正确的是(　　)
A.A D B.B∩D= C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
解析:C=“恰有一枚炮弹击中目标”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中,D=“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中,一种是两枚炮弹都击中,所以A,B,C正确;D中,A∪B≠B∪D,故D错误.
答案:ABC
3.某小组有2名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛.在下列选项中,互斥但不对立的两个事件是(　　)
A.“至少有1名女生”与“都是女生”
B.“至少有1名女生”与“至多有1名女生”
C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”
D.“至少有1名男生”与“都是女生”
解析:A中的两个事件之间是包含关系,故不符合要求.B中的两个事件都包括1名女生1名男生的情况,故不互斥;C中的两个事件符合要求,它们是互斥但不对立的两个事件;D中的两个事件是对立事件,故不符合要求.
答案:C
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记事件A=“3件都是一级品”,则A的对立事件是　　　　　　　.
答案:“至少有1件是二级品”
5.设A,B,C为一随机试验的三个事件,则事件 表示的意义是　　　　　.
答案:A,B,C三个事件中,只有事件B发生