2022学年第二学期高中期末调测 （2）众数： 275 …………8分
平均数：
高二数学参考答案
125 0.03 175 0.1 225 0.3 275 0.35 325 0.15 375 0.07
…………10分
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 260． …………12分
答案 A B D B C A C B 19．（本题满分 12分）
二、多项选择题（每小题全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分，共 20分） 解：（1）由 3a 2bsin A，可得 2R 3 sin A 2R 2sin B sin A，
题号 9 10 11 12
3
答案 BC AD ACD ABD 所以 sin B ， …………2分
2
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 所以 B π B 2π 或 ． …………4分
33 6 3 3 3
13．3 14．5 15． 16．[ , )
56 3 2 a2 c22 c b b
2 1
法一：（ ）因为 ，所以C B，由余弦定理 cos B ，
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分.） 2ac 2
17．（本题满分 10分）
可得 a 1或 a 2． …………6分
解：（1）因为 x 0，所以a (0,1)，b (1, 1)，则a b 1． …………4分 uuur 1 uur uuur uuur 2 1 uur 2 uuur 2 uur uuur
因为 BD (BA BC)，所以 BD (BA BC 2BA BC)，
2 4
（2）因为 f (x) a b 3sin x cos x 2sin(x π )， …………6分
6 即 BD2 1 (9 a2 3a)， …………8分
π 4
所以 2kπ x π π 2kπ， k Z， …………8分
2 6 2
π 2π ①当 a 1时， BD
2 13 BD 13，即4
； …………10分
即 2kπ x 2kπ， k Z． 2
3 3
所以 f (x) π的单调递增区间为[ 2kπ, 2π 2kπ]， k Z． ……10分
3 3 ②当 a 2时， BD
2 19 ，即 BD 19 ． …………12分4 2
18．（本题满分 12分）
2
2 c b C B cos B a c
2 b2 1
解：（Ⅰ） 法二：（ ）因为 ，所以 ，由余弦定理 ，
2ac 2
可得 a 1或 a 2． …………6分
c2 b
2
BD2 c2 b2cos A 4 a
2
又因为 ，
2c b 2bc
2
解得 BD2 1 (a2 c2 ) 1 b2 ， …………8分
…………4分 2 4
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{#{QQABLYQQggiAQAJAAABCEwXwCgAQkgGACKgOxAAQsEIBCRFABAA=}#}
13 13 作HM AD交 AD于点M ，所以M 为 AD中点，2
①当 a 1时， BD ，即 BD ； …………10分4 2 又由（1）知CD 平面 AHD，所以HM CD，又CDI AD D，
19 所以HM 平面 ABCD．
②当 a 2 BD2 BD 19时， ，即 ． …………12分4 2 以 A为坐标原点， AB， AC分别为 x, y轴建立空间直角坐标系，
20．（本题满分 12分）
解：（1）由题意知 AH 平面 PCD，所以 AH CD， 所以H (0,1,1)， B(2,0,0)，C(2, 2,0)，
又 AD CD， ADI AH A，所以CD 平面 AHD， …………2分 uuur uuur
所以 BC (0, 2,0)，HB (2, 1, 1)． …………7分
所以CD DH ，又 AB∥CD，所以 AB DH． …………4分
设平面HBC 的方向量为n1 (x, y, z)，
（2）因为 AH 平面 PCD，
uuur
所以 AH HD ， n1 BC 0 2y 0所以 uuur ，即 ，令 x 1，则 y 0， z 2，
n HB 0 2x y z 0
所以 AD2 AH 2 HD2 1，
所以n1 (1,0,2)，又n2 (0,0,1)． …………10分
所以 AH HD 2，
设二面角H BC D的平面角为 ，
作HM AD交 AD于点M ，
n n
cos cos n ,n 1 2 2 5所以M 为 AD中点， 所以 1 2 ． …………12分n1 n2 5
又由（1）知CD 平面 AHD，所以HM CD，又CDI AD D，
所以HM 平面 ABCD． …………6分
过M 作MN BC交 BC于点 N ，连接HN ，
所以 HNM 即为二面角H BC D的平面角． …………8分
因为MN 2，HM 1，所以HN 5， …………10分
所以 cos HNM MN 2 5 ．
HN 5
H BC D 2 5所以二面角 的余弦值为 ． …………12分
5
(2)法二：
因为 AH 平面 PCD，所以 AH HD，
所以 AD2 AH 2 HD2 ，所以 AH HD 2，
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{#{QQABLYQQggiAQAJAAABCEwXwCgAQkgGACKgOxAAQsEIBCRFABAA=}#}
21．（本题满分 12分） ln x1 1
a2x
解：（1） P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.997410 0.0257 x， …………4分 （2）设 2 t 1 1，则 ，所以 ln t (ln x 1)(t 1) ，x1 ln x1 ln t 1
1
a
2tx1
C0C4 1 C1C3
（2）由题意知 P(Y 0) 5 54 ， P(Y 1)
5
5 5 ln t，
C10 42 C
4 21 即 ln x1 1，10 t 1
C2C2 10 C3 1P(Y 2) C 5 C
4C0 1 ln t 1 t ln t 1
5 5 P(Y 3) 5 5 P(Y 4) 5 5 x e t 1 x e t 1 x x x2 1
ln t t ln t
4 ， 4 ， ， 所以 ， ，所以 (e t 1 e t 1 et ) ．C10 21 C10 21 C
4 42 1 2 1 210 x1 e
所以分布列为 …………8分
ln t t ln t
Y 0 1 2 3 4 设 g(t) e t 1 e t 1 et ， t 1，
P 1 5 10 5 1 ln t 2
42 21 21 21 42 一方面，因为 ，
t 1 t 1
ln t t ln t
…………9分 所以有 g(t) e t 1 e t 1 e ln t et ln t 2e 2et et et et 2e et ，
5 10 5 1 t 1 t 1 t 1 t 1
所以 E(Y ) 1 2 3 4 2． …………12分
21 21 21 42 3
22．（本题满分 12分） 所以 g( ) 0． …………10分2
解：（1）因为 f (x)有两个极值点 x1， x2， 另一方面，
2 2e2 2 1
f (x) ln x 1 2ax 0 x x g(e2 ) ee2 1 ee2 1 e3 (1 e2 )ee2 3 2 3 3所以 有两个解 1， ， 12 e (1 e )e3 e 9 2 e 0，
ln x 1
则方程 a 有两个解 x1， x2． …………2分2x 3由零点存在性定理可知，存在 t0 ( ,e
2 )，使得 g(t0 ) 0．…………12分
m(x) ln x 1 m (x) ln x
2
令 ，则 2 ，2x 2x
所以当 x (0,1)时，m (x) 0，当 x (1, )时，m (x) 0．
所以m(x)在 (0,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减，
且当 x 0 时，m(x) ，当 x 时，m(x) 0 m(1)
1
，且 ，
2
0 a 1所以只需 ． …………5分
2
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{#{QQABLYQQggiAQAJAAABCEwXwCgAQkgGACKgOxAAQsEIBCRFABAA=}#}绍兴市 2022学年第二学期高中期末调测 6．若 sin 2cos 10 ，则
2
高 二 数 学 A． tan 2 3 B． tan 2 3 C． sin 2 3 D． sin 2 3
4 4 5 5
注意事项： 7．在棱长为10的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P是侧面 ADD1A1内的点，P到 A1D1和 AA1
1．请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上。本卷答案必须做在答卷相应
的距离分别为3和 2，过点 P且与 A1C平行的直线交正方体表面于另一点Q，则 | PQ |
位置上。
2．全卷满分 150分，考试时间 120分钟。 A．9 3 B．8 3 C．7 3 D．6 3
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中， 8．已知函数 f (x)的定义域为R，且 f (x 2) f (x) f (8)， f (2x 1)为奇函数，
只有一项是符合题目要求的）
f (1 1
22
) ，则 kf (k 1 )
1．设集合 A {x | x 0} B {x | x2， 2x 3 0}，则 AIB 2 2
k 1 2
11 1 0 21A． (0,3) B． (0,1) C． ( 1,3) D． ( 3,1) A． B． C． D．2 2
i
2．若 z ，则 | z | 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
1 i
1 2 项符合题目要求，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分）
A． B． C． 2 D．2
2 2 9．甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
a b c 5a 2b a c 甲 68 71 72 72 823．已知单位向量 与 互相垂直，且 ，记 与 的夹角为 ，则 cos
乙 66 70 72 78 79
5 2 2 5
A． B． C． D．
3 3 3 3 则
4．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如， A．甲组数据的极差小于乙组数据的极差
B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 lg E 4.8 1.5M ．
C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
据此，地震震级每提高 1级，释放出的能量是提高前的（参考数据： 10 3.16）
D．甲组数据的第 60百分位数等于乙组数据的第 60百分位数
A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D． 47.40倍
5 5 1 5 10．函数 f (x) sin( x
π)( 2π 0) 的最小正周期为 T ，若 π
，且 x 是
．甲、乙、丙、丁、戊共 名同学进行劳动技能比赛，决出第 名至第 名的名次．甲和 4 3 8
乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然 y f (x)图象的一条对称轴，则
不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的情况有 A． 2 B． x π 是函数 f (x)的一个零点
4
A．18种 B．36种 C．54种 D．120种 5π 2
C． y f (x)在 (0, )有2个极值点 D．直线 y 2x 是一条切线
4 2
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11．在正三棱台 ABC A1B1C1中，O是△ABC的中心， AB 3， AA1 2， A1B1 1， 18．（本题满分 12分）
则 中国电动汽车重大科技项目的研发开始于 2001年，经过一系列的科技攻关以及奥运、世
A．OB AC 博、“十城千辆”示范平台等应用拉动，中国电动汽车建立起了具有自主知识产权的全产业链1 1 1
13 3 技术体系．汽车工业协会的最新数据显示，2022年中国电动汽车销量达 491 万辆，是 2010
B．正三棱台 ABC A1B1C1的体积为 6 年的 400多倍．某人打算购买一款国产电动汽车，调查了 100辆该款车的续航里程，得到频
C．正三棱台 ABC A1B1C1的外接球的表面积为12π 率分布表如下：
D．侧面 BCC B 所在平面截正三棱台 ABC A BC 7π外接球所得截面的面积为 续航里程（单位：km） 频数 频率1 1 1 1 1 3 [100,150) 3 0.03
12．已知 a 0，且 a+eb 2，则 [150,200) 10 0.10
A．a b 1 B． ln a eb 1 C． ea b 2 D．ln a | b | 0 [200,250) 30 0.30
[250,300) 35 0.35
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
[300,350) 15 0.15
1
13．已知 x 1，则 x 的最小值是 ▲ ．
x 1 [350,400] 7 0.07
14． (1 1 )(x 1)5的展开式中 x3的系数是 ▲ ．（用数字作答）
x （1）在图中作出频率分布直方图；
15．甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有 5个红球，2个白球；乙
盒中有 4个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取
出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为 ▲ ．
16．已知正△ABC 的顶点 A在平面 内，点B，C均在平面 外（位于平面 的同侧），
且在平面 上的射影分别为B ，C ， B AC 90o，设 BC的中点为D，则直线 AD
与平面 所成角的正弦值的取值范围是 ▲ ．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （第 18题图）
17．（本题满分 10分） （2）根据（1）中作出的频率分布直方图估计该款车续航里程的众数与平均数．
已知a ( 3 sin x,1)，b (1, cos x)， x R． （同一组中的数据以该组区间的中间值为代表）
（1）若 x 0，求a b ；
（2）设 f (x) a b，求 f (x)的单调递增区间．
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19．（本题满分 12分） 21．（本题满分 12分）
在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是a，b， c，且 3a 2b sin A． 为加快绍兴制造强市建设，《中国制造 2025绍兴实施方案》指出，到 2025年，制造业重
1 B 点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级．某试点企业对现有的（ ）求 ；
c 3 AC 生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取 10件产品，并（2）若b 7， ，且D为边 的中点，求 BD．
分析某项质量指标．根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正
态分布 N( , 2 )．
（1）记 X 表示一天内抽取的 10件产品质量指标在 ( 3 , 3 )之外的件数，求
P(X 1)；
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N( , 2 )，则 P( 3 Z 3 ) 0.9974，
0.997410 0.9743
（2）下面是一天内抽取的 10件产品的质量指标：
20．（本题满分 12分） 9.85 10.12 10.02 9.89 10.21
如图，在正四棱锥P ABCD中， AB 2，过点 A向平面 PCD作垂线，垂足为H． 10.26 9.91 10.13 10.17 9.94
（1）求证： AB DH； 若质量指标大于 10.10被认定为一等品，现从以上 10件产品中随机抽取 4件，记Y 为这
（2）若 AH 2，求二面角H BC D的余弦值． 4件产品中一等品的件数，求Y 的分布列和数学期望．
22．（本题满分 12分）
已知函数 f (x) x ln x ax2有两个极值点 x1， x2（ x1 x2）．
（第 20题图）
（1）求实数 a的取值范围；
x2
（2）证明：存在实数 a使得 x1 x2 ．x1
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