南通市城西中学高二数学期末复习《临门一脚》
《推理与证明》
1、 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
2、 如下图，第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n个图形中共有 个顶点。
3、平面内一条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，1个交点；3条相交直线最多把平面分成7部分，3个交点；试猜想：n条相交直线最多把平面分成______________部分，____________个交点．答案：
4、在等差数列中，若，则有等式 成立，类比上述性质，相应的，在等比数列中，若，则有等式
5、观察下列等式：，
，．
请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式（不要求证明），
这个等式是____ sin2θ +sin2(600-θ)+ sinθsin (600-θ)=
7、一个类似于杨辉三角的三角形数组（如下图）满足：（1）第1行只有1个数1；
（2）当n≥2时，第n行首尾两数均为n; (3)当n>2时，中间各数都等于它肩上两数之和，则第n行（n≥2）第2个数是________________
1
2
3 4 3
4 7 7 4
…………………………………………………………
8、已知,把数列的各项排成右图所示的三角形的形状,记表示第行,第
列的项, 则 .
9、设数列满．
（1）当时，求，并由此猜想的一个通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
《矩阵与变换》
1、将直角坐标系内的图形绕着原点顺时针旋转300，则其对应的变换矩阵为____________.
2、 变换的几何意义为( B )
A.关于y轴反射变换 B. 关于x轴反射变换
C. 关于原点反射变换 D.以上都不对
3、二阶行列式的运算结果为 。
4、设矩阵的逆矩阵是，则的值为 .
5、已知直线方程为,先进行的变换,再进行的变换,求变换后的轨迹及其方程（答案： 4x-y-42=0）
6、已知矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,并有特征值及对应的一个特征向量,试确定矩阵M,并求出M的逆矩阵.
答案：,
7、（1）请说明下列矩阵A、B表示的几何意义，并求出矩阵AB的逆矩阵；
（2）设，若矩阵把直线l：x+y-1=0变为直线m：x-y-2=0，求
解：（1）A矩阵的几何意义：绕原点逆时针旋转600；
B矩阵的几何意义：纵坐标不变，横坐标增加纵坐标的2倍的切变变换
法1、在l上任取一点P（x，y）经矩阵变换后为点，
则
《坐标系与参数方程》
1、下列在曲线上的点是（ B ）
A． B． C． D．
2、极坐标方程表示的曲线为（ C ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
3、圆的圆心坐标是（ A ）
A． B． C． D．
4、与参数方程为等价的普通方程为（ D ）
A． B．
C． D．
5、直线过定点___(3,-1)__________。
6、已知直线与直线相交于点，又点，
则_______________。
7、在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。
解：设椭圆的参数方程为，
当时，，此时所求点为。
8、过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，
求的值及相应的的值。
解：（1）直线的参数方程为，即
（2）把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为
9、曲线按向量（－1，2）平移后的曲线方程为 。
10、曲线按伸缩系数为 向着 轴作伸缩变换后，曲线的方程为 ；按伸缩系数为 向着 轴作伸缩变换后，曲线的方程为
《统计案例》
1、设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（ Ａ ）
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
2、在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数）：
物理成绩好 物理成绩不好 合计
数学成绩好 62 23 85
数学成绩不好 28 22 50
合计 90 456 135
试判断数学成绩与物理成绩之间是否线性相关，判断出错的概率有多大？
解：．
因为，所以有95%的把握，认为数学成绩与物理成绩有关，判断出错的概率只有5%．
4、假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
解：（1）依题列表如下：
．．
回归直线方程为．
（2）当时，万元．即估计用10年时,维修费约为12.38万元．
《正态分布》
1、某厂生产的零件外直径ξ~N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm，则可认为（ Ａ）
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B．上午生产情况异常,下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常
2、设随机变量,则等于 （A）
A． B． C． D．
3、若随机变量若落在区间和内的概率是相等的，则等于（ Ａ ）
Ａ．2 Ｂ．10 Ｃ． Ｄ．可以是任意实数
4、已知随机变量X服从正态分布且则= 0.1 ．
5、把一正态曲线沿着横轴的方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线，则下列说法中错误的是（C）
A．曲线还是正态曲线 B．曲线关于直线对称
C．以曲线为概率密度曲线的总体的方差比曲线相应的总体的方差大2
D．以曲线为概率密度曲线的总体的期望比曲线相应的总体的期望大2
6、设随机变量服从正态分布N（0,1），记，则下列结论不正确的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
7、设随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X＞1）= p,则P(－1＜X＜0)等于（ D ）
A． B．1－ C．1－2 D．
《二项式定理》
1、已知则的值为 2 。
2、已知，则 。
3、设的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n为 4 。
4、若多项式，则= 210 .
5、若，则除以5的余数为 4 .
6、已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.
（1）求；（2）求展开式中所有项的系数和；(3) 求出展开式中系数最大的项.
答案：； ;
《计数应用题》
1、有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法 15 种．
2、学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），由于时间上的冲突，甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有 （ D ）
A．6种 B．8种 C．10种 D．12种
3、甲、乙、丙三个人负责一个计算机房周一至周六的值班工作，每天1人，每人值班2天，如果甲同学不值周一，乙同学不值周六，则可以排出不同的值班表有（ B ）
A．36种 B．42种 C．50种 D．72种
4、市内某公共汽车站有10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____480____种.(用数字作答)
5、从编号为1,2,3,…,10,11的11个球中,取出5个球,使这5个球的编号之和为奇数,其取法总数为（ 236 ）
6、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有 144 。
8、在1，2，3，，…，30，这30个数中。
（1）每次取互不相等的2个数，使其积为7的倍数，有多少种取法？
(2）每次取互不相等的3个数，使其和是4的倍数，有多少种取法？
解：（1）被7整除的数有7，14，21，28四个，不被7整除的有26个
满足题意的取法共有＝6+104=110
（2）记表示被4除余的数组成的集合（＝0，1，2，3）
共有7个元素， 共有8个元素
共有8个元素，共有7个元素
满足题意的取法：有＋＋＋＋＝1015种
《概率与统计》
1、将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(B)
A． B． C． D．
2、已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为 0.3 ，方差为 0.2645 ．
3、如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为（Ｂ ）
Ａ．0.504 Ｂ．0.994 Ｃ．0.496 Ｄ．0.06
4、若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为
0.5 ．
5、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（ A ）
A. B. C . D.
6、甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
则有结论（ Ｂ ）
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好 D．无法判断谁的质量好一些
7、从分别写有A、B、C、D、E、F的卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序相邻的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
8、王先生忘记了自己电脑的密码，但记得密码是由两个3，一个6和一个9组成的四位数，于是他用这四个数字随意排成一个四位数输入电脑，则其能打开电脑的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
9、 20名运动员中有2名种子选手,现将运动员平均分为2组,两名种子选手分在同一组的概率为_________.
10、某人有九把钥匙，其中只有一把是开办公室门的，现随机抽取一把，取后不放回，则恰在第5次打开此门的概率为
11、一个袋子中有8个小球，其中有4个白球和4个黑球，现从中每次任意取出一个球，8次取完，求恰好有3次连续取出白球的概率。
解：3次连续取出白球有20种，总数为A88/A44A44=70. P(A)=2/7
12、某射手射击1次，击中目标的概率是0．9，他连续射击4次，且各次射击
是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:
①．他第3次击中目标的概率是0.9；②．他恰好击中目标3次的概率是;
③．他至少击中目标1次的概率是.
其中正确结论的序号是__①__③___(写出所有正确结论的序号).
13、如果～，则当取得最大值时的值为 10 .
14、一个均匀的小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以1，一个面上标以2，将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是 .
15、在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．
（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，
，， ，且当或时，
因此，随机变量的最大值为． 有放回抽两张卡片的所有情况有种，
．
答：随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为．
（Ⅱ）的所有取值为．
时，只有这一种情况，
时，有或或或四种情况，
时，有或两种情况．
，，．
则随机变量的分布列为：
因此，数学期望．
17、某厂工人在2006年里有1个季度完成生产任务，则得奖金300元；如果有2个季度完成生产任务，则可得奖金750元；如果有3个季度完成生产任务，则可得奖金1260元；如果有4个季度完成生产任务，可得奖金1800元；如果工人四个季度都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每季度完成任务与否是等可能的，求他在2006年一年里所得奖金的分布列．
解：设该工人在2006年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量．由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于，所以，
，，
，，
．
其分布列为
0 300 750 1260 1800
18、假设每一架飞机的引擎在飞行中发生故障的概率为，且各个引擎是否产生故障相互独立，每架飞机至少有50%的引擎正常工作，则飞机就能正常飞行，要使4个引擎的飞机比2个引擎的飞机更安全，的值应是多少．
. 解：两个引擎的飞机安全飞行的概率为
．
四个引擎的飞机安全飞行的概率为
，
由题设，，即．
整理得，＜．
19、已知袋子里有红球3个，蓝球2个，黄球1个，其大小和重量都相同但可区分。从中任取一球确定颜色后再放回，取到红球后就结束选取，最多可以取三次。
（1）求在三次选取中恰有两次取到蓝球的概率；
（2）求取球次数的分布列、数学期望及方差.
（1）从6个球中有放回地取3个球，共有种取法。其中三次恰好中恰好两次取到蓝球的
取法为。故三次选取恰有两次取到蓝球的概率为
1 2 3
P
P==.
(2)设取球次数为，则的分布列为
E()＝
V()＝
20、 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I) 求、的概率分布和数学期望、;
(II) 当时,求的取值范围.
解：(I)解法1: 的概率分布为
1.2 1.18 1.17
P
E=1.2+1.18+1.17=1.18.
由题设得,则的概率分布为
0 1 2
P
故的概率分布为
1.3 1.25 0.2
P
所以的数学期望为
E=++=.
(II) 由,得:
因0
22、某商场举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品，2种家电商品，4种日用商品中选出3种商品进行促销活动；
试求选出的3种商品中至少有一种家电商品的概率；
商场对选出的商品采用的促销方案是有奖销售：在该商品现价的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若每次中奖都可获得100元奖金，假设顾客每次抽奖时获奖与否是等概率的，试求某位顾客奖金数不低于商场提价数的概率。
17、解：（1）记事件A：选出的3种商品中至少有一种是家电商品，
则为选出的3种商品中没有一种是家电商品，
P（A）=1-=1=6分
顾客奖金数不低于商场提价数， 3次抽奖中必须有2次或3次中奖
7、甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
解：设“甲地为雨天”，“乙地为雨天”，
则根据题意有，，．
所以（1）；
（2）