河南省禹州市高中2022-2023学年高二下学期6月阶段性考试数学试题（Word版含答案）

禹州市高中2022-2023学年高二下学期6月阶段性考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．已知函数，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
2，已知正项等比数列首项为1，且，，成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31 B． C． D．63
3．在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（ ）
A． B． C． D．
4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万盒） 5 5 6 6 8
若x，y线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）
A．7.2万盒 B．7.6万盒 C．7.8万盒 D．8.6万盒
5．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知的二项式系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A．60 B．32 C． D．
7．已知随机变量，且，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
8．双曲线的两条渐近线为，，左焦点为F，若点F关于直线的对称点恰在直线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的有（ ）
A．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种．
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是；
C．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12．
D．若随机变量X服从二项分布，则；
10．已知函数的部分图象如图所示，若点，且，则（ ）
A．
B．函数的解析式为
C．是该函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象右移2个单位长度可得到该函数图象
11．在正方体中，M，N分别为AD，的中点，则下列结论正确的个数为（ ）
①平面 ② ③直线MN与所成角的余弦值为
④过M，N，三点的平面截正方体所得的截面为梯形
A．① B．② C．③ D．④
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为的奇函数 B．在上为增函数
C．在内有21个极值点 D．在上恒成立的充要条件是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若等差数列，的前n项和分别为，，满足，则______．
14．已知向量，，，若，则______．
15．我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的80%，则此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有______人．
16．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分
17．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
18．现从小明的朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如下表：
步数 性别
男 1 2 4 7 6
女 0 3 9 6 2
若某人一天的行走步数超过8000则被系统评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．
（1）利用样本估计总体的思想，试估计小明的朋友圈内所有好友中每日行走步数超过10000的概率．
（2）根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
积极型 懈怠型 总计
男
女
总计
附：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
，其中．
19．为进一步加强学生的文明养成教育，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生、学校准备从这10位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告．
（1）若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B，求，：
（2）根据不同需求，现需要从这10位“最美青年”中每次选1人，可以重复，连续4天分别为高一、髙二、高三学生和全体教师做4场事迹报告，记这4场事迹报告中做报告的男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
20．如图，四边形ABCD为菱形，即平面ABCD，，．
（1）证明：平面平面FAC；
（2）若，求二面角的大小．
21．椭圆的短轴长为2，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上是否存在点Q，使得直线MQ，NQ与直线分别交于点A，B，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若方程的两个解分别为，，求证：．
禹州市高中2022-2023学年高二下学期6月阶段性考试
数学答案
一、选择题：
1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 9．BC 10．AD 11．AC 12．BD
二、填空题：
13． 14． 15．960
16．当时，，
，在上恒成立，且在时，等号成立，
所以在上单调递增，且，
当时，单调递减，且，
函数恰有三个零点，可转化为函数与有三个交点，
画出的图象，如图所示：
设直线与，相切时切点为，
则，又根据斜率公式可得：，
所以，解得：或，当时，，当时，，所以要想函数与有三个交点，直线斜率要介于两切线斜率之间，故．
三、解答题：
17．【详解】（1）由题意知：，
即：化简得．
所以数列的通项公式．
（2）因为，所以①
①：②
①②：
化简得：
18．（1）
（2）根据题意完成列联表如下:
积极型 懈怠型 总计
男 13 7 20
女 8 12 20
合计 21 19 40
所以，
所以没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
19．解：（1）由题意可得：．
分“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，．
．
（2）被抽取的4次中男生人数X的取值为0，1，2，3，4且．
；；
；．
X的分布列：
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望．
20．（1）证明：设BD交AC于点O，连接EO，FO，因为四边形ABCD为菱形，所以．
因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
又，所以平面BDEF；所以．
设，由题意得，，．
因为，所以平面ABCD，所以，，．
因为，所以．
因为，所以平面ACF．
又平面EAC，所以平面平面FAC．
（2）取EF中点G，连接OG，所以，底面ABCD．
以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，由（1）中所设可知，
所以，，
所以，，，．
所以，，．
设平面FAE的一个法向量为，
则
所以．
同理，可求得平面AEC的一个法向量．
所以．
所以二面角的大小为．
21．解：（1），则．所以椭圆C的方程为．
（2）当l斜率不为0时，设，联立．
．
设，，，
则，．
直线，令得
，同理可得．
所以
若，则由，与直线l的任意性矛盾；
若，则
．
所以点Q的坐标为或（当l斜率为0时也成立）．
22．解：（1）对函数求导可得：，令，则
当时，单调递减，时，单调递增．
所以，
所以，，在上单调递增．
故的单调递增区间是，无递减区间．
（2）若方程有两个解，不妨设，原方程可以变形为：
，设，，由，得，
因为函数是增函数，所以，则，
设，则，，
欲证，即证，只需证（*）
设，，，在上，，单调递减，
所以，所以，令即得（*）成立．