浙江省湖州市吴兴高级中学2022-2023学年下学期高二年级6月教学质量检测数学试题（PDF版含解析）

吴兴高级中学 2022-2023学年下学期高二年级 6月教学质量检测
数学试卷
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线 过点 ，且其方向向量 ，则直线 的方程为 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 ， ， 是空间的一个基底，则可以与向量 ， 构成空间另一个基底的
向量是 ( )
A. B. C. D.
3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制 “十二平均律”
将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前
一个单音的频率的比都等于 而早在 世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，
为这个理论的发展做出了重要贡献 若第一个单音的频率为 ，则第四个单音的频率为( )
A. B. C. D.
4. 已知 ， 均为非零实数，则“直线 与圆 相交”是“点 在圆 外”
的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 第十四届全国人民代表大会第一次会议于 年 月 日在北京召开， 月 日各代表团分组审议政
府工作报告 某媒体 名记者到甲、乙、丙 个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者 被
安排到甲组的概率为( )
A. B. C. D.
6. 有一散点图如图所示，现拟合模型为直线 ，在 个 数据中去掉 后，重新拟合模型为直
线 给出下列说法：
相关系数 变大； 决定系数 变大； 残差平方和变小； 解释变量 与预报变量 的相关性变强．其
中正确说法的个数为 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 设 ， ， ， 是半径为 的球 的球面上的四个点 设 ，则 不
可能等于( )
A. B. C. D.
8. 设椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 是椭圆上不与顶点重合的一点，记 是
的内心 直线 交 轴于 点， ，且
，则椭圆 的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共 4小题，共 20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数 的图象经过点
，且 在 上有且仅有 个
零点，则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 在 上有 或 个极大值点
C. 将 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象
D. 存在 ，使 在区间 上为单调函数
10. 一批产品中有 个正品， 个次品．现从中任意取出 件产品，记事件 ：“ 个产品中至少有一个正
品”，事件 ：“ 个产品中至少有一个次品”，事件 ：“ 个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的
是( )
A. 事件 与事件 为互斥事件 B. 事件 与事件 是相互独立事件
C. D.
11. 设双曲线 ，直线 与双曲线 的右支交于点 ， ，则下列说法中正确的是
( )
A. 双曲线 离心率的最小值为
B. 离心率最小时双曲线 的渐近线方程为
C. 若直线 同时与两条渐近线交于点 ， ，则
D. 若 ，点 处的切线与两条渐近线交于点 ， ，则 为定值
12. 关于函数 ， ，下列说法正确的是 ( )
A. 当 时， 在 处的切线方程为 ；
B. 当 时， 存在唯一极小值点 ，且 ；
C. 对任意 ， 在 上均存在零点；
D. 存在 ， 在 上有且只有两个零点．
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13. 在 的展开式中，含 项的系数为 ．
14. 定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点” 设 ，则 在 上的
“新驻点”为 ．
15. 在数列 中， ，
；等比数列 的前 项和为
当
时，使得 恒成立的实数 的最小值是 ．
16. 若偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是 ．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 分
如图，在平行六面体 中， ， 分别在 和 上，且 ，
．
证明： ， ， ， 四点共面
若 ，求 的值．
18. 本小题 分 已知等差数列 和等比数列 满足 ，
．
求数列 ， 的通项公式；
设数列 中不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，求
．
19. 本小题 分 如图，四棱锥 中， 底面 底面 为等腰梯形， ，
，
．
求证：平面 平面
若点 在线段 上，且直线 与平面
所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余
弦值．
20. 本小题 分 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了 名
学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图 为学
生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图 为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图 若本次数学
成绩在 分及以上视为优秀，将一个星期有 天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于 天视为“不
经常整理” 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占 ．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
求图 中 的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数
根据图 、图 中的数据，补全上方 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析数学
成绩优秀与经常整理数学错题是否有关
用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取
名学生，再从这 名学生中随机抽取 人进行座谈。求这 名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数
的分布列和数学期望．
附： ．
21. 本小题 分 已知点 在抛物线 的准线上，过点 作直线 与抛物线 交
于 ， 两点，斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点．
求抛物线 的标准方程
求证：直线 过定点
(ⅱ)记(ⅰ)中的定点为 ，设 的面积为 ，且满足 ，求直线 的斜率的取值范围．
22. 本小题 分 已知函数 ．
当 时，求函数 的单调区间
若 有 个零点 ， ， ，其中 ．
求实数 的取值范围
求证： ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的方向向量，直线的点斜式方程的应用，属于基础题．
根据直线 的一个方向向量为 ，，得到 ，写出直线方程．
【解答】
解：因为直线 的一个方向向量为 ，
所以 ，
则直线 的方程为 ，即 ．
故选： ．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量基本定理，属于基础题．
根据空间向量基本定理分析即可．
【解答】
解：已知向量 ， ，
因为 ， ， ，
所以向量 ， 分别与向量 ， ， 共面，均不可作为空间的一个基底．
故选 A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列通项公式的应用，属于基础题．
设第 个单音的频率为 ，由条件可得
，从而可得数列 是首项为 ，公比为
的等比数列，即可得第五个单音的频率．
【解答】
解：设第 个单音的频率为 ，
因为每一个单音与前一个单音频率比为 ，
所以
，
又 ，
故数列 是首项为 ，公比为
的等比数列，
则
，
故选 B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
以直线与圆的位置，点与圆的关系位置为依托解题即可．
【解答】
解：直线 与圆 相交 ，
点 在圆 外 ，
显然前者推不出后者，而后者可推出前者，故是必要不充分条件．
故选 B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合的综合应用以及求解事件的概率，属于基础题．
利用排列组合求解得到事件总数为 种不同情况，记者 被安排到甲组有
种；利用古典概型计
算得到答案．
【解答】
解： 名记者到甲、乙、丙 个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有 种不同情况，记
者 被安排到甲组有
种，所求概率为
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查散点图的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
利用散点图，真假判断相关性，决定系数，残差以及 与 的相关性，推出结果．
【解答】
解：散点图如图所示，在 个 数据中去掉 后，
与 的相关性加强．并且是正相关，
所以 变大， 变大，残差平方和变小，相关性变强．
所以四个命题都正确．
故选： ．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的概念与向量的模，考查数学运算能力及空间想象能力，属中档题．
由题意知 、 、 、 四点共面，根据点 与 、 、 中某一点重合和 平面 这两个特殊位置，可求
出 的范围，再判断选项即可．
【解答】
解： ， ， ， 是以 为球心，半径为 的球面上的四点， ，
、 、 、 四点共面， 为等边三角形， ．
当点 和 、 、 中其一重合时得到
极限状态，不能重合 ，
当 平面 时， ，
， 不可能．
故选： ．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆离心率的求解，考查数量积的运用，题目较难．
【解答】
解：如图所示，设 ， ， ，设圆与 ， ， 轴相切于点 ， ， ，
， ， ，
，
即 ，
，
，
，
又 ，
，即 ，可得 ，
代入椭圆方程可得
，
由
可知
，
可得 ，
故选 B
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质、图象变换，涉及五点法作图、单调性、极值、函数零点等有关知识，考
查逻辑推理能力，属于基础题．
先由 ，确定 ，依题意 在 上有且仅有 个零点，得 ，再结合图象直观判断
余下选项．
【解答】
解：因为 ， ，所以 ， 在 上有且仅有 个零点，令
，得 ，则 解得 ，故 A错； 在 上
有 或 个极大值点，故 B对；易知 错；当 时，函数 在区间 上递增，可
知 对，综上选 BD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了互斥事件，相互独立事件，条件概率等相关知识，属于中档题．
由 ，可判断 ，事件 包含：一正一次，两正两种情况，事件 只有一正一次一种情况，再利用
条件概率可判断 ．
【解答】
解：对于 ：当事件 和 都出现一正一次时，他们就不是互斥事件， 错；
对于 ：由题意可知事件 是事件 、事件 的一个子事件，故 B错；
对于 ：有题意可知 ，故 AB同时发生的概率就等于 发生的概率，故 C正确；
对于 ：事件 包含：一正一次，两正两种情况，事件 只有一正一次一种情况，
故 〡
，故 D正确．
故选： ．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题是对双曲线的综合考查，题目难度高．
【解答】
解：由双曲线的方程可得
所以双曲线的离心率
当且仅当 ，即 时取等号，所以 不正确
离心率最小时， ，这时双曲线的标准方程为： ，此时渐近线方程为 ，所以 B
正确
双曲线的两条渐近线可以看作一条退化的二次曲线，方程为
设直线过点 ，倾斜角为 ，则直线 的方程为
，其中参数 为直线上的动点 到定点 的距离，
将上述 ， 代入双曲线方程，若整理后得到的关于 的二次方程为 ，
那么将 ， 代入渐近线方程，整理后得到的关于 的二次方程则为 ，
由 解得 、 对应的 、 ，及 的中点所对应的参数
由 解得 、 对应的 、 ，及 的中点所对应的参数
可见 的中点与 的中点重合，故 AC ，故 C正确；
若 ，设 ，则 ，
对 两边便于 求导可得： ， ，
切线方程为 ，整理得
，
切线方程也可表示为
，
综合可得过 的切线方程为
，与渐近线 联立解得：
，故 F ，将其代入渐近线 中，
得
，
D
，故选项 正确，
故选： ．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，导数中的零
点问题，属于综合题．
当 时， ，求出 ，得到 在 处的切线的点斜式方程，即可
判断选项 A；求出 的解，确定 单调区间，进而求出 极值点个数，以及极值范
围，可判断选项 B；令 ，当 时，分离参数可得 ，设
，求出 的极值最值，即可判断选项 C， 的真假．
【解答】
解：对于 ，当 时，
， ，
， ，
在 处的切线方程为 ，即 ，故 A正确；
对于 ，当 时，
， ，
，令 ，得 ，
由 与 图象可得存在唯一 ，使得 ，即
，
且当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
存在唯一极小值点 ，
且
， ，
，故 B正确；
对于 ， ，令 ，当 时，
分离参数可得 ，
设 ， ，
令 ，解得 ， ，
作出 的图象，
当 时， 取极小值，也是 上的最小值为 ，
当 时， 取极大值，也是 上的最大值为
，
由图像可知当 时， 在 上没有零点，故 C错误，
当 时， 在 上有两个零点，故 D正确．
综上，正确的是 ．
故选 ABD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式中的特定项的系数问题，属于基础题．
直接根据二项展开式的通项求解即可．
【解答】
解： 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
则 的系数为 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义，属于基础题．
根据题意，求出函数 的导数，由“新驻点”的定义可得 ，变形可得 ，结合 的范
围分析可 的值，即得答案；
【解答】
解： 根据题意， ，其导数 ，
若 ，即 ，则有 ，
又由 ，则 ，
即 在 上的“新驻点”为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的函数特征、数列的递推关系 、等比数列的通项公式 以及等比数列的求和，属于中档题．
由题设可得可得
，
，对 ， 恒成立，即
恒成立．
即
，令 ，由
即可求解；
【解答】
解：由已知易知 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
，
当 时，
，
是等比数列
也适合 ，即
对 ， 恒成立，即
恒成立．
，令
由 得
，又
；
即 ，
．
故最小值为 ．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
根据函数的单调性及奇偶性可得 ，根据一元二次不等式的解法即可得解．
【解答】
解： 偶函数 在 上单调递减，且 ，
在 上单调递增，且 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集是 ．
故答案为 ．
17.【答案】 证明因为
，
所以 ， ， ， 四点共面．
解：因为
，所以 ， ， ，
所以 ．
【解析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题．
18.【答案】解： 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ，可得 ，
则 ， ，
所以 ，
， ；
由 知
即 是数列 中的第
项，
设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，
因为 ，
所以数列 的前 项是由数列 的前 项去掉数列 的前 项后构成的，
所以 ．
【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，等差数列与等比数列的前 项和公式，属于中档题．
直接利用条件分别求得 ， 的公差与公比，即可得到通项公式；
求得数列 的前 项，去除掉数列 的前 项即可得到 ．
19.【答案】解： 作 ，垂足为 ，则 ， ，
由余弦定理可得 ，
解得 ，
．
底面 ， 平面
，
又
平面 ．
又 平面
平面 平面 ．
由 知，可以以点 为坐标原点建系如图．
， ．
， ， ， ，
设 ， ，．
平面 的法向量 ．
则
可取
则 ， ，
， 是 中点，
，
，
，
是 中点，
同理可求平面 的法向量 ，即平面 的法向量．
， ，即为所求平面夹角的余弦值．
【解析】本题考查面面垂直的判定，线面角和二面角，属于中档题．
作 ，垂足为 ，证得 ， ，又线面垂直的判定定理可得 平面 ，再由面面
垂直的判定定理可得结果；
以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法和线面角可得平面 的法向量 ，再求得平面
的法向量 ，由夹角公式可得结果．
20.【答案】解： 由题意可得 ，
解得 ，
学生期中考试数学成绩的上四分位数为： 分；
数学成绩优秀的有 人，不优秀的人 人，经常整理错题的有
人，不经常错题的是 人，经常整理错题且成绩优秀的有 人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
零假设为 数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于 ；
由分层抽样知，随机抽取的 名学生中经常整理错题的有 人，不经常整理错题的有 人，
则 ， ， ，
经常整理错题的 名学生中，恰抽到 人记为事件 ，
参与座谈的 名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到 人记为事件
则 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故 的分布列如下：
则可得 的数学期望为 ．
【解析】本题考查了求百分位数、独立性检验、离散型随机变量的分布列与均值，属较难题．
21.【答案】解： 由题意可知 的准线方程为： ，
即 ，所以 ．
抛物线 的标准方程为 ．
设 ， ， ，
由题意知直线 不与 轴垂直，故直线 方程可设为： ，
与抛物线方程联立 ， 化简得： ，
根据根与系数的关系可得： ，
即 ，
，直线 方程为
，
整理得： ．
又因为
，即 ．
将 代入 化简可得： ，
故直线 方程可化为 ．
故直线 过定点 ．
由 知 与 轴平行，直线 的斜率一定存在，
， ，
由 知
所以
，
又因为 ，
即 ，化简得 或
又由 ，得： 且 ，
即 或
综上所述，
【解析】本题考查直线与抛物线的综合应用，抛物线中的定点问题，抛物线中的面积问题，属于较难题．
求出 ，即可得抛物线方程
由题意知直线 不与 轴垂直，故直线 方程可设为： ，联立抛物线方程，利用根与
系数的关系，求出直线 方程，即可求证直线 过定点 ；
由 知 与 轴平行，直线 的斜率一定存在，求出 ，由 ，结合 即可求解．
22.【答案】解： 当时 ， ， ，
则 在 恒成立，所以 在 单调递增，
故 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
，
， ，则 除 外还有两个零点．
，令
，
当 时， 在 恒成立，则 ，所以 在 单调递
减，不满足，舍去
当 时，要是 除 外还有两个零点，则 不单调，
所以 存在两个零点，所以 ，解得
当 时，设 的两个零点为 ， ，则 ， ，
所以 当 时， ， ，则 单调递增
当 时， ， ，则 单调递减 当 时，
， ，则 单调递增 又 ，所以 ， ，
而 ，且
，
，且 ，所以存在
， ，
使得 ，
即 有 个零点 ， ， ．
综上，实数 的取值范围为
因为
，
所以若 ，则 ，所以 ．
当 时，先证明不等式 恒成立，设 ，
则 ，所以函数 在 上单
调递增，于是 ，即当 时，不等式 恒成立．
由 ，可得 ，因为
，
所以 ，即
，两边同除以 ，
得 ，
所以
【解析】本题考查利用导数研究函数的零点，证明不等式，求函数的单调区间，属于综合题．