绝密★考试结束前
2022 学年第二学期温州十校联合体期末联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 6页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。）
1.集合 A x N | log 1 x 1 ，集合 B x Z | x 2 4 ，则 A B=（ ）
2
A. 2 B. 0,1,2 C. 1,2 D.
1 5i
2.复数 z的实部与虚部互为相反数，且满足 z a ,a R，则复数 z在复平面上对应的点1 i
位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
x 1
3.函数 f (x) sin x ln 的大致图象为（ ）
x 1
A. B.
C. D.
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x a
5
4. x
2
的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ）
x x
A. 40 B. 20 C.20 D.40
5.冯老师教高二 4 班和 5 班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数
2
1 x
学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数 f (x) e 2 2 的图象如图所示，其中 是
2
正 态 分 布 的 期 望 ， 是 正 态 分 布 的 标 准 差 ， 且 P X 0.6827 ，
P X 2 0.9545， P X 3 0.9973,关于这次数学考试成绩，下列结论正确
的是 （ ）
A. 4班的平均分比 5 班的平均分高
B. 相对于 5 班，4 班学生的数学成绩更分散
C. 4班 108 分以上的人数约占该班总人数的 4.55%
D. 5 班 112 分以上的人数与 4 班 108 分以上的人数大致相等
6.冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行
的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和 20 发子弹，每滑行 4 千米射击一轮，
共射击 4 轮，每轮射击 5 次，若每有 1 发子弹没命中，则被罚时 1 分钟，总用时最少者获胜.已
知某男选手在一次比赛中共被罚时 3 分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子
弹是否命中相互独立，记事件 A为其在前两轮射击中没有被罚时，事件 B为其在第 4 轮射击中
被罚时 2 分钟，那么 =（ ）
1 1 1 3
A. 2 B. 4 C. 3 D. 8
7.我们知道： y f x 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是 y f x 为奇函数，有同学
发现可以将其推广为： y f x 的图象关于 (a,b)成中心对称图形的充要条件是 y f x a b
高二数学试题 第 2 页 共 6 页
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3 2
为奇函数.若 f x x 3x 的对称中心为 (m,n)，则
f (2023) f (2021) f (3) f ( 1) f ( 3) f ( 5) f ( 2019) f ( 2021)
（ ）
A. 8088 B. 4044 C. 4044 D. 2022
9
8.设 a ,b ln1.09,c e 0.09 1，则下列关系正确的是（ ）
109
A. a b c B. b a c C. c a b D. c b a
二．选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9.已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a1 1 3an 1 Sn 则下列命题正确的是（ ）， ，
A. a 12 3
n 1
B. a 4 n
3
n 1
C. S 4n
3
D. S5 S7 S
2
6
2 2
10.已知圆C : x 2 (y 3) 1，点M（4，2），点 P在圆C上，O为原点，则下列命题正
确的是（ ）
A. M 在圆上
B. 线段MP长度的最大值为 5 1
C. 当直线MP与圆C相切时， MP 2
D. MO MP的最大值为2 5 6
11.已知 f (x) x3 ax b,a,b为实数，则满足函数 f (x)有且仅有一个零点的条件是（ ）
A. a 1,b 2
B. a 0,b 2
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C. a 3,b 1
D. a 3,b 3
12.已知三棱锥 A BCD,BC AD 2,其余棱长均为 5，则下列命题正确的是（ ）
A. 该几何体外接球的表面积为6
B. AB CD 4直线 和 所成的角的余弦值是
5
C. 若点M 在线段CD上，则 AM BM 最小值为3
D. A 4到平面BCD的距离是
3
非选择题部分
三．填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13.已知平面向量 a，b， a 1，b （1， 1)， a (a b)，则 a 2b 的值是 .
14.如图所示， AC为平面四边形 ABCD的对角线，设CD 1， sin ACD 2sin CAD，
△ABC为等边三角形，则四边形 ABCD的面积的最大值为 .
x2 y2
15. 已知椭圆C： 2 2 1(a b 0)的左顶点为 A，上顶点为 B，O为坐标原点，椭圆上的a b
两点M (xM , yM ),N (xN , yN )分别在第一，第二象限内，若 OAN 与 OBM 的面积相等,且
x 2M x
2 2
N 3b ,则椭圆C的离心率为 .
16.函数 y x 为数学家高斯创造的取整函数， x 表示不超过 x 的最大整数，如
0.90 0， lg99 1,已知数列 an 满足 a3 3，且 an n(an 1 an )，若bn lg an ，则数列
bn 的前 2023项和为 .
高二数学试题 第 4 页 共 6 页
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四．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （10 分）
如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E为线段DD1的中点.
（1）求证：平面 A1BD 平面 ACC1A1；
（2）求 A1到平面 AB1E的距离.
18.（12 分）
设公差不为零的等差数列 an ， a3 10，a1，a2，a5成等比数列.
（1）求数列 an 的通项公式；
1 n
（2）已知bn ，数列 ba a n
的前 n项和为 Sn，求使得 2Sn 1成立的最小正整数 n .
n n 1 3
19.（12 分）
ABC中，三个内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c 且 a = 2
B C 5p（1）若 + = ,b = 3c,求 ABC内切圆的半径长；
6
（2）已知 A = 2C,sin B = 2sinC，求DABC的面积.
高二数学试题 第 5 页 共 6 页
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20.（12 分）
三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质
青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、 黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、
肉嫩、味美” 而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的 18
种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一
般把重量超过 350 克的青蟹标记为 A类青蟹
(1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有 50 只青蟹，其中 A类青蟹有 7 只，若从池中抓了 2只
青蟹．用 表示其中 A类青蟹的只数，请写出 的分布列，并求 的数学期望 E( )；
（2）另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目 N ，小王先从中抓了 50 只青蟹，做好记号后
放回池中，过了一段时间后，再从中抓了 20 只青蟹，发现有记号的有 x只，若 x 5,试给出蟹
池中青蟹数目 N 的估计值（以使 P(x 5)取得最大值的 N 为估计值）.
21.（12 分）
已知函数 f x x ln x (2 k )x 2k 3， k z
（1）当 k 2时，求曲线 f x 在点（e，f (e))处的切线方程；
（2）若 x 2 ,总有 f x 0，求 k的最大值.
22.（12 分）
2
已知抛物线C : x 2py( p 0),斜率为 1的直线 l交C于不同于原点的 S ,T 两点，点M (2,3)
为线段 ST 的中点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线 y kx 1与抛物线C交于 A,B两点，过 A,B分别作抛物线C的切线 l1，l2 ，设切线
l1，l2 的交点为 P
①求证： PAB 为直角三角形.
②记 PAB 的面积为 S，求 S的最小值，并指出 S最小时对应的点 P的坐标.
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高二年级数学学科参考答案
一．选择题（本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。）
1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C 8.D
二．选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9.AC 10.BCD 11.ABD 12.ACD
三．填空题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20 分）
5 3 6
13. 13 14. 2 15. 16. 4962
4 3
四．解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（1）证明：∵ ABCD A B C D 是正方体，
∴ AA 平面 ABCD，
∴ AA BD . ---1 分
又 BD AC， ---1 分
AA AC ---1 分
∴ BD 平面 ACC A ---1 分
BD 平面A BD
∴平面 A BD 平面 ACC A . -----1 分
（2）正确建系 ---1 分
设平面 AB1E的一个法向量为 n x, y, z ，
AB1 (0,1,1), AE ( 1,0,
1), AA1 (0,0,1) .2
n AB1 y z 0,
由 1
n AE x z 0, 2
令 z 2，则 y 2, x 1，即 n (1, 2,2) . ---2 分
设求 A1到平面 AB1E的距离为 d ，
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AA1 n
d 2 2则 ，即点 A1到平面 AB1E的距离为 . -----2 分n 3 3
说明：如果用等积法，列出等积公式 1 分，计算面积 2 和高 1 分，结论 1 分。
18.解：（1）设等差数列公差为 d，得 a3 10 ………………………..1 分a 22 a1a5
a1 2d 10d 2a a1 21 d 4 ，………………………..2 分
所以 an 4n 2…………………………………………1 分
（2）
1
b 1 1 1 1 1n
， ……2 分
anan 1 ( 4n 2)( 4n 2) (4n 2)(4n 2) 4
4n 2 4n 2
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn 4
= ，……2 分
2 6 6 10 4n 2 4n 2 4 2 4n 2 8n 4
13 265
2S nn 1 4n
2 13n 6 0 n …………………………2 分
3 8
13 265
由 3,4 且 n N * ， 得最小正整数为 4………….2 分
8
19.解：（1）由题意，A ，由 a2 b2 c2 2bc cos A得b2 c2 3bc 4……2 分（能6
写出余弦定理得 1 分）
b2 c2 3bc 4 b 2 3
由 解得 ……1 分
b 3c c 2
S 1 ABC bc sin A 3……1 分2
r 2S 2 3 3 S 1内切圆半径 ……2 分（能写出 (a b c) r得 1 分）
a b c 2
（2）解一：由已知有 a 2……①
由 sin B 2sinC可得b 2c……②，……1 分
由 A 2C得 sin A sin 2C
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2 2 2
sin A 2sinC cosC a 2c a b c a 2b c(a 2 b 2 c 2) ……③……2 分
2ab
a 2,b 4 ,c 2由①②③可解得 ……1 分
3 3
可得 B
2
S 1 ABC ac
2 3
……2 分
2 3
解二：由 A 2C, sin B sin(A C) sin 3C 2sinC……1 分
sin(2C C) 2sinC sin 2C cosC cos 2C sinC 2sinC 2sinC cos 2C cos 2C s inC 2sinC
2cos2 C cos 2C 3 2 2cos2 C 2cos2 C 1 2 cos2 C ……2 分
4
A 2C C cosC 3 C , A ,B 由 得 为锐角， ……1 分
2 6 3 2
b a 4
sin A 3
S 1 ABC absinC
2 3
……2 分
2 3
20.解：（1）由题意 的取值为0,1,2
C 2 129 C1C1 2P( 0) 43 43 C 3 2 ， P( 1)
7 43
2 ， P( 2)
7
C 2
……3分
50 175 C50 175 C50 175
分布列为
0 ……1分 1 2
P 129 43 3
175 175 175
E( ) 1 43 2 3 7 ……2分
175 175 25
5 15
（2）设 f (N ) P(x C C 5) 50 N 5020 ……1 分CN
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f (N 1) (N 49)(N 19) N 2 68N 931
2 ……2分f (N) (N 64)(N 1) N 63N 64
(N 2 68N 931) (N 2 63N 64) 5N 995
所以 N 199时， f (N 1) f (N )
N 199时， f (N 1) f (N )， N 199时， f (N 1) f (N )……2 分
所以当 N 199或 200时， P(x 5)最大，估计蟹池中青蟹数目为 199 或 200 只……1 分
21.解：（1）当 k 2时， f x x ln x 1， f x ln x 1，………………………1 分
可知 f e 2， f e e 1，………………………1 分
故切线方程为 y (e 1) 2(x e)即 y 2x e 1………………………………………2 分
（2）若 x 2 ,总有 f x 0，即 x ln x (2 k )x 2k 3 0，
x ln x 2x 3
得 k , x 2 k x ln x 2x 3 恒成立，即
x 2
…………………………2 分
x 2 min
g(x) x ln x 2x 3 g (x)
2ln x x 3
设 ， 2 ，设 t(x) 2 ln x x 3，x 2 x 2
t (x) 1 2 x 2 0， t (x)单调递增，可知 t(6) 0， t (7) 0 ，令 t(x0 ) 0，x x
x0 6,7 且 2ln x0 x0 3，………………………………………………2 分
可知当 x 2, x0 时，g (x) 0，g (x)单调递减，当 x x0 , 时，g (x) 0，g (x)单
调递增，故 g(x) g(x ) x 0 ln x0 2x0 3min 0 ……………………………………2 分x0 2
2x ln x 4x 6 x 2 0 x0 6 1
2
x0 x0 60 0 0 1 9 x
2x 4 2x 4 2 x 2 2 0 3
,5 ，故 k 的最大值
0 0 0 2
为 4……………………………………………………………………….2 分
22.解：（1）设直线 l的方程为 y x t，代入抛物线C : x2 2py(p 0)，
可得 x2 2px 2pt 0， -----1 分
设S(x , y ),T (x , y )，则x x 2p -----------1 分1 1 2 2 1 2
{#{QQABBY6QggAIQAJAAQBCAwEQCgIQkgEAAAgOwAAYsEIBSAFABAA=}#}
点M (2,3)为线段PT的中点，可得2p 4,即p 2
则抛物线的方程为x2 4y； ------------1 分
2 2
（2）○1 设 A(x1,
x1 ),B(x , x22 )，4 4
1 1
由 x2 4y，可得 y x2 ，则 y x， -----1 分
4 2
k 1 1所以 A，B两点处的切线斜率分别为 1 x1， k2 x2，2 2
y kx 1
由 2 ，得 x2 4kx 4 0，所以 x1 x2 4k , x1x2 4，
x 4y
1
所以 k1k2 x x 1，4 1 2
所以 PA PB，即 PAB为直角三角形． -------- 2分
1 1 2 1 1
○2 由（1）知 lPA : y x1x x1 ，即：y x x y ，同理 l : y x x y ，由直线PA，2 4 2 1 1 PB 2 2 2
y 1 0 x0x1 y1
PB都过点P x0 , y0
2
，即 ，则点 A x1, y1 ， B x2 , y2 的坐标都满足方
y 1
0
x0x2 2
y2
1
程 x0x y y0 ， ----2 分2
1
即直线 AB的方程为： x x y y ，又由直线 AB过点 F 0,1 ，∴ y 1，
2 0 0 0
1
x0x y 1 2
联立 2 得 x 2x0x 4 0，
2 x 4y
x2 2
AB 1 0 x x0 2 ，
4 1
x2 x2 1 2x0 16
1 0 (x x )2 4x x 4
4 1 2 1 2
1 x20 2
点 P x0 , 1 到直线 AB的距离 d
2
， ----2 分
2
1 x 0
4
{#{QQABBY6QggAIQAJAAQBCAwEQCgIQkgEAAAgOwAAYsEIBSAFABAA=}#}
1 x22 0 21 1
S APB AB d 1
x
0 (2x )2 16 2 1
2 2 4 0 2 2
3
x2 4
1 x
0
0
4
S 1 3 APB 4 42
当且仅当x0 0时，S APB有最小值4，此时P（0， 1)
------2 分
{#{QQABBY6QggAIQAJAAQBCAwEQCgIQkgEAAAgOwAAYsEIBSAFABAA=}#}
