九年级数学上册试题 1.2矩形的性质与判定习题 -北师大版（含答案）

1.2矩形的性质与判定习题
一、单选题
1．已知四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，那么这个四边形是（ ）
A．是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
2．已知矩形的两邻边长分别为3和4，给出结论：①该矩形的面积是6，②该矩形的对角线长是5.则这两个结论（ ）．
A．只有①是正确的 B．只有②是正确的
C．都是正确的 D．都是错误的
3．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
4．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
5．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
6．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( )
A．1 B． C．2 D．
7．如图，P是矩形的边上一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
9．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，，点G、H分别在边AD、边BC上，连接BG、DH，且，要使四边形BHDG为菱形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F，若四边形BEDF是矩形，则∠DOE的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
12．如图，四边形是矩形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，，G是的中点，若，那么的长为（ ）
A． B． C．5 D．3
13．如图，已知矩形，点E是边的中点，F为边上一点，，若，有如下结论：①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①③ D．①③④
二、填空题
1．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________．
2．如图，延长矩形的边至点，使，若，则____．
3．如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，则EC的长_________．
4．如图，在矩形中，，交于点，、分别为、的中点．若，则的长为______．
5．如图，在矩形ABCD中，AB:AD=1：2，将点A沿折痕DE对折，使点A落在BC上的F点，则∠ADE=_____度．
6．如图，在长方形中，对角线、的交点为O，长方形的长、宽分别为、，过点O分别交、于E、F，那么图中阴影部分面积为________．
7．如图，已知矩形ABCD中，点E为AD的中点，F为CD中点，，，点H为BC上一点且EH为，则线段FH的长为____________．
8．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=9，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，则DF的值为______．
三、解答题
1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积．
2．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
3．如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝DE；
（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，交DC的延长线于点E，BD＝BE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形ABCD的面积．
5．如图，四边形ABCD是矩形，点G为对角线AC的中点，E为AD边上一点，过点A作交CE延长线于点F，连接BF、FG．
(1)若，求证：AC垂直平分BF．
(2)若，求的度数；
6．在平行四边形中，，将沿翻折至，连接．求证：
(1)；
(2)求证：；
(3)在平行四边形中，已知：，将沿翻折至，连接．若以为顶点的四边形是矩形，求的长．
7．已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
8．在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE与直线AD交于点F．
(1)如图①，当点F在AD的延长线上时，求证；
(2)若，BC足够长，当点E到直线AD的距离等于3时，求BP的长；
(3)若，．当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时停止，则点F运动的路程是______．
答案
一、单选题
C．B．D．C．C.B．A．C.D．D．A．B.B．
二、填空题
1.③．
2.15°．
3.3cm．
4.2．
5.15°．
6.7．
7.或．
8.
9.3．
三、解答题
1.解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1
∴∠BAC=60°，AC=2，BC=
又∵矩形ABCD中，OA=OB
∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°
S□ABCD=1×=
2.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
3.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠EBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴BE＝DE；
（2）解：PM+PN＝AB；理由如下：
延长MP交BC于Q，如图所示：
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PQ⊥BC，
∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，
∴PQ＝PN，
∴AB＝MQ＝PM+PQ＝PM+PN．
4.(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
又∵点E在DC的延长线上，
∴，
又∵，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴，
又∵BD＝BE，
∴AC＝BD
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)
∵在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，OA＝OB．
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°
∴，
∴，
∴矩形ABCD的面积＝．
5.(1)
证明：如图，连接BG，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=∠ABC=∠D=90°，
∵点G是AC的中点，
∴FG=BG=AG=GC=AC，
∴点G在BF的垂直平分线上，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AFE≌△CDE（ASA），
∴AF=DC=AB，
∴点A在BF的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BF；
(2)
∵AC垂直平分BF；点G为对角线AC的中点，
∴FG=BG=AG=GC，
∴∠GCF=∠GFC，∠GBC=∠GCB，
∴∠FGB=∠AGF+∠AGB=2∠FCG+2∠BCG=2∠FCB=80°，
∵BG=FG，
∴.
∠BFG=50°
6.(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∴DE=B′E；
(2)
∵DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA=（180°-∠B′ED），
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；
(3)
分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ACDB′是矩形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=60°，
∴AC=BC=2；
②如图2所示：
∵四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，∠B=60°，
∴AC=4，
综上所述：AC的长为2或4．
7.(1)
证明：∵四边形是矩形，
∴与相等且互相平分，
∴，
∵，，
∴（SSS）；
(2)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）
∴AE=DE，
∴，
∵OA=OD，AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴∠OBF=∠OCH，，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，
∴△BOF≌△COH（ASA），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，
∴，
∴；
综上所述，、、、这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
8.(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
由翻折得：．
∴．
∴．
(2)
过点E作于F点， 则
∴．
当点E在矩形内部时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∴∠BAE=90° ∠EAF=60°．
由翻折得，，
∴，
∴由勾股定理得：，
解得．
当点E在矩形外部时，如图，
则∠BAE=∠BAD+∠EAF=120°．
由翻折得：，
∴∠APB=90° ∠BAP=30°，
∴，
则由勾股定理得
综上，线段BP的长为或．
(3)
如图，取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形，
当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN=AD-AN=10-6=4，
当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为NF的长，即点F的路程为DN+NF，
由矩形性质得：AB=CD=6，∠D=90°，
由翻折的性质得：AB=AE=6，
当点P与点C重合时，由（1）知AF=CF．
则CF=AF=AD DF=10 DF，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴点F的运动路程为：DN+NF=4+0.8=4.8．
故答案为：4.8．