九年级数学上册试题 6.3 反比例函数的应用 -北师大版（含答案）

6.3 反比例函数的应用
第一课时
一、单选题
1．若点、、都在反比例函数，的图象上，则，，大小关系是( )
A． B． C． D．
2．对于函数，下列结论中，错误的是（ ）．
A．当时，y随x的增大而增大
B．当时，y随x的增大而减小
C．时的函数值小于时的函数值
D．在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大
3．如图，函数y＝kx＋k和函数y＝在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
4．下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
5．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为（　　）
A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟
6．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（ ）
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，与函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于点C、D．若CD=AB，则k的值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，直线（，为常数）与双曲线（，为常数）交于点，，若，，过点作轴，垂足为，连接，则的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．6
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（　　）
A．2 B． C． D．3
10．如图，正比例函数y＝mx（m＞0）与反比例函数的图象交于A，B两点，轴，交y轴于点C，在射线BC上取点D，且BD＝3BC，若，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
11．已知反比例函数，当时，y的取值范围是________．
12．已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为_______
13．、、都在双曲线上，把、、按从小到大的顺序排列______．
14．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
15．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是______．
16．近视镜镜片焦距（米）是镜片度数（度）的某种函数，下表记录了一些数据：
（度） … …
（米） … …
利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为度时，镜片焦距为______米．
17．琪琪同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）y与x之间的函数关系式为________；x取值范围是________．
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为，比较与的大小：________．
18．如图，函数与函数图像的交于点P，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B，点M是函数图像上一动点（不与P点重合），过点M作于点D，若，点M的坐标是________．
三、解答题
19．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）
(1)求k的值；
(2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
(3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ．
20．已知点， 都在反比例函数的图象上．
(1)当时
①求反比例函数表达式，并求出点的坐标；
②当时，求的取值范围．
(2)若一次函数与轴交于点，求的值．
21．已知反比例函数的图象经过点A（2，－4）．
(1)求k的值．
(2)点A、B均在反比例函数的图象上，若，比较 的大小关系．
(3)当y ≤4时，求x的取值范围．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量x的取值范围
(3)求△AOB面积．
23．一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度y（吨/天）随卸货天数t（天）的变化而变化．已知y与t是反比例函数关系，图像如图所示．
(1)求y与t之间的函数表达式；
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过6天卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
24．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，若OC＝2，点B的纵坐标为3．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
25．已知学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如下图所示，当和时，函数图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分，BC∥AD∥x轴．
(1)求点D坐标；
(2)当x满足什么条件时，学生注意力指标不低于30．
26．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点．
(1)则k＝______，b＝______，n＝______．
(2)观察图像，请直接写出满足的取值范围．
(3)若Q为y轴上的一点，使最小，求点Q的坐标．
第二课时
一、单选题
1．设反比例函数，当x＝p，q，r（）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若，则必有（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为( )
A．1 B． C．2 D．4
4．已知反比例函数y=和正比例函数y=的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若△PMN为锐角三角形，则m的取值为( )
A．-2＜m＜且m≠0 B．-＜m＜且m≠0
C．-＜m＜-或＜m＜ D．-2＜m＜-或＜m＜2
5．已知函数与函数的部分图像如图所示，
有以下结论：
①当时，，都随x的增大而增大；
②当时，；
③与的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数的最小值是2．则下列结论正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题
6．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则______．
7．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，与双曲线交于点C，过点C作轴，垂足为D，且，则以下结论：①；②当时，；③如图，当时，；④当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小．其中正确结论的是______．（只填写序号）
8．如图，反比例函数在第一象限的图象上有A(1，6)，B(3，b)两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记，的面积分别为，，则的值为____________．
三、解答题
9．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
10．如图，直线与轴、轴分别交于点，，点，均在上，点的横坐标为，点的横坐标为，反比例函数的图像经过点．
(1)若，
①求的解析式
②判断是否经过点，并说明理由．
(2)若经过点，求的值．
11．如图，过C点的直线y=-x-2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC=AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6．
(1)求k值和点D的坐标；
(2)如图，连接BD，OC，点E在直线y=-x-2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．
12．某“数学兴趣小组”对函数y的图象与性质进行了探究，探究过程如下：请将其补充完整．
(1)绘制函数图象：
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　，n＝　 　．
x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 0.5 1 3 3.5 4 5 6 n 8 ……
y …… 1 1.2 1.5 2 3 m 6 6 4 3 2 1.5 1.2 1 ……
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
①　 　；②　 　．
13．数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯，约把∠三等分的操作如下：
（1）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图像，图像与的边交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，交函数的图像于点； （4）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，； （5）作射线，交于点，得到．
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)证明：、、三点共线；
(3)证明：．
第一课时答案
一、单选题
D．B．B．D．C．B．C．CC．B
二、填空题
11．．
12．k＞4．
13.．
14．400
15．
16．0.5.
17． ； x为的整数； >．
18．（12，2）．
三、解答题
19．（1）
解：∵点A（2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×3=6；
（2）
解：∵k=6＞0，
∴此函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
故答案为：一、三；减小；
（3）
解：∵k=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵当x=-1时，y==-6，
∴点B（-1，6）不在这个函数的图象上；
（4）
解：当-3＜x＜-1时，x=-3时，y=-2；x=-1时，y=-6，
则y的取值范围为：-6＜y＜-2．
故答案为：-6＜y＜-2．
20．（1）
解：①a＝3时，点A（2，a）就是（2，3），
代入解析式得3＝ ，
解得k＝6，
反比例函数解析式为y＝ ，
把点B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，
解得b＝﹣3，
点B（﹣3，﹣2）；
②当y＞6时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分，
∴＞6，
∴0＜x＜1；
（2）
点A、B在反比例函数上，
代入整理得，﹣a＝b，
∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），
代入：0＝ak+b，
即：0＝ak﹣a，
∵A（2，a）在反比例函数上，
∴a≠0，
∴0＝k﹣1，
k＝1．
21．
（1）解：∵反比例函数的图象经过点A（2，－4），∴，解得：；
（2）解：∵，∴图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，当＜0时，，当时，，当时， ，
（3）解：根据题意得：反比例函数表达式为，当时，，因为，∴图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，∴或x＞ 0，
22．
解：（1）∵点A在一次函数图象上，
∴n=-1+4=3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为
（2）
结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3．
（3）
如图，设一次函数与x轴交于点C，
在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）．
故△AOB的面积为4．
23．
（1）
解：设y与t之间的函数表达式为，
把点（2，120）代入得：
，解得：k=240，
∴y与t之间的函数表达式为；
（2）
解：当t=6时，，
∵k=240＞0，
∴y随t的增大而减小，
∴当时，，
答：平均每天至少要卸货40吨．
24．
（1）
解：∵OC＝2，
∴C（0，2），代入y＝x+b得b＝2，
∴y＝x+2，
∵点B的纵坐标为3，
∴3＝x+2得x＝1，
∴B（1，3），
把B（1，3）代入反比例函数
得k＝3，
∴反比例函数的解析式为；
（2）
由
解得或，
∴，
而C（0，2），
∴，
∴
25．
（1）
解：设当时，反比例函数解析式为，
把点C（20，45）代入得：
，解得：k=900，
∴反比例函数解析式为，
∴当x=45时，，
∴D（45，20）；
（2）
解：根据题意得：A（0，20），
设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，
将A（0，20）、B（10，45）代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
当y≥30时，，解得：x≥4，
由（1）得反比例函数解析式为，
当y≥30时，，解得：x≤30，
∴当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
26．（1）
解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点，
∴，
∴k=3，b=4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；
将点代入得
故答案为：3，4，1
（2）
由图像可得：满足的取值范围是或
（3）
作A关于y轴的对称点，连接，如图，
∵，
∴A关于y轴的对称点．
设直线的解析式为，
∴，
解得
∴直线的解析式为，
令，则，
∴．
第二课时答案
一、单选题
A．B．B．C.D．
二、填空题
6．-6．
7．①③④．
8．4．
三、解答题
9．（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1
∴k1=
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，
∴k2=48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
∴
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入，得：x=4
把y=3代入，得：x=16
∵16﹣4=12
∴这次消毒是有效的．
故答案为（1）；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由如上．
10．（1）
解：①∵，点在直线的图像上，点的横坐标为，
∴当时，，
∴，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴的解析式为；
②不经过点，理由如下：
∵，点在直线的图像上，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴当时，，
∴，
把代入，得：，
∴不经过点．
（2）
∵点，均在直线的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，
∵的图像经过点，点，
∴，
解得：．
∴的值为．
11．（1）
解：设点D坐标为（m，n），由题意得OH DH=mn=6，
∴mn=12，
∵点D在y=的图象上，
∴k=mn=12，
∵直线y=-x-2的图象与x轴交于点A，
∴点A的坐标为（-4，0），
∵CD⊥x轴，
∴CHy轴，
∴=1，
∴OH=AO=4，
∴点D的横坐标为4．
∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴点D坐标为（4，3）；
（2）
解：由（1）知CDy轴，
∴，
∵，
∴，
过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M，
∵=CD EF，=CD OH，
∴CD EF=3×CD OH，
∴EF=3OH=12．
∴EM=8，
∴点E的横坐标为-8，
∵点E在直线y=-x-2上，
∴点E的坐标为（-8，2）．
12．(1)
解：当x＝0.5时，y4，
当y＝1.2时，1.2，则x＝﹣3或x＝7，
故m＝4，n＝7，
故答案为4，7．
函数图象如图所示：
(2)
解：①关于直线x＝2对称，②当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小；
故答案为：关于直线x＝2对称；当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小．
13．（1）
证明：轴，轴，轴，轴，
，，
四边形是平行四边形，
轴轴，轴，轴，
，
四边形是矩形；
（2）
解：设点，点，
点，点，
直线的解析式为：，
当时，，
点在直线上，即、、三点共线；
（3）
解：、、三点共线，
四边形是矩形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
．